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1、漳州市玉兰学校漳州市玉兰学校陈勇兴陈勇兴 学习目标：学习目标：1 1、探索并证明探索并证明角平分线性质定理角平分线性质定理.2 2、进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。转化为符号语言、图形语言的能力。3 3、经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。学习重难点：学习重难点：角平分线性质定理和判定定理的证明及应用角平分线性质定理和判定定理的证明及应用。1.41.4角平分线（第一课时）角平分线（第一课时）小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼
2、，刚好位于一条暖气小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从点，要从P点建两条管道，点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。分别与暖气管道和天然气管道相连。问题问题1：怎样修建管道最短？：怎样修建管道最短？问题问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。知识回顾知识回顾 二、探究新知二、探究新知 1.利用折纸的方法探索角平分线上的点的性质。利用折纸的方法探索角平分线上的点的性质。让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一让学生用纸剪一个角，把纸片对折，
3、使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕三条折痕问题问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？问题问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？它们的长度有何关系？A AO OC CB B1 12 2P PD DE E 2、如图，、如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD O
4、A，PE OB，求证：求证：PD=PE角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：。角平分线上的点到这个角的两边的角平分线上的点到这个角的两边的距离距离相等相等证明：证明：OC平分平分AOB 1=2 PD OA，PE OB PDO=PEO=90 又又OP=OPPDO PEO(AAS)PD=PE 分析：这个定理的题设、结论分别是什么？分析：这个定理的题设、结论分别是什么？角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的角平分线上的点到这个角的两边的距离距离相等相等。两垂直，一平分两垂直，一平分 得得 一相等一相等A AO OC CB B1 12 2P PD DE E OC平分平
5、分AOB PD OA，PE OB PD=PE你能写出这个定理的逆命题吗你能写出这个定理的逆命题吗?在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。2、证明：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在、证明：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。这个角的平分线上。求证：求证：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上证明：证明：PD OA，PE OB又又PD=PE，OP=OP Rt PDO Rt PEO(HL)1=2 OP平分平分AOB PD
6、O=PEO=90已知：已知：A AO OC CP PE ED DB B12如图，在如图，在AOB内部有一点内部有一点P，PD OA，PE OB,且且PD=PE。OP平分平分AOB角平分线的判定定理角平分线的判定定理：。分析：这个定理的题设、结论分别是什么？分析：这个定理的题设、结论分别是什么？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。两垂直，一相等，得一平分两垂直，一相等，得一平分A AO OC CB B1 12 2P PD DE E PD=PE PD OA，PE OB OP平分平分AOB思考：没有加思考：没有加“在角的
7、内部在角的内部”时，是真命题吗？时，是真命题吗？举出反例：角两边距离相等的点，但是这个举出反例：角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上。点不在这个角的平分线上。判断正误，并说明理由：判断正误，并说明理由：（1 1）如图）如图1 1，P P在射线在射线OCOC上，上，PEOAPEOA，PFOBPFOB，则，则PE=PFPE=PF。()()（2 2）如图）如图2 2，P P是是AOBAOB的平分线的平分线OCOC上的一点，上的一点，E E、F F分别在分别在OAOA、OBOB上，上，则则PE=PFPE=PF。()()（3 3）如图）如图3 3，在，在AOBAOB的平分线的平分线OCOC
8、上任取一点上任取一点P P，若，若P P到到OAOA的距离为的距离为3cm3cm，则，则P P到到OBOB的距离边为的距离边为3cm3cm。()()AOBPEF图2图3AOBPEAOBPEF图1判断正误，并说明理由：判断正误，并说明理由：1 1、如图、如图1 1，若，若QMOAQMOA于于M M，QNOBQNOB于于N N，则，则OQOQ是是AOBAOB的平的平()2 2、如图、如图2 2，若，若QMQM=3,QN=3=3,QN=3，则，则OQOQ平分平分AOBAOB()3 3、如图、如图3,3,若若QMOQQMOQ于于Q Q，QNOQQNOQ于于Q,QM=6,QN=6Q,QM=6,QN=6，
9、则，则OQOQ平分平分AOBAOB()角的平分线的角的平分线的性质性质图形图形已知已知条件条件结论结论作用作用P PC CP PC COPOP平分平分AOBAOBPDOAPDOA于于D DPEOBPEOB于于E EPD=PEPD=PEOPOP平分平分AOBAOBPD=PEPD=PEPDOAPDOA于于D DPEOBPEOB于于E E角的平分线的角的平分线的判定判定证明线段相等证明线段相等证明角相等证明角相等结一结结一结 课后反馈课后反馈1.如图，在如图，在ABC中，中，AD是它的角平分线，且是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别是，垂足分别是E，F。求证：求证：EB=FCA
10、FCDBE 变题变题1 1：如图，：如图，ABCABC中，中，CC9090，ADAD是是BACBAC的平分的平分线，线，DEABDEAB于于E E，F F 在在ACAC上，且上，且BD=DFBD=DF，求证：，求证：CF=EBCF=EB。变题变题2 2：如图，：如图，ABCABC中，中，CC9090，ADAD是是BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于于E E，BC=8BC=8，BD=5BD=5，求，求DEDE。A AAFCDBE 变题变题1 1：如图，：如图，ABCABC中，中，CC9090，ADAD是是BACBAC的平分的平分线，线，DEABDEAB于于E E，F F 在在ACA
11、C上，且上，且BD=DFBD=DF，求证：，求证：CF=EBCF=EB。变题变题2 2：如图，：如图，ABCABC中，中，CC9090，ADAD是是BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于于E E，BC=8BC=8，BD=5BD=5，求，求DEDE。A AAFCDBE 2.2.如图，如图，CEABCEAB，BFACBFAC，CECE与与BFBF相交于相交于D D，且，且BD=CD.BD=CD.求证：求证：D D在在BACBAC的平分线上的平分线上.A A四、重难点的分层应用：四、重难点的分层应用：A A 2 2、如图，、如图，B=C=90B=C=90，CM=BMCM=BM ，DMDM
12、平平ADCADC 求证：求证：AMAM平分平分DAB.DAB.A A7cm7cmB B8cm8cmC C9cm9cmD D10cm10cm 1 1、如图，在、如图，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，BEBE平分平分ABCABC，DEABDEAB于于D D，如果，如果AC=8cmAC=8cm，那么，那么AE+DEAE+DE等于（等于（）证明：过证明：过M点作点作ME AD，垂足为，垂足为E。DM平分平分ADC，MC CD，ME AD ME=MC又又BM=CM，ME=MB ME AD，MB AB，ME=MB，AMAM平分平分DABDABE2 2、如图，、如图，B=C=90B=C=90
13、，CM=BMCM=BM ，DMDM平分平分ADCADC 求证：求证：AMAM平分平分DAB.DAB.ED 1 1、如图，、如图，ACAC平分平分DAB,DAB,CAB=15CAB=15,CDAB,CD=4,BCAB.,CDAB,CD=4,BCAB.则则BC=_.BC=_.2五、分层作业：五、分层作业：2 2、如图，在、如图，在AOBAOB中，中，OPOP平分平分AOBAOB，C C、D D分别是分别是OAOA，OBOB边上边上的一点，且的一点，且DEDE平分平分CDOCDO的外角，交的外角，交POPO于点于点E E，若，若AOB=50AOB=50，CDO=60CDO=60，则，则ACE=_ACE=_.55ACPOB第1题第2题PDACEOB