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1、集合的基本概念、关系及运算集合的基本概念、关系及运算B2023/1/8 一、集合的定义一、集合的定义 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合中每某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合中每个对象叫做这个集合的元素集合中的元素是确定的、个对象叫做这个集合的元素集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的互异的，又是无序的例如：例如：A=1A=1，33，B B=a,b,cv用大写字母用大写字母A，B，C表示集合表示集合v用小写字母用小写字母a,b，c 表示集合中的元素表示集合中的元素.v用花括号用花括号 把元素括起来表示集合把元素括起来表示集合2023/1/8 确定性确定性：给定的集合，他的元素必须
2、是确定给定的集合，他的元素必须是确定给定的集合，他的元素必须是确定给定的集合，他的元素必须是确定的的的的。即集合中的元素必须是意义明确的，不能模棱即集合中的元素必须是意义明确的，不能模棱即集合中的元素必须是意义明确的，不能模棱即集合中的元素必须是意义明确的，不能模棱两可，含糊不清。两可，含糊不清。两可，含糊不清。两可，含糊不清。互异性互异性：一个给定的集合中的元素是互不相一个给定的集合中的元素是互不相一个给定的集合中的元素是互不相一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同同的，即集合中的元素不能相同同的，即集合中的元素不能相同同的，即集合中的元素不能相同。无序性无序性：集合中的
3、元素是无先后顺序的，即集合中的元素是无先后顺序的，即集合中的元素是无先后顺序的，即集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置集合里的任何两个元素可以交换位置集合里的任何两个元素可以交换位置集合里的任何两个元素可以交换位置。二、集合中元素的性质二、集合中元素的性质2023/1/8 如果如果a a是集合是集合A A的元素，就说的元素，就说a a 属于集合属于集合A A，记作，记作 a a A A；如果如果a a不是集合不是集合A A的元素，就说的元素，就说a a 不属于集合不属于集合A A，记作，记作 a a A A。三、元素与集合的关系三、元素与集合的关系即元素与集合之间只能
4、用即元素与集合之间只能用“”或或“”符号连接符号连接2023/1/8常用的数集及其记法常用的数集及其记法v非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N;v正整数集：非负整数集内排除0的集，记作N+或N+;v整数集：全体整数的集合，记作Z;v有理数集：全体有理数的集合，记作Q;v实数集：全体实数的集合，记作R.2023/1/81 1、列举法、列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法2 2、描述法、描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 符号描述法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具
5、有的共同特征如：所有奇数的集合可表示为：=x|x=2k+1，k 文字描述法 用文字把元素所具有的属性描述出来，如自然数3 3、大写字母法、大写字母法4 4、vennvenn图法及数轴法图法及数轴法 四、集合的表示方法四、集合的表示方法1，2，322023/1/8思考思考请说出下列集合含义：请说出下列集合含义：x|y=f(x)y|y=f(x)(x,y)|f(x,y)=0表示函数y=f(x)的定义域表示函数y=f(x)的值域表示方程f(x,y)=0对应的曲线2023/1/8五、集合的分类五、集合的分类有限集有限集含有有限个元素的集合。无限集无限集含有无限个元素的集合。空集空集不含任何元素的集合。记
6、作 ，如：2023/1/8课堂小结课堂小结1集合的定义集合的定义;2集合元素的性质：集合元素的性质：确定性确定性，互互 异性异性，无序性无序性；3数集及有关符号；数集及有关符号；4.集合的集合的表示方法表示方法；5.集合的集合的分类分类.。2023/1/82023/1/81.集合元素的特征有哪些集合元素的特征有哪些?2.元素与集合之间的关系是什么元素与集合之间的关系是什么?如何表示如何表示?3.集合的表示法有哪些集合的表示法有哪些?确定性、互异性、无序性确定性、互异性、无序性列举法、描述法、图示法、列举法、描述法、图示法、大写字母法大写字母法 回顾旧知回顾旧知 2023/1/8知识与能力知识与
7、能力 教学目标教学目标 （1）了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集）了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集合的子集;（2）理解子集、真子集的概念）理解子集、真子集的概念;（3）能体会图示对理解抽象概念的作用）能体会图示对理解抽象概念的作用.2023/1/8 教学重难点教学重难点 重点重点 集合间的包含与相等关系，子集与真子集集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念的概念.属于关系与包含关系的区别属于关系与包含关系的区别.难点难点2023/1/8下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？（1）设）设A为一颗苹果树上所有的苹果，为一颗苹
8、果树上所有的苹果，B为这棵为这棵苹果树上所有的烂苹果苹果树上所有的烂苹果.（2）设）设A=x|x是平行四边形是平行四边形 B=x|x是正方形是正方形.（3）设）设A为高一为高一(1)班的全体学生组成的集合，班的全体学生组成的集合，B为为高一高一(1)班所有的男生组成的集合班所有的男生组成的集合.（4）设）设A=a,b,c,B=a,b,c,e.共性共性:集合集合B B中的任何一个元素都是集合中的任何一个元素都是集合A A的元素的元素.观察观察12023/1/8 一般地，对于两个集合一般地，对于两个集合A、B，如果集合如果集合A中中任任意一个元素意一个元素都是集合都是集合B中的元素，我们就说这两个
9、中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合集合有包含关系，称集合A为集合为集合B的的子集子集.1子集的概念子集的概念知识要知识要点点2023/1/8AB 2.在数学中，经常用平面上的封闭曲线的在数学中，经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，这种图称为内部代表集合，这种图称为Venn图图.包含关系包含关系 与属于关系与属于关系 有什么区别吗？有什么区别吗？思考思考1A（B）A B用Venn图表示如下：（有两种情况）2023/1/8 与与 的区别：前者表示集合与集合之间的关系；的区别：前者表示集合与集合之间的关系；后者表示元素与集合之间的关系后者表示元素与集合之间的关系.注意注意 一般地，一般
10、地，a表示一个元素，而表示一个元素，而a表示只有一表示只有一个元素的一个集合个元素的一个集合.a=a是错误的是错误的.a与与a一样吗？有什么区别？一样吗？有什么区别？思考思考22023/1/8下面两个集合，你能发现什么？下面两个集合，你能发现什么？观察观察2（1）A=x x是两条边相等的三角形是两条边相等的三角形 B=x x是等腰三角形是等腰三角形（2）A=2，4，6 B=6，4，2共性共性:集合集合B中元素与集合中元素与集合A的元素是一样的的元素是一样的.2023/1/83.集合相等与真子集的概念集合相等与真子集的概念知识要知识要点点A（B）2023/1/8读作：读作：A真包含于真包含于B（
11、或（或B真包含真包含A）A是是A的子集对吗？类比实数中的结论思考一下的子集对吗？类比实数中的结论思考一下.思考思考3对于实数对于实数a，有，有aa；则对于集合；则对于集合A，有，有结论：任何一个集合都是它本身的子集结论：任何一个集合都是它本身的子集.A B(或或B A)AB2023/1/8 由此可见，集合由此可见，集合A是集合是集合B 的子集，包含了的子集，包含了A是是B的真子集和的真子集和A与与B相等两种情况相等两种情况.注意注意与实数中的关系类比是：与实数中的关系类比是：方程方程 的实数根能够组成集合！的实数根能够组成集合！那你们能找出它的元素吗？那你们能找出它的元素吗？思考思考4NO!2
12、023/1/8空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集空集是任何非空集合的真子集.我们规定：我们规定：不含有任何元素的集合叫做不含有任何元素的集合叫做空集空集，记作记作 .知识要知识要点点2023/1/8(3)对于两个集合对于两个集合A，B，如果，如果 且且 ,那么那么A=B4.由集合之间的基本关系，可以得到以下结论由集合之间的基本关系，可以得到以下结论.(4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集子集,即即2023/1/8例例 写出集合写出集合 的所有子集，并指出哪些是它的的所有子集，并指出哪些是它的真子集真子集.解：
13、集合解：集合 的所有子集为的所有子集为真子集为真子集为如果一个集合中有三个元素，则其子集有多少个如果一个集合中有三个元素，则其子集有多少个？真子集有多少个？真子集有多少个？思考思考52023/1/8如果一个集合中有四个元素，则其子集有多少个？真子集如果一个集合中有四个元素，则其子集有多少个？真子集有多少个？有多少个？思考思考6例如：集合例如：集合a,b,c，则其子集为，则其子集为a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,共共8=个。其真子集有个。其真子集有7=个个.如果一个集合中有如果一个集合中有n个元素，则其子集有多少个？个元素，则其子集有多少个？真子集有多少个？真子集有多少个？思考思
14、考7子集个数为子集个数为 ，真子集个数为真子集个数为2023/1/81概念：子集、集合相等、真子集概念：子集、集合相等、真子集2性质：性质：（1）空集是任何集合的子集）空集是任何集合的子集,A.（2）空集是任何非空集合的真子集）空集是任何非空集合的真子集.A（A）（3）任何一个集合是它本身的子集）任何一个集合是它本身的子集.课堂小结课堂小结 2023/1/8（4）含）含n个元素的集合的子集数为个元素的集合的子集数为 ；非空子集数为非空子集数为 ；真子集数为真子集数为 ；非空真子集数为非空真子集数为 .2023/1/8 高考链接高考链接 1.（2008 广东）第二十九届夏季奥林匹克运动会将广东）
15、第二十九届夏季奥林匹克运动会将于于2008年年8月月8日在北京举行，若集合日在北京举行，若集合A=参加北参加北京奥运会比赛的运动员京奥运会比赛的运动员，集合，集合B=参加北京奥运参加北京奥运会比赛的男运动员会比赛的男运动员，集合，集合C=参加北京奥运会比参加北京奥运会比赛的女运动员赛的女运动员，则下列关系正确的是，则下列关系正确的是 （）A.A B B.B C C.AB=C D.BC=A D2023/1/8B2023/1/8解析：集合解析：集合M的含有两个元素的子集共有的含有两个元素的子集共有15个，考个，考虑到题设要求，则（虑到题设要求，则（1，2）、（）、（2，4）、（）、（3、6）这三个
16、子集只能取一个；（）这三个子集只能取一个；（1，3）、（）、（2、6）这两个子集只能取一个；（这两个子集只能取一个；（2，3）、（）、（4、6）这）这两个子集只能取一个；所以两个子集只能取一个；所以K得最大值为得最大值为15-2-1-1=11.3.（2009北京）北京）设设A是整数集的一个非空子集是整数集的一个非空子集.对于对于k A，如果，如果k-1 A,且且k+1 A,那么称那么称k是是A的的一个一个“孤立元孤立元”.给定给定S=1，2，3，4，5，6，7，8，由，由S的的3个元素构成的所有集合中，不含个元素构成的所有集合中，不含“孤立元孤立元”的集合共有的集合共有 个个.62023/1/
17、8解析：根据题意知满足新定义集合的有：解析：根据题意知满足新定义集合的有：2，4，6、2，4，7、2，4，83，5，7、3，5，8、4，6，8共共6个个.依题意可知，没有与之相邻的元素是依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元孤立元”，因而，因而无无“孤立元孤立元”是指在集合中有与是指在集合中有与k相邻的元素相邻的元素因此，符合题意的集合是：因此，符合题意的集合是：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8共共6个个故选故选D2023/1/8 随堂练习随堂练习 A2023/1/82023/1/82023/1/84.设集合设集合A=x|1x3，B=x|x-a0，若，若
18、A是是B的真的真子集，实数子集，实数a的取值范围（的取值范围（）.a12023/1/82023/1/82023/1/82023/1/8思考：思考：类比引入类比引入 两个实数两个实数除了可以比较大小外，还可以进除了可以比较大小外，还可以进行行加法加法运算，类比实数的加法运算，两个集合运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以是否也可以“相加相加”呢？呢？2023/1/8思考：思考：类比引入类比引入 考察下列各个集合，你能说出集合考察下列各个集合，你能说出集合C与集与集合合A、B之间之间的关系吗的关系吗？（1）A=1，3，5，B=2，4，6，C=1，2，3，4，5，6（2）A=x|x是有理数，是
19、有理数，B=x|x是无理数，是无理数，C=x|x是实数是实数 集合集合C是由所有属于集合是由所有属于集合A或属于或属于B的元素的元素组成的组成的2023/1/8 一般地，由所有属于集合一般地，由所有属于集合A或属于集合或属于集合B的元素所的元素所组成的集合，称为集合组成的集合，称为集合A与与B的的并集并集（Union set）记作：记作：A B（读作：（读作：“A并并B”）即：即：A B=x|x A，()x BVenn图表示：图表示：A BAB 说明说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与与B 的所有元素组成的集合（的所有元素组成的集合（
20、重复元素只看成一个元素重复元素只看成一个元素）并集概念并集概念A BABA BAB或或2023/1/8例例1 1设设A=4=4，5 5，6 6，88，B=3=3，5 5，7 7，88，求求AU UB解：解：例例2 2设集合设集合A=x|-1|-1x22，B=x|1|1x33，求求AU UB并集例题并集例题解：解：可以在数轴上表示例可以在数轴上表示例2 2中的并集，如下图：中的并集，如下图：集合运算常用数轴画集合运算常用数轴画图观察图观察2023/1/8并集性质并集性质AA ；A ；ABA B_A2023/1/8并集的交换律并集的结合律并集的相关性质：并集的相关性质：2023/1/8思考：思考：
21、类比引入类比引入 考察下面的问题，集合考察下面的问题，集合C与集合与集合A、B之之间间有什么关系吗有什么关系吗？（1）A=2，4，6，8，10，B=3，5，8，12，C=8（2）A=x|x是是新华中学新华中学2004年年9月入学的女同学月入学的女同学，B=x|x是新华中学是新华中学2004年年9月入学的高一年级同学月入学的高一年级同学，C=x|x是新华中学是新华中学2004年年9月入学的高一年级女同学月入学的高一年级女同学 集合集合C是由那些既属于集合是由那些既属于集合A且又属于集合且又属于集合B的所有元素组成的的所有元素组成的2023/1/8 一般地，由属于集合一般地，由属于集合A且属于集合
22、且属于集合B的所有元素组的所有元素组成的集合，称为成的集合，称为A与与B的的交集交集（intersection set）记作：记作：AB（读作：（读作：“A交交B”）即：即：A B=x|x A（）x BVenn图表示：图表示：说明说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与与B 的公共元素组成的集合的公共元素组成的集合交集概念交集概念ABAB=ABABABB且且2023/1/8交集性质交集性质A A ；A ；A BA A_B2023/1/8(1)设A1，2，B2，3，4，则AB (2)设Ax|x2，则AB .22023/1/8D 2023/1
23、/8(4)设A1,2，Ba,3，若AB1，则a ；若AB，则a .(5)设Ax|x1，Bx|x2，则AB .11或22023/1/8类比并集的相关性质类比并集的相关性质2023/1/8例题：例题：2023/1/8例题：例题：解：解：5A0B2023/1/8例题：例题：解：解：0B10C2023/1/8例题：例题：解：解：5A0B10C2023/1/8例题：例题：AB A,B AB，AB AAB B，AB AB 2023/1/8一些性质（补充）：一些性质（补充）：(AB)CA(BC)；(AB)CA(BC)；A(BC)(AB)(AC)；A(BC)(AB)(AC)2023/1/8(2010湖南文，9
24、)已知集合A1，2，3，B2，m，4，AB2，3，则m_.解析由题意知m3.答案32023/1/86(09上海)已知集合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_答案解析将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示要使ABR，则a1.a12023/1/87你会求解下列问题吗？集合Ax|2xm，AB，则m的取值范围 是 .(2)若Bx|xm，AB，则m的取值范围 是 .(3)若Bx|xm5且x2m1，AB ，则m的取值范围是.m2m11m32023/1/81、解方程或不等式2利用数形结合的思想，将满足条件的集合用韦恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集，这是既简单又直观且是最基本
25、、最常见的方法，要注意灵活运用3集合元素的互异性在解决集合的相等关系、子集关系、交集等时常遇到，忽视它很多时候会造成结果失误，解题时要多留意解决集合问题时，常常要分类讨论，要注意划分标准的掌握，做到不重、不漏，注意检验解题思路：解题思路：2023/1/8若已知xAB，那么它包含三种情形：xA且xB；xB且xA；xA且xB，这在解决与并集有关问题时应引起注意2023/1/8在求AB时，只要搞清两集合的公共元素是什么或公共元素具有怎样的性质即可反之，若已知aAB，那么就可以断定aA且aB；若AB，说明集合A与B没有公共元素2023/1/8例(09全国)设集合MmZ|3m2，NnZ|1n3，则MN(
26、)A0,1 B1,0,1C0,1,2 D1,0,1,2 解析M2，1,0,1，N1,0,1,2,3，MN1,0,1，故选B.B2023/1/8若集合Ax|2x3，Bx|x4，则集合AB等于()Ax|x3或x4 Bx|1x3 Cx|3x4 Dx|2x1答案D解析将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得ABx|2x0，Bx|x1，则AUB()Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|x1答案B解析Bx|x1，UBx|x1，AUBx|x0 x|x1x|0 x1故选B.2023/1/82.设集合A=|2a1|，2，B=2，3，a2+2a3 且CBA=5，求实数a的值。解：易得集合易得集合A中没有中没有5，集合
27、，集合B中一定有中一定有5.a2+2a35.a2 or 4.接下来验证是否满足题意要求。接下来验证是否满足题意要求。此步骤一般不可少！此步骤一般不可少！当当a2时，时，|2a1|3.此时，满足此时，满足CBA5.当当a4时，时，|2a1|9.此时，显然不满足此时，显然不满足.综上所述，综上所述，a2.2023/1/8几点说明几点说明（1）补集是相对全集而言，离开全集谈补集没有意义；补集是相对全集而言，离开全集谈补集没有意义；（2 2）若若B UA，则，则A UB，即即 U(UA)A；（3）UU，UU (4)U(AB)=(UA)(UB)U(AB)=(UA)(UB)2023/1/8例2设全集U，已
28、知集合M、P、S之间满足关系：MUP，PUS，则集合M与S之间的正确关系是()AMUS BMS CS M DM S2023/1/8分析研究抽象集合的关系问题，可以利用集合的Venn图去分析，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考虑进去，以防因思虑不全面和由局部图形的先入为主而导致解题的失误解析由图形可得正确选项为B.2023/1/8例3已知Ax|x3，Bx|xa(1)若AB，问RBRA是否成立？(2)若RARB，求a的取值范围解析(1)AB，如图(1)a3，而RBx|xa，RAx|x3RBRA.即RBRA成立2023/1/8(2)如图(2)，RAx|x3，RBx|xaRARB，a3.故所求a的
29、取值范围为 a|a3总结评述：解决这类问题一要注意数形结合，以形定数，才能相得益彰，二要注意验证端点值，做到准确无误，不然功亏一篑2023/1/8已知全集U2,0,3a2，P2，a2a2，且UP1，则实数a_.答案2解析由PUPU知，2023/1/83.已知全集U=1，2，3，4，5，非空集 A=xU|x25x+q=0，求CUA及q的值。解：解：集合集合A非空，则非空，则x25x+q=0一定有解一定有解.由根及韦达定理知：由根及韦达定理知：x1x25，254q0，q x1x2.x1，x2的组合可以是：的组合可以是：1和和4，2和和3.即即A1，4，2，3.CUA2，3，5，q4；or CUA1
30、，4，5，q6.2023/1/82023/1/82023/1/82023/1/8 例已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若AB，求实数m的取值范围分分析析集集合合A是是由由方方程程x24mx2m60的的实实根根组组成成的的集集合合，AB 说说明明方方程程的的根根可可能能为为：(1)两两负负根根；(2)一一负负根根一一零零根根；(3)一一负负根根一一正正根根三三种种情情况况，分分别别求求解解十十分分麻麻烦烦，这这时时我我们们从从求求解解问问题题的的反反面面考考虑虑，采采用用“正正难难则则反反”的的解解题题策策略略，先先由由0求求出出全全集集U，然然后后求求方方程程两两根根均均为为非非负
31、负时时m的取的取值值范范围围，最后再利用，最后再利用“补补集集”求解求解2023/1/82023/1/8解：不等关系一般都会借助于数轴。解：不等关系一般都会借助于数轴。前面几个例题都是等式关系，接下来我们来思考不等关系。前面几个例题都是等式关系，接下来我们来思考不等关系。在数轴上画出集合在数轴上画出集合A的区域如下所示：的区域如下所示：2023/1/8例 已 知 集 合 U xR|1 x7，AxR|2x5，BxR|3x7，求 (1)(UA)(UB)；(2)U(AB)；(3)(UA)(UB)；(4)U(AB)(5)观察上述结果你能得出什么结论2023/1/8解析利用数轴工具，画出集合U、A、B的
32、示意图，如下图所示 可以得到，ABxR|3x5 ABxR|2x7，UAxR|1x2或5x7，UBxR|1x3或x7从而可求得(1)(UA)(UB)xR|1x27(2)U(AB)xR|1x27(3)(UA)(UB)xR|1x3或5x7(4)U(AB)xR|1x3或5x7(5)认真观察不难发现：认真观察不难发现：U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)2023/1/8 1 1求集合的求集合的并、交、补并、交、补是集合间的基本运算，是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合运算结果仍然还是集合知识小结知识小结 3 3注意结合注意结合VennVenn图或数轴图或数轴进而用集合语言表进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法达，增强数形结合的思想方法 2 2区分交集与并集的关键是区分交集与并集的关键是“且且”与与“或或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件眼出发去揭示、挖掘题设条件2023/1/8