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1、第三章数学物理方程行波法与积分变换本讲稿第一页，共八十三页3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第二页，共八十三页3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式考虑代换利用复合函数求导法则得本讲稿第三页，共八十三页3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式同理有:代入方程，得到 本讲稿第四页，共八十三页在上式中对 积分,得(是 的任意可微函数)3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式再将此式对 积分,其中 都是任意二次连续可微函数.本讲稿第五页，共八十三页利用初始条件，确定两个函数的具体形式。由第二式得.其中3.1
2、3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第六页，共八十三页由由,解得代入通解表达式，得达朗贝尔达朗贝尔(DAlembert)(DAlembert)公式公式.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第七页，共八十三页图 3-1 u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考虑 的物理意义随着时间t 的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第八页，共八十三页物理意义物理意义:随着时间 t 的推移,的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动,也就是说,它表示一个
3、以速度a 向x 轴正方向行进的波,称为右行波右行波.同样道理,以速度a 向x 轴负方向传播的行波,称为左行波左行波.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第九页，共八十三页在 平面上斜率为 的两族直线 ,对一维波动方程的研究起到重要作用,称这两族直线为一维波动方程的特征线特征线特征线特征线,变换称为特征变换特征变换特征变换特征变换,行波法也叫特征线法特征线法特征线法特征线法.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第十页，共八十三页的积分曲线,这个常微分方程称为它的特征方程特征方程特征方程特征方程.一维波动方程的两族特征线恰
4、好是常微分方程3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第十一页，共八十三页一般的二阶线性偏微分方程它的特征方程为(*)这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特特特特征曲线征曲线征曲线征曲线.记称其为二阶线性偏微分方程的判别式判别式双曲型方程椭圆型方程抛物型方程3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第十二页，共八十三页可以证明，当 时，有两条相异的实特征线因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特征线做自变量替换 总可以把双曲型方程化为 从而得到方程的通解3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔
5、公式本讲稿第十三页，共八十三页例 求下面问题的解:(3.1)解:特征方程 两族积分曲线为 做特征变换 3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第十四页，共八十三页3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第十五页，共八十三页代入方程化简得:3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第十六页，共八十三页它的通解为其中 ,是两个二次连续可微函数.于是原方程的通解为代入初始条件 ,，得 第二式的两端得关于 积分得解得所求问题的解为 3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲
6、稿第十七页，共八十三页解 特征方程为特征曲线为 例 求方程的一般解.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第十八页，共八十三页所以，做变换则原方程可以变为 其中 ,是任意的二次连续可微函数.于是，方程的通解为3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式本讲稿第十九页，共八十三页3.2 三维波动方程的泊松公式本讲稿第二十页，共八十三页研究波在空间传播问题.三维波动方程的初值问题本讲稿第二十一页，共八十三页一、球对称情形球坐标系 若 仅是 r 的函数,则是r 和 t 的函数,此时称定解问题是球对称球对称的。本讲稿第二十二页，共八十三页直角
7、坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为坐标面分别为球面球面半平面半平面锥面锥面本讲稿第二十三页，共八十三页球对称波动方程进一步有对对球对称球对称问题本讲稿第二十四页，共八十三页球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为 这个问题我熟悉！本讲稿第二十五页，共八十三页由达朗贝尔公式本讲稿第二十六页，共八十三页二二.一般情况一般情况令 表示 在球面 上的平均值。其中M=M(x,y,z),是球面 上的点,本讲稿第二十七页，共八十三页二二.一般情况一般情况令表示以 M 为中心的单位球面，表示 上的面积元素，表示单位球面上的面积元素，本讲稿第二十八页，共八十三页即而以下推导 所满足方程及初
8、始条件。本讲稿第二十九页，共八十三页3.2 3.2 三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式本讲稿第三十页，共八十三页进一步有：两边关于 r 求导，得 得由3.2 3.2 三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式本讲稿第三十一页，共八十三页即可得：由本讲稿第三十二页，共八十三页由初值条件和 的表达式，有：其中 分别是函数 在 上的球平均值。满足如下定解问题：本讲稿第三十三页，共八十三页方程的通解为利用初始条件有其中是两个二次连续可微的任意函数本讲稿第三十四页，共八十三页所以解方程组得本讲稿第三十五页，共八十三页将 延拓到r0的范围内。并且同理 也是偶函数利用本讲稿第三十六页，共八十三页
9、所以 本讲稿第三十七页，共八十三页由于 ，只考虑 的情形利用洛必达法则本讲稿第三十八页，共八十三页即简记成三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式本讲稿第三十九页，共八十三页三、泊松公式的物理意义 从泊松公式出发，解释波在三维空间的传播现象.设 且，1.在任一固定点 的振动情况 设 ，由 沿以 M 为中心，at 为半径的球面的曲面积分所决定。本讲稿第四十页，共八十三页M 点处于静止状态，说明 T 的振动尚未达到 M 点。当 时，为空集，所以 当 时，不为空集，所以M点处于振动状态,表明 T 的振动已传到 M 点。当 时，为空集，说明振动已 传过 M 点，M 点仍回复到静止状态。本讲稿第四十
10、一页，共八十三页2.在某固定时刻 ，初始时刻的振动所传播的范围 设 ，T 是半径为 R 的球体。由Poisson公式，只有与 M 相距为 的点上的初始扰动能够影响 的值，故 P 点的初始扰动，在时刻 只影响到以 P 为球心，以 为半径的球面 当 P 在 T 内移动时，球面族的包络面所围成的区域即为 T 内各点的振动在 时刻所传播的区域，称为 T 在时刻 的影响区域影响区域。本讲稿第四十二页，共八十三页 总之，三维空间中有限区域 T上的初始振动，有着清晰的前阵面和后阵面，对空间的任一点，振动传过后，仍回复到平衡状态，这种只在有限时间内引起振动的现象称为 Huygens Huygens 原原 理理
11、。在 足够大时，包络面以T 的心o(T)为心，分别以 和 为半径的球面所夹部分。故 时刻的影响区域为 的球壳，球面 是振动到来的前峰，称为波的 前前 阵阵 面面,球面 是振动传过后的后沿，称为波的后阵面后阵面。本讲稿第四十三页，共八十三页R本讲稿第四十四页，共八十三页解 例.设已知三维波动问题中的初位移，初速度分别为：,求解相应的Cauchy问题。本讲稿第四十五页，共八十三页三.降维法及二维波动方程考虑二维波动方程的初值问题 设解为 ,令 ，则本讲稿第四十六页，共八十三页由泊松公式 球面 在平面 上投影 为 设其上面积微元为 ，则由投影关系有：其中 v 表示 dS 的单位法向量与 之夹角，又上
12、、下两球面的投影有对称关系，故柱面波本讲稿第四十七页，共八十三页3.3 积分变换法 本讲稿第四十八页，共八十三页3.3 3.3 积分变换法积分变换法 常见的两种积分变换常见的两种积分变换-傅立叶变换傅立叶变换-拉普拉斯变换拉普拉斯变换.本讲稿第四十九页，共八十三页如果 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:如果函数 在 上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下有时把 记为 。一.傅立叶变换反演公式反演公式3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第五十页，共八十三页傅立叶变换的性质:1）线性性质线性性质 设 f,g 是绝对可积函数，是任 意复常数，则 2）微分性质微分性质 设 f,绝对可积函数
13、，则 3）乘多项式乘多项式 设 f,x f 绝对可积，则 3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第五十一页，共八十三页4）伸缩性质伸缩性质 设 f(x)绝对可积，则 6）卷积性质卷积性质 设f,g 是绝对可积函数，令 则5）平移性质平移性质 设 f(x)绝对可积，则 3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第五十二页，共八十三页例例 用积分变换法解方程：解：作关于 x 的傅立叶变换,方程可变为 设3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第五十三页，共八十三页可解得 由于即则3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第五十四页，共八十三页从而方程的解 3.3 3.3 积分变换法积分变换法
14、本讲稿第五十五页，共八十三页 例例 用积分变换法解方程解：作关于 的傅立叶变换。设方程变为 3.3 3.3 积分变换法积分变换法用常数变易法可解得 而则本讲稿第五十六页，共八十三页3.3 3.3 积分变换法积分变换法利用反演公式有本讲稿第五十七页，共八十三页3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第五十八页，共八十三页傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法有效方法,但但1.傅立叶变换要求原象函数在傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积上绝对可积,大部分函大部分函数不能作傅立叶变换数不能作傅立叶变换2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义傅立
15、叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研究混研究混合问题时失效合问题时失效.3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第六十六页，共八十三页二二.拉普拉斯变换拉普拉斯变换定义定义:f(t)定义在 上，若其满足下列条件1.f(t)分段光滑；2.存在常数 M 和 使得 3.则称f(t)为初始函数,称为f(t)的增长指数.反例反例3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第六十七页，共八十三页定理定理:设f(t)是一以 为增长指数的初始函数,则经变换得到的函数F(p)是 上的解析函数.上述变换称为拉普拉斯变换3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第六十八页，共八十三页例例 3.3 3.3 积分变换法
16、积分变换法本讲稿第六十九页，共八十三页反演公式反演公式：在 f(t)的每一个连续点均有 其中，3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第七十页，共八十三页基本性质基本性质:1）线性性质 设 f,g 的拉普拉斯变换分别 为L(f),L(g ),是任意复常数，则 2）微分性质 假设 ,则3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第七十一页，共八十三页6）卷积性质定义4）延迟性质5）伸缩性质则3）积分性质3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第七十二页，共八十三页例 设 求解常微分方程的初值问题 解 对 进行拉普拉斯变换,设 ,则3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第七十三页，共八十三页
17、于是原方程变为由上式得:对 进行拉普拉斯逆变换,得3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第七十四页，共八十三页解 问题归结为求解下列定解问题:例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。3.3 3.3 积分变换法积分变换法对 t 进行拉普拉斯变换怎么变换？为什么？知道 的值了本讲稿第七十五页，共八十三页方程通解为 表示温度，当 时，一定有界，所以 亦有界，从而 .对 t 进行拉普拉斯变换，设于是原问题变为3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第七十六页，共八十三页由边值条件可知 ，即 对 p 进行拉普拉斯逆变换，有3.3 3.3 积分变换法积分变换法本
18、讲稿第七十七页，共八十三页于是查表得而易证3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第七十八页，共八十三页所以于是3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第七十九页，共八十三页 例 设 求解下面定解问题解 对 进行拉普拉斯变换,则原方程 变为即3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第八十页，共八十三页由条件 得 解得对 取拉普拉斯逆变换，得 3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第八十一页，共八十三页数学物理方程数学物理方程+定解条件定解条件解解常微分方程常微分方程+定解条件定解条件解解积分变换积分变换逆变换逆变换3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第八十二页，共八十三页如何使用积分变换法求解定解问题：如何使用积分变换法求解定解问题：1)1)选选取取恰恰当当的的积积分分变变换换，对对某某个个（某某些些）自自变变量量作作积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方程；积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方程；2 2）对对部部分分定定解解条条件件取取相相应应的的积积分分变变换换,导导出出象象函函数数方程的定解条件；方程的定解条件；3 3）解关于象函数的定解问题）解关于象函数的定解问题,求出象函数；求出象函数；4 4）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解.3.3 3.3 积分变换法积分变换法本讲稿第八十三页，共八十三页