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1、4角平分线第1课时【基础梳理基础梳理】一、角平分线一、角平分线1.1.性质定理性质定理:角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的_的距离的距离_._.2.2.判定定理判定定理:在一个角的在一个角的_,_,到角的到角的_距离相等距离相等的点在这个角的的点在这个角的_上上.两边两边相等相等内部内部两边两边平分线平分线二、用尺规作角的平分线二、用尺规作角的平分线已知已知:AOB,:AOB,如图如图.求作求作:射线射线OC,OC,使使AOC=BOC.AOC=BOC.作法作法:1.:1.在在OAOA和和OBOB上分别截取上分别截取OE,OD,OE,OD,使使_._.2.2.分别以点分别以点D,E
2、D,E为圆心、以为圆心、以_长为半径作弧长为半径作弧,两两弧在弧在AOB_AOB_交于点交于点C.C.3.3.作射线作射线OC,OC,则射线则射线OCOC就是就是AOBAOB的平分线的平分线.OD=OEOD=OE内内【自我诊断自我诊断】1.1.判断对错判断对错:(1)(1)角的平分线就是角的对称轴角的平分线就是角的对称轴.()()(2)(2)到角的两边距离相等的点有无数个到角的两边距离相等的点有无数个.()()(3)(3)到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.()()2.2.如图如图,在在RtABCRtABC中中,C=90,AD,C=90,AD是是
3、BACBAC的平分线的平分线,CD=2,CD=2,则则D D到到ABAB边的距离是边的距离是_._.2 2知识点一知识点一 角平分线的性质定理和判定定理角平分线的性质定理和判定定理【示范题示范题1 1】(8(8分分)(2017)(2017孟津期末孟津期末)如图如图,在在ABCABC中中,BAC=90,ADBC,BAC=90,ADBC于点于点D,ABCD,ABC的平分线的平分线BFBF交交ADAD于点于点E,E,交交ACAC于点于点F,FHBCF,FHBC于点于点H,H,求证求证:AE=FH.:AE=FH.【规范解答规范解答】BFBF平分平分ABC,FAAB,FHBC,ABC,FAAB,FHBC
4、,FH=FA,FH=FA,2 2分分AFB+ABF=90AFB+ABF=90,DEB+EBD=90,DEB+EBD=90,且且ABF=ABF=EBD,EBD,AFB=DEB,AFB=DEB,4 4分分AEF=DEB,AEF=DEB,AFB=AEF,AFB=AEF,6 6分分AE=FA,AE=FA,AE=FH.AE=FH.8 8分分【备选例题备选例题】如图如图,ADBC,D=90.,ADBC,D=90.(1)(1)若若DABDAB的平分线与的平分线与CBACBA的平分线交于点的平分线交于点P,P,试问试问:点点P P是线段是线段CDCD的中点吗的中点吗?为什么为什么?(2)(2)如果如果P P是
5、是DCDC的中点的中点,BP,BP平分平分ABC,CPB=35,ABC,CPB=35,求求PADPAD的度数的度数.【解析解析】(1)(1)点点P P是线段是线段CDCD的中点的中点.理由如下理由如下:过点过点P P作作PEABPEAB于点于点E,ADBC,D=90E,ADBC,D=90,C=180,C=180-D=90D=90,即即PCBC,DABPCBC,DAB的平分线与的平分线与CBACBA的平分的平分线交于点线交于点P,PD=PE,PC=PE,P,PD=PE,PC=PE,PC=PD,PC=PD,点点P P是线段是线段CDCD的中点的中点.(2)ADBC,D=90(2)ADBC,D=90
6、,C=90,C=90.在在PBEPBE与与PBCPBC中中,PBEPBC(AAS),EPB=CPB=35PBEPBC(AAS),EPB=CPB=35,PE=PC,PC=PD,PD=PE,PE=PC,PC=PD,PD=PE,在在RtPADRtPAD与与RtPAERtPAE中中,RtPADRtPAE(HL),APD=APE,RtPADRtPAE(HL),APD=APE,APD+APE=180APD+APE=180-2-23535=110=110,APD=55APD=55,PAD=90,PAD=90-APD=35-APD=35.【微点拨微点拨】角平分线判定定理的角平分线判定定理的“三点应用三点应用”
7、1.1.证明角相等证明角相等.2.2.判定某点在直线判定某点在直线(角平分线所在的直线角平分线所在的直线)上上.3.3.判定直线判定直线(角平分线所在直线角平分线所在直线)经过某点经过某点.知识点二知识点二 作一个角的平分线作一个角的平分线【示范题示范题2 2】现要在三角地现要在三角地ABCABC内建一中心医院内建一中心医院,使医院使医院到到A,BA,B两个居民小区的距离相等两个居民小区的距离相等,并且到公路并且到公路ABAB和和ACAC的的距离也相等距离也相等,请确定这个中心医院的位置请确定这个中心医院的位置.【思路点拨思路点拨】根据线段垂直平分线性质作出根据线段垂直平分线性质作出ABAB的
8、垂直的垂直平分线平分线,根据角平分线性质作出根据角平分线性质作出BACBAC的角平分线的角平分线,即可即可得出答案得出答案.【自主解答自主解答】作作ABAB的垂直平分线的垂直平分线EF,EF,作作BACBAC的角平分的角平分线线AM,AM,两线交于点两线交于点P,P,则点则点P P为这个中心医院的位置为这个中心医院的位置.【微点拨微点拨】用尺规作角的平分线的用尺规作角的平分线的“三个应用三个应用”1.1.把一个角分成把一个角分成2 2n n(n(n为正整数为正整数)等份等份.2.2.解决到角两边距离相等的问题解决到角两边距离相等的问题.3.3.结合线段的垂直平分线解决实际问题结合线段的垂直平分线解决实际问题.注意注意:所画弧的交点要在角的内部所画弧的交点要在角的内部.【纠错园纠错园】如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD平分平分BAC,ADBAC,AD平分平分BC,BC,求证求证:ABC:ABC是等腰三角形是等腰三角形.【错因错因】在还没证明三角形是等腰三角形前在还没证明三角形是等腰三角形前,就利用就利用了了“三线合一三线合一”,误认为误认为ADAD和和BCBC垂直垂直.