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1、第三章行波法与积分变换法第1页，本讲稿共50页第2页，本讲稿共50页一维波动方程的达朗贝尔公式 行波法 第3页，本讲稿共50页结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波4 解的物理意义b.只有初始速度时：假使初始速度在区间 上是常数，而在此区间外恒等于0第4页，本讲稿共50页解：将初始条件代入达朗贝尔公式5 达朗贝尔公式的应用第5页，本讲稿共50页影响区域决定区域依赖区间特征线特征变换行波法又叫特征线法6 相关概念第6页，本讲稿共50页7 非齐次问题的处理(齐次化原理)
2、利用叠加原理将问题进行分解：第7页，本讲稿共50页利用齐次化原理，若 满足：则：令：第8页，本讲稿共50页从而原问题的解为第9页，本讲稿共50页第10页，本讲稿共50页特征方程第11页，本讲稿共50页例1 解定解问题解第12页，本讲稿共50页例2 求解解：特征方程为令：第13页，本讲稿共50页例3 求解Goursat问题解：令第14页，本讲稿共50页思考题：求解如下定解问题第15页，本讲稿共50页二 积分变换法1 傅立叶变换法傅立叶变换的性质微分性位移性积分性相似性傅立叶变换的定义偏微分方程变常微分方程第16页，本讲稿共50页例1 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质第17页，本讲稿共50页第1
3、8页，本讲稿共50页例2 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质第19页，本讲稿共50页2 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换的性质微分性相似性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程第20页，本讲稿共50页例3 解定解问题解：对t求拉氏变换第21页，本讲稿共50页例4 解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换第22页，本讲稿共50页第23页，本讲稿共50页例5 解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换第24页，本讲稿共50页第25页，本讲稿共50页例6 求方程 满足边界条件 ，的解。解法一：第26页，本讲稿共50页解法二：对y求拉氏变换第27页，本讲稿共50页例7 解定解问题解：对t取拉氏变换x取傅
4、立叶变换其中第28页，本讲稿共50页第29页，本讲稿共50页第30页，本讲稿共50页第31页，本讲稿共50页3 积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件对常微分方程，求原定解条件解的变换式对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解4 积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定解条件中那些需要积分变换，那些不需取如何取逆变换思考利用积分变换方法求解问题的好处是什么？第32页，本讲稿共50页三.三维波动方程的柯西问题第33页，本讲稿共50页球对称情形球对称情形所谓球对称是指所谓球对称是指与无关，则波动
5、方程可化简为第34页，本讲稿共50页半无界问题第35页，本讲稿共50页这是关于这是关于 v=r u 的一维半无界波动方程的一维半无界波动方程.第36页，本讲稿共50页一般情形我们利用球平均法。我们利用球平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球平均法，即对空间任一点（所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑），考虑 u 在在以（以（x，y，z）为球心，）为球心，r 为半径的球面上的平均值为半径的球面上的平均值其中为球的半
6、径为球的半径的方向余弦，第37页，本讲稿共50页如把如把 x,y,z 看作参变量，则看作参变量，则是是 r，t的函数，若能的函数，若能求出求出 ，再令，再令则为此把波动方程的两边在以为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，为中心，r为半径的为半径的球体球体 内积分，并应用内积分，并应用Gauss公式，可得公式，可得（*1）第38页，本讲稿共50页同时有同时有由（由（*1）(*2)可得可得（*2）关于关于r 微分，得微分，得（*3）利用球面平均值的定义，（利用球面平均值的定义，（*3）可写成）可写成（*4）第39页，本讲稿共50页（*4）又可改写为）又可改写为第40页，本讲稿共50页通解为通解
7、为令令 r 0，有，有代入上式，得（*5）关于关于 r 微分，微分，再令再令 r 0，有，有（*6）第41页，本讲稿共50页接下来，求满足初值的解。对（接下来，求满足初值的解。对（*5）关于）关于 t 微分，微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得代入上式，得第42页，本讲稿共50页第43页，本讲稿共50页从而有从而有第44页，本讲稿共50页第45页，本讲稿共50页Poisson公式公式第46页，本讲稿共50页四.二维波动方程如果我们把上述问题中的初值视为如果我们把上述问题中的初值视为重复推导重复推导Poisson公式的过程，将会公式的过程，将会发现所得发现所得Poisson公
8、式中不含第三个变量。公式中不含第三个变量。降维法：降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。波动方程柯西问题的方法。由由Hadamard最早提出的。最早提出的。第47页，本讲稿共50页计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在因此，在 上的球面积分可由在圆域上的球面积分可由在圆域上的积分得到。上的积分得到。第48页，本讲稿共50页因此因此第49页，本讲稿共50页物理意义物理意义惠更斯原理（无后效性现象）惠更斯原理（无后效性现象）三维情形三维情形二维情形二维情形波的弥散（后效现象）波的弥散（后效现象）第50页，本讲稿共50页