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1、集合的基本概念和运算集合的基本概念和运算q主要内容主要内容集合的基本概念集合的基本概念集集合、相等、合、相等、(真真)包含、子集、空集、包含、子集、空集、全集、幂集全集、幂集集合运算集合运算交、并、交、并、(相对和绝对相对和绝对)补、对称差补、对称差文氏图文氏图有穷集计数问题有穷集计数问题集合恒等式集合恒等式集合的基本概念集合的基本概念集合的基本概念集合的基本概念 q集合集合(Set)(Set)是不能精确定义的基本概念。是不能精确定义的基本概念。所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体此完全
2、不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体叫做该集合的元素。叫做该集合的元素。(康托康托)直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集集合合，而这些事物就是这个集合的，而这些事物就是这个集合的元素元素或或成员成员。q例如：例如：方程方程x x2 21 10 0的实数解集合：的实数解集合：2626个英文字母的集合；个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；坐标平面上所有点的集合；q集合通常用大写的英文字母来标记。集合通常用大写的英文字母来标记。常见的数的集合常见的数的集合常见的数的集合常见的数的集合qNN自然数集合自然数集合qZZ整数集合整数集合
3、qQQ有理数集合有理数集合qRR实数集合实数集合qCC复数集合复数集合集合的表示方法集合的表示方法集合的表示方法集合的表示方法q表示一个集合的方法主要有两种：表示一个集合的方法主要有两种：列元素法列元素法和和谓词表示法谓词表示法。q列元素法列元素法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。把它们用花括号括起来。A Aaa，b b，c c，zzZ Z00，1 1，2 2，C C 桌子桌子,灯泡灯泡,老虎老虎,自然数自然数 q谓词表示法谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性。是用谓词来概括集合中元素的属性。B Bx|xx|xR
4、Rx x2 21 100q许多集合可以用两种方法来表示，如许多集合可以用两种方法来表示，如B B也可以写成也可以写成-1-1，11。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。集合的元素集合的元素集合的元素集合的元素q集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。出现应该认为是一个元素。例如：例如：11，1 1，2 2，2 2，3311，2 2，33q集合的元素是无序的。集合的元素是无序的。例如：例如：11，2 2，3333，1 1，22元素和集合之间的关系元素和集合之
5、间的关系元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系q元素和集合之间的关系是隶属关系，即元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于属于或或不属于不属于，属于记作，属于记作，不属于记作，不属于记作。q例如：例如：A Aaa，bb，cc，d d，dda aA A，bb，ccA A，d dA A，ddA A，b b A A，dd A A。b b和和dd是是A A的元素的元素。的元素的元素。q可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。集合作为结点，它的元素作为其儿子。系。集合作为结点，它的元素作为其儿子。说说明明q隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。隶属关系
6、可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。q规定：对任何集合规定：对任何集合A A都有都有A A A A。A Aa ab,cb,cd dddb bc cddd d子集子集子集子集定义定义6.1 6.1 设设A A，B B为集合，如果为集合，如果B B中的每个元素都是中的每个元素都是A A中的元素，中的元素，则称则称B B是是A A的子集合，简称的子集合，简称子集子集。这时也称。这时也称B B被被A A包含包含，或，或A A包包含含B B，记作记作 B B A A。q包含的符号化表示为包含的符号化表示为B B A A x(xBxA)x(xBxA)q如果如果B B不被不被A A包含，则记作包含，则
7、记作 B AB A。q例如：例如：N N Z Z Q Q R R C C，但，但Z NZ N。q显然对任何集合显然对任何集合A A都有都有 A A A A。隶属和包含的说明隶属和包含的说明隶属和包含的说明隶属和包含的说明q隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。（集合可以同时成立这两种关系。（本书的系统中把集合中本书的系统中把集合中的元素也看做（同一层次的）集合的元素也看做（同一层次的）集合）q例如例如 A Aaa，aa和和aa既有既有aaA A，又有又有aa A A。前者把它们看成是不同层次上的两个集合，
8、前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合。后者把它们看成是同一层次上的两个集合。集合相等集合相等集合相等集合相等定义定义6.2 6.2 设设A A，B B为集合，如果为集合，如果 A A B B 且且 B B A A，则称则称A A与与B B相等相等，记作，记作A AB B。q相等的符号化表示为：相等的符号化表示为：A AB B A A B B B B A A q如果如果A A与与B B不相等，则记作不相等，则记作A AB B。真子集真子集真子集真子集定义定义6.3 6.3 设设A A，B B为集合，如果为集合，如果 B B A A 且且 BABA，则称则称B
9、 B是是A A的的真子集真子集，记作，记作B B A A。q真子集的符号化表示为真子集的符号化表示为B B A A B B A BAA BAq如果如果B B不是不是A A的真子集，则记作的真子集，则记作B B A A。例如：例如：N N N N空集空集空集空集定义定义6.4 6.4 不含任何元素的集合叫做不含任何元素的集合叫做空集空集，记作，记作。空集的符号化表示为：空集的符号化表示为：x|xxx|xx。例如例如:x|xRx:x|xRx2 2+1=0+1=0是方程是方程x x2 2+1=0+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是的实数解集，因为该方程无实数解，所以是空集。空集。空集的性质
10、空集的性质空集的性质空集的性质推论推论 空集是唯一的。空集是唯一的。证明：假设存在空集证明：假设存在空集1 1和和2 2，由上述定理有，由上述定理有1 1 2 2，2 2 1 1。根据集合相等的定义，有根据集合相等的定义，有 1 1 2 2。定理定理 空集是一切集合的子集。空集是一切集合的子集。证明证明：任给集合任给集合A A，由子集定义有由子集定义有 A A x(xx(x xA)xA)右边的蕴涵式因前件假而为真命题，右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以所以 A A也为真。也为真。n n n n元集元集元集元集q含有含有n n个元素的集合简称个元素的集合简称n n元集元集，它的含有，它的含有m
11、(mn)m(mn)个元素个元素的子集叫做它的的子集叫做它的m m元子集元子集。例例 A A1,2,31,2,3，将，将A A的子集分类：的子集分类：0 0元子集（空集）元子集（空集）1 1元子集（单元集）元子集（单元集）11，22，332 2元子集元子集1,21,2，1,31,3，2,32,33 3元子集元子集1,2,31,2,3幂集幂集幂集幂集q一般地说，对于一般地说，对于n n元集元集A A，它的它的0 0元子集有元子集有 个，个，1 1元子集有元子集有 个，个，m m元子集有元子集有 个，个，n n元子集有元子集有 个。子集总数为个。子集总数为定义定义 设设A A为集合，把为集合，把A
12、A的全部子集构成的集合叫做的全部子集构成的集合叫做A A的的幂集幂集，记，记作作P(A)(P(A)(或或PAPA，2 2A A)。q幂集的符号化表示为幂集的符号化表示为P(A)P(A)x|xx|x A A q若若A A是是n n元集，则元集，则P(A)P(A)有有 2 2n n 个元素。个元素。全集全集全集全集定义定义 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为的子集，则称这个集合为全集全集，记作，记作E E。说说明明q全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问
13、题也可以取不同的全集。同一个问题也可以取不同的全集。q例如，在研究平面上直线的相互关系时，可以把整个平例如，在研究平面上直线的相互关系时，可以把整个平面面(平面上所有点的集合平面上所有点的集合)取作全集，也可以把整个空间取作全集，也可以把整个空间(空间上所有点的集合空间上所有点的集合)取作全集。取作全集。q一般地说，全集取得小一些，问题的描述和处理会简单一般地说，全集取得小一些，问题的描述和处理会简单些。些。集合的运算集合的运算集合的运算集合的运算定义定义6.7 6.7 设设A A，B B为集合，为集合，A A与与B B的的并集并集ABAB，交集交集AB AB，B B对对A A的的相对补集相对
14、补集A AB B分别定义如下：分别定义如下：ABABx|xAxB x|xAxB ABABx|xAxB x|xAxB A AB Bx|xAxx|xAx B B 举例举例设设 A Aaa，b b，cc，B Baa，C Cbb，d d 则有则有 A AB Baa，b b，cc，A AB Baa，A AB Bbb，cc，B BA A ，B BC C说说明明q如果两个集合的交集为如果两个集合的交集为 ，则称这两个集合是不相交，则称这两个集合是不相交的。例如的。例如B B和和C C是不相交的。是不相交的。n n n n个集合的并和交个集合的并和交个集合的并和交个集合的并和交q两个集合的并和交运算可以推广成
15、两个集合的并和交运算可以推广成n n个集合的并和交：个集合的并和交：A A1 1AA2 2AAn nx|xAx|xA1 1xAxA2 2xAxAn n A A1 1AA2 2AAn nx|xAx|xA1 1xAxA2 2xAxAn n 上述的并和交可以简记为：上述的并和交可以简记为：A A1 1AA2 2AAn nA A1 1AA2 2AAn nq两个集合的并和交运算可以推广到无穷多个集合的情况：两个集合的并和交运算可以推广到无穷多个集合的情况：A A1 1AA2 2A A1 1AA2 2对称差集对称差集对称差集对称差集定义定义 设设A A，B B为集合，为集合，A A与与B B的的对称差集对
16、称差集 A A B B定义为：定义为：A A B B(A(AB)(BB)(BA)A)q对称差运算的另一种定义是对称差运算的另一种定义是A A B B(AB)(AB)(AB)(AB)q例如例如:A:Aaa，b b，cc，B Bbb，dd，则则 A A B Baa，c c，d d 绝对补集绝对补集绝对补集绝对补集定义定义 A AE EA Ax|xExx|xEx A A q因为因为E E是全集，是全集，xExE是真命题，所以是真命题，所以A A可以定义为：可以定义为：A Ax|x x|x A A q例如例如:E:Eaa，b b，c c，dd，A Aaa，b b，cc A Add 文氏图文氏图文氏图文
17、氏图q集合之间的关系和运算可以用集合之间的关系和运算可以用文氏图文氏图给予形象的描述。给予形象的描述。q文氏图的构造方法如下：文氏图的构造方法如下：画一个大矩形表示全集画一个大矩形表示全集E(E(有时为简单起见可将全集省有时为简单起见可将全集省略略)。在矩形内画一些圆在矩形内画一些圆(或任何其它的适当的闭曲线或任何其它的适当的闭曲线)，用，用圆的内部表示集合。圆的内部表示集合。不同的圆代表不同的集合。如果没有关于集合不交的不同的圆代表不同的集合。如果没有关于集合不交的说明，任何两个圆彼此相交。说明，任何两个圆彼此相交。图中阴影的区域表示新组成的集合。图中阴影的区域表示新组成的集合。可以用实心点
18、代表集合中的元素。可以用实心点代表集合中的元素。文氏图的实例文氏图的实例文氏图的实例文氏图的实例有穷集的计数问题有穷集的计数问题有穷集的计数问题有穷集的计数问题q使用文氏图可以很方便地解决使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题有穷集的计数问题。q首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。一般地说，每一条性质决定一个集合。一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。有多少条性质，就有多少个集合。如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的q然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。然后将已知集合
19、的元素数填入表示该集合的区域内。通常从通常从n n个集合的交集填起，个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。如果交集的数字是未知的，可以设为如果交集的数字是未知的，可以设为x x。q根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。需要的结果。例例 对对2424名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为1313，5 5，1010和和9
20、9人，其中同时会英语和日语的有人，其中同时会英语和日语的有2 2人，会英、德和法语中人，会英、德和法语中任两种语言的都是任两种语言的都是4 4人。已知会日语的人既不懂法语也不懂人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言德语，分别求只会一种语言(英、德、法、日英、德、法、日)的人数和会的人数和会三种语言的人数。三种语言的人数。解：令解：令A A，B B，C C，D D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出文氏图。设同时会三种语言的有根据题意画出文氏图。设同时会三种语言的有x x人，只会英、人，只会英、法或德语一种语言的分别为法或德
21、语一种语言的分别为y y1 1，y y2 2和和y y3 3人。将人。将x x和和y y1 1，y y2 2，y y3 3填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。4-x4-x4-x4-x4-x4-xx xy y2 2y y1 1y y3 32 25-25-2英英 1313法法 9 9德德 1010日日 5 5y y1 1+2(4-x)+x+2+2(4-x)+x+21313y y2 2+2(4-x)+x+2(4-x)+x9 9y y3 3+2(4-x)+x+2(4-x)+x1010y y1 1+y+y2 2+y+y3 3+3(4-x)+x+
22、3(4-x)+x24-524-5包含排斥原理包含排斥原理包含排斥原理包含排斥原理定理定理 设设S S为有穷集，为有穷集，P P1 1,P,P2 2,P,Pm m是是m m个性质。个性质。S S中的任何元中的任何元素素x x或者具有性质或者具有性质P Pi i，或者不具有性质或者不具有性质P Pi i(i=1,2,m),(i=1,2,m),两两种情况必居其一。令种情况必居其一。令A Ai i表示表示S S中具有性质中具有性质P Pk k的元素构成的的元素构成的子集，则子集，则S S中不具有性质中不具有性质P P1 1,P,P2 2,P,Pm m的元素为的元素为推论推论推论推论qS S中至少具有一
23、条性质的元素数为中至少具有一条性质的元素数为例例 求求1 1到到10001000之间之间(包含包含1 1和和10001000在内在内)既不能被既不能被5 5和和6 6，也不，也不能被能被8 8整除的数有多少个。整除的数有多少个。解答解答 设设S Sx|xx|xZ Z1 1x x10001000 A A x|x x|xS Sx x可被可被5 5整除整除 B B x|x x|xS Sx x可被可被6 6整除整除 C C x|x x|xS Sx x可被可被8 8整除整除|T|T|表示有穷集表示有穷集T T中的元素数中的元素数 x x 表示小于等于表示小于等于x x的最大整数的最大整数l lcm(xc
24、m(x1 1,x,x2 2,x xn n)表示表示x x1 1,x,x2 2,x xn n的最小公倍数的最小公倍数|A|A|1000/51000/5 200200|B|B|1000/61000/6 166166|C|C|1000/81000/8 125125|A|AB|B|1000/1000/l lcm(5,6)cm(5,6)3333|A|AC|C|1000/1000/l lcm(5,8)cm(5,8)2525|B|BC|C|1000/1000/l lcm(6,8)cm(6,8)4141|A|AB BC|C|1000/1000/l lcm(5,6,8)cm(5,6,8)8 8 将这些数字依次填
25、入文氏图，得到将这些数字依次填入文氏图，得到q根据包含排斥原理，所求不能被根据包含排斥原理，所求不能被5 5，6 6和和8 8整除的数应为整除的数应为q由文氏图也可得知，不能被由文氏图也可得知，不能被5 5，6 6和和8 8整除的数有整除的数有10001000(200+100(200+100333367)67)600600个。个。集合恒等式集合恒等式集合恒等式集合恒等式 q下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A A，B B，C C代表任意集合。代表任意集合。幂等幂等律律 AAAAA A (6.1)(6.1)AAAAA A (6.2)(6.2)结合
26、律结合律 (AB)C(AB)CA(BC)A(BC)(6.3)(6.3)(AB)C (AB)CA(BC)A(BC)(6.4)(6.4)交换律交换律 ABABBABA (6.5)(6.5)AB ABBABA (6.6)(6.6)分配律分配律 A(BC)A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC)(6.7)(6.7)A(BC)A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC)(6.8)(6.8)同一律同一律 AAA A (6.9)(6.9)AE AEA A (6.10)(6.10)集合恒等式集合恒等式集合恒等式集合恒等式零律零律 AEAEE E (6.11)(6.11)AA (6.12)(6.12)排中律排中
27、律 AAA AE E (6.13)(6.13)矛盾律矛盾律 AAA A (6.14)(6.14)吸收律吸收律 A(AB)A(AB)A A (6.15)(6.15)A(AB)A(AB)A A (6.16)(6.16)德摩根律德摩根律 A A(BC)(BC)(A(AB)(AB)(AC)C)(6.17)(6.17)A A(BC)(BC)(A(AB)(AB)(AC)C)(6.18)(6.18)(BC)(BC)BBC C (6.19)(6.19)(BC)(BC)BBC C (6.20)(6.20)E E (6.21)(6.21)E E (6.22)(6.22)双重否定律双重否定律 (A)A)A A (6
28、.23)(6.23)集合运算性质的一些重要结果集合运算性质的一些重要结果集合运算性质的一些重要结果集合运算性质的一些重要结果ABAB A A，ABAB B B(6.24)(6.24)A A ABAB，B B ABAB(6.25)(6.25)A AB B A A(6.26)(6.26)A AB BAAB B (6.27)(6.27)ABABB B A A B B ABABA A A AB B(6.28)(6.28)A A B BB B A A (6.29)(6.29)(A(A B)B)C CA A(B(B C)C)(6.30)(6.30)A AA A (6.31)(6.31)A A A A (6
29、.32)(6.32)A A B BA A C C B BC C (6.33)(6.33)对偶原理对偶原理对偶原理对偶原理q对偶式对偶式：一个集合表达式，如果只含有：一个集合表达式，如果只含有、E E、，那么同时把那么同时把与与互互换，把换，把与与E E互换，把互换，把 与与 互换互换，得到式子称为，得到式子称为原式的对偶式。原式的对偶式。q对偶原理对偶原理：对偶式同真假。或者说，集合恒等：对偶式同真假。或者说，集合恒等式的对偶式还是恒等式。式的对偶式还是恒等式。集合恒等式的证明方法集合恒等式的证明方法集合恒等式的证明方法集合恒等式的证明方法q逻辑演算法逻辑演算法利用利用逻辑等值式逻辑等值式和和
30、推理规则推理规则q集合演算法集合演算法利用利用集合恒等式集合恒等式和和已知结论已知结论逻辑演算法的格式逻辑演算法的格式逻辑演算法的格式逻辑演算法的格式题目：题目：A AB B证明：证明：x x，xAxA xB xB所以所以 A AB B或证或证 A A B B B B A A 题目：题目：A A B B证明：证明：x x，xAxA xB xB所以所以 A A B B集合演算法的格式集合演算法的格式集合演算法的格式集合演算法的格式题目：题目：A AB B证明：证明：A A B B所以所以 A AB B题目：题目：A A B B证明：证明：A A B B所以所以 A A B B例例 证明证明A A
31、(B(BC)C)(A(AB)B)(A(AC)C)证明证明 对任意的对任意的x x，有有x xA A(B(BC)C)x xA A x x B BC Cx xA A (x(xB Bx xC)C)x xA A (x xB Bx xC)C)x xA A (x x B B x x C)C)(x(xA Ax x B)B)(x(xA Ax x C)C)x xA AB B x xA AC C x x(A(AB)B)(A(AC)C)所以所以 A A(B(BC)C)(A(AB)B)(A(AC)C)例例 证明证明A AEEA A证明证明 对任意的对任意的x x，有有x xAEAEx xA A x xEEx xA(A
32、(因为因为x xEE是恒真命题是恒真命题)所以所以 A AEEA A例例 证明证明A AB BAAB B证明证明 对于任意的对于任意的x x，有有xAxAB B xA x xA x B B xA x xA xB B xA xAB B 所以所以 A AB BAAB B。说说明明q等式等式6.276.27把相对补运算转换成交运算，这在证明有关相把相对补运算转换成交运算，这在证明有关相对补的恒等式中是很有用的。对补的恒等式中是很有用的。例例 证明证明 (A(AB)BB)BABAB证明证明(A(AB)BB)B(A(AB)BB)B(AB)(AB)(BB)BB)(AB)E(AB)E ABAB例例 证明证明
33、 ABABB B A A B B AB ABA A A AB B说明说明 上式给出了上式给出了A A B B的另外三种等价的定义，这不仅为证明的另外三种等价的定义，这不仅为证明两个集合之间的包含关系提供了新方法，同时也可以用于两个集合之间的包含关系提供了新方法，同时也可以用于集合公式的化简。集合公式的化简。证明思路证明思路 ABABB B A A B B AB ABA A A AB B ABABB B证明证明 ABABB B A A B B对于任意的对于任意的x x，有有 xAxA xAxB xAxB xAB xAB xB xB(因为因为ABABB)B)所以所以 A A B B。证明证明 A
34、A B B AB ABA A显然有显然有 AB AB A A，下面证下面证 A A AB AB。对于任意的对于任意的x x，有有 xA xA xAxA xAxA xAxB xAxB(因为因为A A B)B)xAB xAB 所以所以 A A AB AB 由由集合相等集合相等的定义有的定义有 ABABA A。证明证明 ABABA A A AB B A AB B AAB B (AB)(AB)B B(因为因为ABABA)A)A(BA(BB)B)AA 证明证明 A AB B ABABB B。由由例例6.106.10(A(AB)BB)BAB AB 及及 A AB B 有有 ABAB B(AB(AB)B)B
35、B B B 例例 化简化简(ABC)(AB)(ABC)(AB)(A(B(A(BC)A)C)A)解答解答 因为因为 AB AB ABC ABC，A A A(BA(BC)C)，从而，从而，(ABABC)C)(AB)(AB)(A(A(B BC)C)AA)(AB)(AB)A AB BA A例例 已知已知 A A B BA A C C，证明证明B BC C。证明证明 已知已知 A A B BA A C C，所以有所以有A A(A(A B)B)A A(A(A C)C)(A(A A)A)B B(A(A A)A)C C(由式由式6.30)6.30)B BC C(由式由式6.32)6.32)B BC C (由式
36、由式6.29)6.29)B BC C (由式由式6.31)6.31)作业作业作业作业qP.75-76P.75-76 3.13(2)(4)3.13(2)(4)3.14(3)3.14(3)3.18 3.18典型题典型题典型题典型题q判断元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系判断元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系q集合的基本运算题集合的基本运算题q有关集合运算性质的分析题有关集合运算性质的分析题q集合相等或者包含的证明题集合相等或者包含的证明题q有穷集合的计数问题有穷集合的计数问题典型例题一典型例题一典型例题一典型例题一判断下列命题是否为真判断下列命题是否为真(1)x(1)x x x(2
37、)x x(2)x x(3)x x,x(3)x x,x(4)x(4)x x,x x,x(5)x x(5)x xxx(6)x(6)x xx xx(7)(7)若若xAxA，AP(B)AP(B)，则则 xP(B)xP(B)答案答案(1)(1)真真(2)(2)假假(3)(3)真真(4)(4)真真(5)(5)真真(6)(6)真真(7)(7)假假典型例题一的分析典型例题一的分析典型例题一的分析典型例题一的分析q判断元素判断元素a a与集合与集合A A的隶属关系是否成立的基本方法：的隶属关系是否成立的基本方法：把把a a作为一个整体，检查它在作为一个整体，检查它在A A中是否出现，中是否出现，注意这里的注意这
38、里的a a可能是集合表达式。可能是集合表达式。q判断集合包含判断集合包含A A B B一般可以使用以下四种方法：一般可以使用以下四种方法：若若A A、B B是用枚举方式定义的，依次检查是用枚举方式定义的，依次检查A A的每个元素是否的每个元素是否在在B B中出现。中出现。若若A A、B B是用谓词法定义的，且是用谓词法定义的，且A A、B B中元素性质分别为中元素性质分别为P P和和Q Q，那么那么“如果如果P P则则Q”Q”意味着意味着 A A B B，“P P当且仅当当且仅当Q”Q”意意味着味着A AB B。通过集合运算判断通过集合运算判断A A B B，即，即ABABB B，ABABA
39、A，A AB B3 3个等式中有一个为真，则个等式中有一个为真，则A A B B。可以通过文氏图判断集合的包含（不是证明）可以通过文氏图判断集合的包含（不是证明）。判断以下命题的真假判断以下命题的真假(1)A(B(1)A(BC)C)(AB)(AB)(AC)(AC)(2)(A(2)(AB)(BB)(BA)A)(3)A(3)A(BC)(BC)(A(AB)CB)C(4)(4)(A(AB)B)(B(BA)A)(5)(5)(AB)(AB)A A(6)(AB)(B(6)(AB)(BA)A)A A(7)AB(7)ABA A B B答案答案(1)(1)真真(2)(2)真真(3)(3)假假(4)(4)假假(5)(5)假假(6)(6)假假(7)(7)假假