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1、第二章第二章 数列极限数列极限2.1 数列极限的概念2.2 收敛数列的性质2.3 数列极限存在的条件2.1 数列极限的概念数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法一、概念的引入一、概念的引入引例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之
2、棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数数列极限来自实践，它有丰富的实数列极限来自实践，它有丰富的实际背景际背景.我们的祖我们的祖 先很早就对数列先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念极限的概念 例例1 战国时代哲学家庄周所著的庄子战国时代哲学家庄周所著的庄子.天下篇引用天下篇引用过一句话：过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也也就是说一根一尺就是说一根一尺
3、 长的木棒，每天截去一半，这样的过长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列成一列,如图所示如图所示,三、数列的极限（c11(k)c11(k)）其长度组成的数列为其长度组成的数列为,024681000.20.40.60.81随着随着n 无限的增加无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。木棒的长度无限的趋近于零。例如 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则常数a称为数列xn的极限 或称数列xn收敛a 记为v数列极限的通俗定义问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接
4、近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:当n无限增大时 xn无限接近于a.当n无限增大时|xna|无限接近于0.当n无限增大时|xna|可以任意小 要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后|xna|能小于事先给定的任意小的正数.分析 因此 如果 n 增大到一定程度以后|xna|能小于事先给定的任意小的正数 则当n无限增大时 xn无限接近于常数a.当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则数列xn收敛a.下页v数列极限
5、的精确定义 设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式|xna|N目的：NO,NO,有些有些点在点在条形条形域外域外面！面！N 越来越小，N越来越大！数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：分 析:例1 证明 下页 0,NN 当nN时 有|xna|.利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xna|不易考虑，往往采用把不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单若能放大到较简单的式子，就较容易从一个
6、比较简单的不等式去寻找项数指标的不等式去寻找项数指标N放大的原则：放大的原则：放大后的式子较简单放大后的式子较简单 放大后的式子以放大后的式子以0为极限为极限例例 2 证明证明证明证明则当则当n N时，有时，有例例3.证证明明分析，要使分析，要使 （为简为简化，限定化，限定 n只要只要 证证.当当 n N 时有时有由定由定义义 适当予先限定适当予先限定 nn。是允。是允许许的！但最后取的！但最后取 N 时时要保要保证证nn。.例例4.证证明明（K为为正正实实数）数）证证：由于：由于所以对任意所以对任意0，取，取N=,当当 nN时时,便有便有 例例5证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常
7、数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例6证证例例7证证 由上面数列极限的证明可总结出数列由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤：极限证明的步骤：2 2 适当放大适当放大 ，通常放大成，通常放大成 的形式的形式，求出需要的求出需要的 1 化简化简 3 3 解解 w总结总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。四四 收
8、敛的否定收敛的否定:数列发散 五五 数列极限的记註数列极限的记註:1 满足条件满足条件“”的数列的数列:。2 改变或去掉数列的有限项改变或去掉数列的有限项,不影响数列的不影响数列的收敛性和极限收敛性和极限.重排不改变数列敛散性重排不改变数列敛散性:3 数列极限的等价定数列极限的等价定义义:对对 对对任正整数任正整数六六 无穷小数列无穷小数列:w定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）w 命题1.的极限为n 是无穷小量.变量有极限的充要条件为它可分解为加一个无穷小量。命题2无穷小量加绝对值仍为无穷小量。命题3无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。命题4v 小结(1),数列极限的定义;(2),数列极限的几何意义;(3),应用数列极限的定义证明数列极限的方法.