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1、第三章行波法与积分变换法本讲稿第一页，共五十页本讲稿第二页，共五十页一维波动方程的达朗贝尔公式 行波法 本讲稿第三页，共五十页结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波4 解的物理意义b.只有初始速度时：假使初始速度在区间 上是常数，而在此区间外恒等于0本讲稿第四页，共五十页解：将初始条件代入达朗贝尔公式5 达朗贝尔公式的应用本讲稿第五页，共五十页影响区域决定区域依赖区间特征线特征变换行波法又叫特征线法6 相关概念本讲稿第六页，共五十页7 非齐次问题的处理(齐次化原理)
2、利用叠加原理将问题进行分解：本讲稿第七页，共五十页利用齐次化原理，若 满足：则：令：本讲稿第八页，共五十页从而原问题的解为本讲稿第九页，共五十页本讲稿第十页，共五十页特征方程本讲稿第十一页，共五十页例1 解定解问题解本讲稿第十二页，共五十页例2 求解解：特征方程为令：本讲稿第十三页，共五十页例3 求解Goursat问题解：令本讲稿第十四页，共五十页思考题：求解如下定解问题本讲稿第十五页，共五十页二 积分变换法1 傅立叶变换法傅立叶变换的性质微分性位移性积分性相似性傅立叶变换的定义偏微分方程变常微分方程本讲稿第十六页，共五十页例1 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质本讲稿第十七页，共五十页本讲稿
3、第十八页，共五十页例2 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质本讲稿第十九页，共五十页2 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换的性质微分性相似性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程本讲稿第二十页，共五十页例3 解定解问题解：对t求拉氏变换本讲稿第二十一页，共五十页例4 解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换本讲稿第二十二页，共五十页本讲稿第二十三页，共五十页例5 解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换本讲稿第二十四页，共五十页本讲稿第二十五页，共五十页例6 求方程 满足边界条件 ，的解。解法一：本讲稿第二十六页，共五十页解法二：对y求拉氏变换本讲稿第二十七页，共五十页例7 解定解问题解：对t取拉
4、氏变换x取傅立叶变换其中本讲稿第二十八页，共五十页本讲稿第二十九页，共五十页本讲稿第三十页，共五十页本讲稿第三十一页，共五十页3 积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件对常微分方程，求原定解条件解的变换式对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解4 积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定解条件中那些需要积分变换，那些不需取如何取逆变换思考利用积分变换方法求解问题的好处是什么？本讲稿第三十二页，共五十页三.三维波动方程的柯西问题本讲稿第三十三页，共五十页球对称情形球对称情形所谓球对称是指所谓球
5、对称是指与无关，则波动方程可化简为本讲稿第三十四页，共五十页半无界问题本讲稿第三十五页，共五十页这是关于这是关于 v=r u 的一维半无界波动方程的一维半无界波动方程.本讲稿第三十六页，共五十页一般情形我们利用球平均法。我们利用球平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球平均法，即对空间任一点（所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑），考虑 u 在以（在以（x，y，z）为球心，）为球心，r 为半径的球面上的平均值为半径
6、的球面上的平均值其中为球的半径为球的半径的方向余弦，本讲稿第三十七页，共五十页如把如把 x,y,z 看作参变量，则看作参变量，则是是 r，t的函数，若能的函数，若能求出求出 ，再令，再令则为此把波动方程的两边在以为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，为中心，r为半径的球为半径的球体体 内积分，并应用内积分，并应用Gauss公式，可得公式，可得（*1）本讲稿第三十八页，共五十页同时有同时有由（由（*1）(*2)可得可得（*2）关于关于r 微分，得微分，得（*3）利用球面平均值的定义，（利用球面平均值的定义，（*3）可写成）可写成（*4）本讲稿第三十九页，共五十页（*4）又可改写为）又可改写为
7、本讲稿第四十页，共五十页通解为通解为令令 r 0，有，有代入上式，得（*5）关于关于 r 微分，微分，再令再令 r 0，有，有（*6）本讲稿第四十一页，共五十页接下来，求满足初值的解。对（接下来，求满足初值的解。对（*5）关于）关于 t 微分，微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得代入上式，得本讲稿第四十二页，共五十页本讲稿第四十三页，共五十页从而有从而有本讲稿第四十四页，共五十页本讲稿第四十五页，共五十页Poisson公式公式本讲稿第四十六页，共五十页四.二维波动方程如果我们把上述问题中的初值视为如果我们把上述问题中的初值视为重复推导重复推导Poisson公式的过程，将会公
8、式的过程，将会发现所得发现所得Poisson公式中不含第三个变量。公式中不含第三个变量。降维法：降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。柯西问题的方法。由由Hadamard最早提出的。最早提出的。本讲稿第四十七页，共五十页计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在在 上的球面积分可由在圆域上的球面积分可由在圆域上的积分得到。上的积分得到。本讲稿第四十八页，共五十页因此因此本讲稿第四十九页，共五十页物理意义物理意义惠更斯原理（无后效性现象）惠更斯原理（无后效性现象）三维情形三维情形二维情形二维情形波的弥散（后效现象）波的弥散（后效现象）本讲稿第五十页，共五十页