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1、第八章第八章 非线性系统分析非线性系统分析8 8-1-1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述8 8-2-2 常见非线性及其对系统性能影响常见非线性及其对系统性能影响8 8-3-3 相平面法相平面法8 8-4-4 描述函数描述函数一、研究非线性控制理论的意义一、研究非线性控制理论的意义在前面各章中，我们讨论了线性系统的分析与设计在前面各章中，我们讨论了线性系统的分析与设计在前面各章中，我们讨论了线性系统的分析与设计在前面各章中，我们讨论了线性系统的分析与设计问题。但是，理想的线性系统是不存在的。实际的问题。但是，理想的线性系统是不存在的。实际的问题。但是，理想的线性系统是不存在的。实际的问题。
2、但是，理想的线性系统是不存在的。实际的物理系统，由于其组成元件在不同程度上具有非线物理系统，由于其组成元件在不同程度上具有非线物理系统，由于其组成元件在不同程度上具有非线物理系统，由于其组成元件在不同程度上具有非线性特性，严格地讲，都是非线性系统。当系统的非性特性，严格地讲，都是非线性系统。当系统的非性特性，严格地讲，都是非线性系统。当系统的非性特性，严格地讲，都是非线性系统。当系统的非线性程度不严重时，采用线性方法进行研究是有实线性程度不严重时，采用线性方法进行研究是有实线性程度不严重时，采用线性方法进行研究是有实线性程度不严重时，采用线性方法进行研究是有实际意义的。但是，如果系统的非线性程
3、度比较严重，际意义的。但是，如果系统的非线性程度比较严重，际意义的。但是，如果系统的非线性程度比较严重，际意义的。但是，如果系统的非线性程度比较严重，采用线性方法往往会导致错误的结论。因此，必须采用线性方法往往会导致错误的结论。因此，必须采用线性方法往往会导致错误的结论。因此，必须采用线性方法往往会导致错误的结论。因此，必须对非线性系统进行专门的探讨。对非线性系统进行专门的探讨。对非线性系统进行专门的探讨。对非线性系统进行专门的探讨。8 8-1-1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 二、非线性系统的特点二、非线性系统的特点 1 1、稳定性分析复杂、稳定性分析复杂 线性系统只有一个平衡状态，
4、其稳定性只决定于系统本线性系统只有一个平衡状态，其稳定性只决定于系统本线性系统只有一个平衡状态，其稳定性只决定于系统本线性系统只有一个平衡状态，其稳定性只决定于系统本身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。然而非线身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。然而非线身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。然而非线身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。然而非线性系统可能存在多个平衡状态，其稳定性不仅与系统本性系统可能存在多个平衡状态，其稳定性不仅与系统本性系统可能存在多个平衡状态，其稳定性不仅与系统本性系统可能存在多个平衡状态，其稳定性不仅与系统本身的结构和参数，而且与系统的初始条件有关。身的结构
5、和参数，而且与系统的初始条件有关。身的结构和参数，而且与系统的初始条件有关。身的结构和参数，而且与系统的初始条件有关。2 2、可能存在自激振荡、可能存在自激振荡 对于线性系统而言，只有当系统处于稳定的临界状态对于线性系统而言，只有当系统处于稳定的临界状态对于线性系统而言，只有当系统处于稳定的临界状态对于线性系统而言，只有当系统处于稳定的临界状态时，才会出现等幅振荡，但这一运动形式是不能持久时，才会出现等幅振荡，但这一运动形式是不能持久时，才会出现等幅振荡，但这一运动形式是不能持久时，才会出现等幅振荡，但这一运动形式是不能持久的。系统参数稍有细微的变化，这一临界状态就不能的。系统参数稍有细微的变
6、化，这一临界状态就不能的。系统参数稍有细微的变化，这一临界状态就不能的。系统参数稍有细微的变化，这一临界状态就不能继续，而会转化为发散或收敛，然而在非线性系统，继续，而会转化为发散或收敛，然而在非线性系统，继续，而会转化为发散或收敛，然而在非线性系统，继续，而会转化为发散或收敛，然而在非线性系统，即使无外界作用，往往也会产生具有固定振幅和频率即使无外界作用，往往也会产生具有固定振幅和频率即使无外界作用，往往也会产生具有固定振幅和频率即使无外界作用，往往也会产生具有固定振幅和频率的振荡，称为的振荡，称为的振荡，称为的振荡，称为自激振荡自激振荡自激振荡自激振荡。3 3、频率特性发生畸变、频率特性发
7、生畸变 在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，
8、稳态输在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是出信号通常是出信号通常是出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数包含高次谐波的非正弦周期函数包含高次谐波的非正弦周期函数包含高次谐波的非正弦周期函数，使输，使输，使输，使输出波形发生出波形发生出波形发生出波形发生非线性畸变非线性畸变非线性畸变非线性畸变。四、分析与设计方法四、分析与设计方法而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠而非线性系
9、统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。题。题。题。1 1 1 1、相平面法、相平面法、相平面法、相平面法（二阶系统）（二阶系统）（二阶系统）（二阶系统）2 2 2 2、描述函数法、描述函数法、描述函数法、描述函数法（高阶系统）（高阶系统）（高阶系统）（高阶系统）8 8-2-2 常见非线性及其对系统运动的影响常见非线性及其对系统运动的影响一、一、死区特性死区特性 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生
10、控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。二、饱和特性二、饱和特性 饱饱和和特特性性将将使使系系统统在在大大信信号号作作用用下下之之等等效效放放大大系系数数减减小小，因因而而降降低低稳稳态态精精度度。在在有有些些系系统统中中利用饱和特性做信号限幅。利用饱和特性做信号限幅。三、间隙特性三、间隙特性 间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳差增大，相位滞后增大，说来，它会使系统稳差增大，相位滞后增大，从而使动态特性变坏。从而使动态特性变坏。8-3 8-3 相平面法
11、相平面法四、继电器特性四、继电器特性 在控制系统中，有时利用继电器的切换特性来在控制系统中，有时利用继电器的切换特性来改善系统的性能。改善系统的性能。相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。确方法。一、相平面法基本概念一、相平面法基本概念 1 1、相平面、相平面设二阶系统常微分方程为设二阶系统常微分方程为则以则以x，为坐标的平面，称为相平面为坐标的平面，称为相平面2 2、相轨迹、相轨迹它是指当系统运动时，它是指当系统运动时，x，相应变化，对应在相相应变化，对应在相平面上描述出的轨迹。平面上描述出的轨迹。3 3、相轨迹的绘制、相轨迹的绘
12、制（1 1）解析法）解析法用求解微分方程的办法找出用求解微分方程的办法找出x和和 的关系，从而可的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹。在相平面上绘制相轨迹。（2 2）等倾线法）等倾线法等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。的连线。二、线性系统的相轨迹二、线性系统的相轨迹 1 1、一阶系统的相轨迹、一阶系统的相轨迹xT02 2、二阶系统的相轨迹、二阶系统的相轨迹（1 1）奇点：）奇点：在相平面上，在相平面上，不确定的点称为，不确定的点称为奇点奇点。的点，称为的点，称为平衡点平衡点。在相平面上，满足在相平面上，满足（2 2）奇点的类型）奇点的类型
13、（3）极限环：）极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹。轨迹。根与相轨迹根与相轨迹j0j0j0节点节点稳定焦点稳定焦点中心中心不稳定节点不稳定节点不稳定节点不稳定节点鞍点鞍点 1j0 2j021j012三、非线性系统的相平面分析三、非线性系统的相平面分析 1 1、步骤、步骤（1 1）将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应线段）将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应线段的数学的数学表达式。表达式。（2 2）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性
14、分成若干数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。（3 3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。（4 4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。（5 5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹。非线性系统的相轨迹。例题：例题：设含饱和非线
15、性特性的非线性系统方框图如图所示，设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示，试绘制当输入信号为试绘制当输入信号为r(t)=1(t)r(t)=1(t)时的相轨迹。时的相轨迹。解：解：饱和特性的数学表达式为：饱和特性的数学表达式为：描述系统运动过程的微分方程为描述系统运动过程的微分方程为 由上列方程组写出以误差由上列方程组写出以误差e e为输出变量的系统运动方程为为输出变量的系统运动方程为(I)若若则系统在则系统在I I区工作于欠阻尼状态，这时的奇点区工作于欠阻尼状态，这时的奇点(0(0，0)0)为稳定焦为稳定焦点点;则系统在则系统在I I区工作于过阻尼状态，这时的奇点区工作于过阻尼状态，这时
16、的奇点(0(0，0)0)为稳定节点。为稳定节点。若若(II)(III)8-4 8-4 描述函数法描述函数法一、描述函数基本概念一、描述函数基本概念 1 1、定义：、定义：非线性环节中稳态输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比。非线性环节中稳态输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比。2 2、应用描述函数法的基本条件、应用描述函数法的基本条件（1 1）线性环节具有较好的低通滤波特性）线性环节具有较好的低通滤波特性（2 2）非线性环节输出可只考虑基波分量。）非线性环节输出可只考虑基波分量。二、典型非线性特性的描述函数二、典型非线性特性的描述函数（1 1 1 1）饱和特性的描述函数）饱和特性的描述函数
17、）饱和特性的描述函数）饱和特性的描述函数（2 2 2 2）死区特性的描述函数）死区特性的描述函数）死区特性的描述函数）死区特性的描述函数 （3 3 3 3）间隙特性的描述函数）间隙特性的描述函数）间隙特性的描述函数）间隙特性的描述函数（4 4 4 4）继电器特性的描述函数）继电器特性的描述函数）继电器特性的描述函数）继电器特性的描述函数二、描述函数法典型结构二、描述函数法典型结构二、描述函数法典型结构二、描述函数法典型结构非线性系统的方框图如下图所示。它由两部分组成；非线性系统的方框图如下图所示。它由两部分组成；非线性系统的方框图如下图所示。它由两部分组成；非线性系统的方框图如下图所示。它由两
18、部分组成；N N(A A)代表非线性元件，代表非线性元件，代表非线性元件，代表非线性元件，G G(s s)代表线性部分代表线性部分代表线性部分代表线性部分三、非线性系统的稳定性分析三、非线性系统的稳定性分析 1 1、判断非线性系统稳定性、判断非线性系统稳定性（1）G(j)不包围不包围 曲线，则非线性系统稳定；曲线，则非线性系统稳定；（2）G(j)包围包围 曲线，则非线性系统稳定；曲线，则非线性系统稳定；若该周期运动是稳定的，则该点对应的周期运动就是自激振荡。若该周期运动是稳定的，则该点对应的周期运动就是自激振荡。（3 3）若）若G(j)与与 曲线相交，则非线性系统存在周期运动，曲线相交，则非线性系统存在周期运动，2 2、分析非线性系统稳定性、分析非线性系统稳定性自激振荡时交点处的自激振荡时交点处的A，分别为自激振荡的振幅和频率。分别为自激振荡的振幅和频率。例题：例题：用描述函数法分析下面非线性系统是否存用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振？若存在，求振荡频率和振幅。在自振？若存在，求振荡频率和振幅。1-1-解：解：因此，系统存在频率为因此，系统存在频率为 ，振幅为，振幅为2.122的自激振荡。的自激振荡。-1/N(A)G(j)令虚部为令虚部为0 0，得穿越频率，得穿越频率 与实轴交点为与实轴交点为