数列极限的概念(经典课件).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章 数列极限u 引言:在第一章中我们已经指出,数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数,那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢?从本质上来说,这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终,几乎所有的概念都离不开极限,是我们数学分析课程的基础。 数列极限的概念教学内容:数列极限的概念,应用定义证明简单数列的极限,无穷小数列。教学要求:使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。会应用数列极限的定义证明数列的有关命题,并能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。教学重点:数列极限的概念。教学

2、难点:数列极限的定义及其应用。教学方法:讲授为主。教学学时:2学时。一、数列概念:数列的定义:简单的说,数列就是“一列数”,是有一定的规律,有一定次序性的“一列数”。若函数的定义域为全体正整数集合,则称或为数列。若记,则数列就可写作为:,简记为,其中称为该数列的通项。数列的例子:(1); (2)(3); (4)二、数列极限的概念:引言:对于这个问题,先看一个例子:古代哲学家庄周所著的庄子. 天下篇引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下(单位为尺):第天截下,第天截下,第天截下,第天截下,得到一个数列: 不难看出,数列的通项随着n的无限增大而无限地接近于零

3、。一般地说,对于数列,若当n无限增大时,能无限地接近某一个常数,则称此数列为收敛数列,常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列,或称为发散数列。据此可以说,数列是收敛数列,是它的极限。数列都是发散的数列。需要提出的是,上面关于“收敛数列”的说法,并不是严格的定义,而仅是一种“描述性”的说法,如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。以为例,可观察出该数列具以下特性:随着n的无限增大,无限地接近于1随着n的无限增大,与的距离无限减少随着n的无限增大,无限减少会任意小,只要n充分大。如:要使,只要即可;要使,只要即可;任给无论多么小的正数,都会存在数列的一项,从该项之后,。

4、即,当时,。如何找?(或存在吗?)解上面的数学式子即得:,取即可。这样当时,。综上所述,数列的通项随n的无限增大,无限接近于,即是对任意给定正数,总存在正整数,当时,有。此即以为极限的精确定义。2数列极限的定义:定义1 设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当时有, 则称数列收敛于a,实数a称为数列的极限,并记作或.读作:当n趋于无穷大时,的极限等于a或趋于a。由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或.若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列。举例说明如何用定义来验证数列极限:例证明 证明:,则当时,便有,所以 (注:这里取整保证为非负整数;保证为正整数。)例

5、证明 .证明:(不妨设),则当时,便有,所以. (注:这里限制保证为正数,但这并不影响证明过程;并不一定是整数。)例证明.证明:,则当时,便有,所以.例证明.证明: 由于,因此,则当时,便有,所以.例证明,其中.证明:当时,结论显然成立.现设,记,则.由 得于是, ,则当时,便有,所以. 对于的情形,留作练习。关于数列的极限的定义的几点说明:() 关于: 的任意性。定义中的正数的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正数可以任意小,说明与常数a可以接近到任何程度;的暂时固定性。尽管有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出;的多值性。既是任意小的正数

6、,那么等等,同样也是任意小的正数,因此定义中的不等式中的可用等来代替。从而“”可用“”代替;正由于是任意小正数,我们可以限定小于一个确定的正数。() 关于: 相应性,一般地,随的变小而变大,因此常把定作,来强调是依赖于的;一经给定,就可以找到一个;多值性。的相应性并不意味着是由唯一确定的,因为对给定的,若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立。所以不是唯一的。事实上,在许多场合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大。基于此,在实际使用中的也不必限于自然数,只要是正数即可;而且把“”改为“”也无妨。的取值也不一定必须是正整数,可以为为正数,因为满足条件的正数如果存在,比大的任何正整

7、数必能使条件成立。()数列极限的几何理解:在定义中,“当时有”“当时有” “当时有” 所有下标大于的项都落在邻域内;而在之外,数列中的项至多只有个(有限个)。反之,任给,若在之外数列中的项只有有限个,设这有限个项的最大下标为,则当时有,即当时有,由此写出数列极限的一种等价定义(邻域定义):定义 任给,若在之外数列中的项只有有限个,则称数列收敛于极限a.由此可见:)若存在某个,使得数列中有无穷多个项落在之外,则一定不以a为极限;)应该注意,任给,若在内数列中的项有无限多个,并不能说明数列收敛于极限a。例6. 证明和都是发散数列。分析:即证数列不以任何为极限,利用定义。证明:,取,则数列中所有满足

8、的项(有无穷多个)显然都在 之外,故不以任何为极限,即数列是发散数列。 取,则在之外有中所有奇数项(无穷多项),故不以1为极限;对,取,则在之外有中所有偶数项(无穷多项),故不以为极限。从而不以任何为极限,即是发散数列。例7. 设,作数列如下:. 证明.证明:因,故,数列和在之外的项都至多只有有限个,所以数列中落在之外的项至多只有有限个,从而。例8. 设为给定的数列,为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明:数列与同时收敛或发散,且在收敛时两者的极限相等。证明:设为收敛数列,且,故,数列中落在之外的项至多只有有限个,而数列为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列,故从某一项开始,中的每一项都是中确定的一项,所以中落在之外的项至多只有有限个,这就证得数列收敛,且有。 现设为发散数列,倘若收敛,则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列,故由前面证明可知为收敛数列,矛盾,所以当发散时也发散。三、无穷小数列:在所有收敛数列中,在一类重要的数列,称为无穷小数列,其定义如下:定义若,则称为无穷小数列。如都是无穷小数列。定理.数列收敛于a 的充要条件是:为无穷小数列。证明:由数列极限的定义容易证明。专心-专注-专业

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