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1、第第6章章位移法和力矩位移法和力矩分配法分配法课件制作：黄孟生第第1节节 等截面单跨超静定梁的杆端内力等截面单跨超静定梁的杆端内力单跨超静定梁受荷载作用以及杆端发生位移时的杆单跨超静定梁受荷载作用以及杆端发生位移时的杆端内力，可由力法求得。它们是位移法的基础端内力，可由力法求得。它们是位移法的基础.符号规定：符号规定：杆端弯矩、杆端剪力、杆端转角及垂直于杆杆端弯矩、杆端剪力、杆端转角及垂直于杆轴线的杆端线位移，均以顺时针方向为正。轴线的杆端线位移，均以顺时针方向为正。ABMABMBAFSABFSBA单跨超静定梁的内力可由力法求出，它是位移法计算的基础。单跨超静定梁的内力可由力法求出，它是位移法
2、计算的基础。1 1、单跨超静定梁的固端弯矩和剪力、单跨超静定梁的固端弯矩和剪力FABCablFABCX1X2FFaMFX1=11M1lX2=1M2MFSFABCablFABCX1X2解得解得：作弯矩图和剪力图作弯矩图和剪力图2、单跨超静定梁在支座移动作用下的杆端内力、单跨超静定梁在支座移动作用下的杆端内力ABX1X2MFSABEIlABEIlABX1X2MFSABEIlABX1X2ABX1X2表表5 51 1给出了等截面单跨超静定梁在支座移动和给出了等截面单跨超静定梁在支座移动和各种荷载作用下杆端弯矩和杆端剪力各种荷载作用下杆端弯矩和杆端剪力1、ABEIl 杆端弯矩杆端弯矩MAB MBA 杆端
3、剪力杆端剪力FQAB FQBA4i 2i -6i/l -6i/lABEIl6i/l -6i/l 12i/l2 12i/l2=12、式中式中ABEIlql2/12 ql2/12 ql/2 -ql/2q4、-Fab2/l2 Fa2b/l2 Fb2(1+2a/l)/l 3 -Fa2(1+2b/l)/l33、ABEIl 杆端弯矩杆端弯矩MAB MBA 杆端剪力杆端剪力FQAB FQBAabF a=b-Fl/8 Fl/8 F/2 -F/27、ABEIl 杆端弯矩杆端弯矩MAB MBA 杆端剪力杆端剪力FQAB FQBA3i 0 -3i/l -3i/lABEIl3i/l 0 3i/l2 3i/l2=18、
4、ABEIlql2/8 0 5ql/8 -3ql/8q10、9、ABEIl 杆端弯矩杆端弯矩MAB MBA 杆端剪力杆端剪力FQAB FQBAabF a=b-3Fl/16 0 11F/16 -5F/16-Fb(l2-b2)/2l2 0 Fb(3l2b2)/2l 3 -Fa2(2l+b)/2l3BAEIl14、杆端弯矩杆端弯矩MAB MBA 杆端剪力杆端剪力FQAB FQBAi -i 0 0BAEIl15、杆端弯矩杆端弯矩MAB MBA 杆端剪力杆端剪力FQAB FQBA-Fa(l+b)/2l -Fa2/2l F 0Fab a=0 -Fl/2 -Fl/2 F 0BAEIl16、-ql2/3 -ql
5、2/6 ql 0q三、等截面直杆的转角位移方程三、等截面直杆的转角位移方程单跨超静定梁受到荷载以及支座转动和支座移动共同作用时单跨超静定梁受到荷载以及支座转动和支座移动共同作用时叠加原理。叠加原理。1、两端固定等截面梁、两端固定等截面梁AB，其杆端弯矩和剪力：，其杆端弯矩和剪力：ABEIlqABBABBA2、A端固定端固定B端铰支的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：端铰支的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：3、A端固定端固定B端滑移支座的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：端滑移支座的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：ABBABAABEIlqABABAEIlq第第2节节 位移法的基本原理位移法的基本原理力法：力法：是以
6、结构的多余约束力作为未知量，是以结构的多余约束力作为未知量，按照位移条件将多余约束力求出，然后再根按照位移条件将多余约束力求出，然后再根据平衡条件求解其他的约束力、内力据平衡条件求解其他的约束力、内力 以及求以及求位移等等。位移等等。位移法：位移法：是以结构的某些位移作为未知量，是以结构的某些位移作为未知量，利用变形协调条件，通过对超静定梁系的计利用变形协调条件，通过对超静定梁系的计算建立平衡条件，求出结点位移，再根据内算建立平衡条件，求出结点位移，再根据内力与位移之间的关系，确定结构的内力。力与位移之间的关系，确定结构的内力。力法是将超静定结构化为静定结构来计算的。力法是将超静定结构化为静定
7、结构来计算的。位移法是将超静定结构化为超静定梁系来计位移法是将超静定结构化为超静定梁系来计算的。算的。位移法的提出位移法的提出图示结构是图示结构是6次超静定结构，但只有一个结点位移（受弯次超静定结构，但只有一个结点位移（受弯杆件忽略其轴向变形）杆件忽略其轴向变形）力法力法6个未知量。个未知量。位移法位移法用结点位移作为未知量，只有一个未知量用结点位移作为未知量，只有一个未知量。F力法力法解法解法基本未知量基本未知量多余约束力多余约束力变超静定结构为静定结构变超静定结构为静定结构位移法位移法结点位移结点位移变超静定结构为单跨梁（杆件）变超静定结构为单跨梁（杆件）基本系基本系位移法：是以结构的结点
8、位移为未知量，利用变形协调条件，位移法：是以结构的结点位移为未知量，利用变形协调条件，通过对单跨超静定梁系的计算，建立平衡条件，求通过对单跨超静定梁系的计算，建立平衡条件，求 出结点位移，进而计算结构内力。出结点位移，进而计算结构内力。超静定结构超静定结构单跨超静定梁系单跨超静定梁系位移法基本思路位移法基本思路FABCEI=常量常量l/2l/2l一、刚架结构一、刚架结构不计杆长变化，结点不计杆长变化，结点B只有只有转角位移而无线位移；转角位移而无线位移；变形协调条件变形协调条件两者受力和变形完全相同；两者受力和变形完全相同；不同的是：上图转角是由荷载不同的是：上图转角是由荷载引起的，而下图的转
9、角和力都引起的，而下图的转角和力都是外来因素作用在梁上。是外来因素作用在梁上。FCBABBA,BC杆杆B端角位移均为端角位移均为 。FABCFR1MBCMBABFR1附加刚臂附加刚臂=平衡条件：平衡条件：基本系基本系FABCEI=常量常量l/2l/2lFCBABABCFR11FABCFR1FFABCFR1FR1=FR11+FR1F=0ABCFR11FABCFR1FFABCFR1FMF3Fl/16BFR1F3i4iBk11k113i4i2iM1FR1F=3Fl/16k11=7iFABCEI=常量常量l/2l/2lMFQFABCFR1FMFk113i4i2iM1qABCEA=DlqAB1CD1FS
10、BAFR1FSCD1二、排架结构二、排架结构FR1=FSBA+FSCD=0FR1qABCEA=D基本系基本系11 1FR1FqFSBAFBCql2/8FSABFFSCDFFSDCFFR1FqABCql2/8DMFFR1F=FSBAF+FSCDF=FSBAF=3ql/8FSBAF=-3ql/8FSCDF=01=1k11qFSBA3i/l3i/lFSABFSCDFSDCk11=FSBA+FSCD=6i/l23i/lk11ABC3i/lD1=1M1FSBA=3i/l2FSCD=3i/l2MABC5ql2/16D3ql2/16qABCEA=DlFR11=k111 1=6i1 1/l2 2FR1=FR1
11、1+FR1F=01=FR1F/k11=ql2/16i=ql2/16EIM=M11+MFFR1FqABCql2/8DMF3i/lk11ABC3i/lD1=1M1可见：位移法是以结构的结点位移（转角和线位移）可见：位移法是以结构的结点位移（转角和线位移）作为基本未知量求解。作为基本未知量求解。若有若有n个刚结点，则有个刚结点，则有n个转角未知量，以相应个转角未知量，以相应的刚结点建立的刚结点建立n个力矩平衡方程；个力矩平衡方程；若有若有m个独立的结点线位移未知量，则需考虑个独立的结点线位移未知量，则需考虑某些横梁（也包括某些立柱）部分的平衡，建某些横梁（也包括某些立柱）部分的平衡，建立立m个投影平
12、衡方程；个投影平衡方程；求出结点位移后，便可以确定结构的内力。求出结点位移后，便可以确定结构的内力。第第3节节位移法基本未知量、基本系和典型方程位移法基本未知量、基本系和典型方程基本未知量：结点的独立基本未知量：结点的独立角位移和线位移角位移和线位移。角位移基本未知量角位移基本未知量刚结点的转角刚结点的转角其数目等于刚结点的总数其数目等于刚结点的总数一、角位移一、角位移AEBDCFGC、D部分去掉部分去掉AEBDCFB处处 两个刚结点两个刚结点B、C 两个刚结点两个刚结点二、线位移二、线位移线位移基本未知量线位移基本未知量结点的独立线位移结点的独立线位移不考虑轴向变形不考虑轴向变形的前提下，把
13、所有的刚结点和的前提下，把所有的刚结点和固定端改为铰结点和固定铰支座，使刚架变成固定端改为铰结点和固定铰支座，使刚架变成一铰结体系。再分析几何组成，凡是可动的结一铰结体系。再分析几何组成，凡是可动的结点，用增加附加链杆方法，使铰结体系成为几点，用增加附加链杆方法，使铰结体系成为几何不变体系为止。何不变体系为止。1212三、线位法基本未知量的确定三、线位法基本未知量的确定位移法的基本未知量数目等于刚结点的角位移位移法的基本未知量数目等于刚结点的角位移和结点的独立线位移二者数目之和。和结点的独立线位移二者数目之和。四、基本系四、基本系在角位移未知量的结点处加上阻止转动的附加刚臂；在角位移未知量的结
14、点处加上阻止转动的附加刚臂；在线位移未知量的结点处加上阻止线位移的附加链杆。在线位移未知量的结点处加上阻止线位移的附加链杆。四、典型方程四、典型方程。FR3FFR2FR1123五、位移法的计算步骤和计算举例五、位移法的计算步骤和计算举例一、计算步骤：一、计算步骤：1、确定位移基本未知量、确定位移基本未知量,建立基本系；建立基本系；2、分别求出基本系在荷载、单位转角和单位线位移作用下、分别求出基本系在荷载、单位转角和单位线位移作用下的杆端弯矩和杆端剪力的表达式；的杆端弯矩和杆端剪力的表达式；3、建立位移法典型方程；建立位移法典型方程；4、解方程求解各基本未知量；、解方程求解各基本未知量；5、求各
15、杆的杆端内力作内力图求各杆的杆端内力作内力图6、校核。校核。在角位移未知量的结点处加上阻止转动的附加刚臂；在角位移未知量的结点处加上阻止转动的附加刚臂；在线位移未知量的结点处加上阻止线位移的附加链杆。在线位移未知量的结点处加上阻止线位移的附加链杆。利用刚结点的力矩平衡条件和结构中某部分的投影平衡利用刚结点的力矩平衡条件和结构中某部分的投影平衡条件求出刚结点处的约束力偶和约束力条件求出刚结点处的约束力偶和约束力RiF,rij；FABCEIl/2ll/2EI例例1基本体系基本体系FR1FABCR1F=3Fl/161=3Fl2/112M1k11ABC=13i4i2ik11=7iMFFR1FFABC-
16、3Fl/16MFABC3Fl/283Fl/5611Fl/56FSABC17F/289F/5611F/28FR1F3Fl/16k113i4i基本体系基本体系qABCDFR1FR22例例2EI=EI=常数常数24kN/mABCD4m4m30kNFR1F=32kNmFR2F=78kNMFqABCDFR1FFR2F323230kNFR1F32BFR1FFR2FBC3048MBA=ql2/12=32kNmFSBA=-ql/2=-48kN2i4iCDk11k213iM1k11=7ik21=3i/2k22=15i/166i/l6i/lCDk12k222=1M2k126i/lk113i4ik12=6i/lk1
17、1k21BC6i/l2=1k12k22BC12i/l23i/l2解方程解方程按弯矩叠加公式按弯矩叠加公式画弯矩图画弯矩图得得M(kNm)48A86.61CD164.8760.52BFS(kN)5.13ACD104.358.35B21.65FN(kN)ACD15.13B21.6515.132i4iCDk11k213iM16i/l6i/lCDk12k222=1M2MFqABCDFR1FFR2F323230kNqABCDlll基本体系基本体系qABCDFR1FR3FR23*例例3解：确定基本未知量，建立基本系解：确定基本未知量，建立基本系MFqABCDFR1FFR3FFR2Fql2/12ql2/12
18、2i4iCDk11k31k214i2iM1k11=8ik21=2ik31=6i/lFR1F=ql2/12FR2F=0FR3F=ql/2FR1FBql2/12BCDFR1FFR3FFR2F-ql/2k11B4i4ik21C2iBCDk11k31k216i/l分别求出基本系在荷载、单位分别求出基本系在荷载、单位转角和单位线位移作用下的杆转角和单位线位移作用下的杆端弯矩和杆端剪力的表达式，端弯矩和杆端剪力的表达式，并确定典型方程系数；并确定典型方程系数；FR2FC3iCDk12k32k224i2iM26i/l6i/lCDk13k33k233=1M3k22=7ik32=0k23=0k22C4i3ik1
19、2B2ik12=2ik33=12i/l2k13=6i/lk13B6i/lBCDk13k33k2312i/l23=1BCDk12k32k22k23C代人方程代人方程解方程解方程按弯矩叠加公式按弯矩叠加公式画弯矩图画弯矩图3iCDk12k32k224i2iM26i/l6i/lCDk13k33k233=1M3MFqABCDFR1FFR3FFR2Fql2/12ql2/122i4iCDk11k31k214i2iM10.0323ql20.129ql20.371ql2M1=0.03763ql2/i,2=0.01075ql2/i,3=0.0605ql2/i0.0323ql20.129ql20.371ql2MF
20、N0.162ql0.162ql0.0323qlqlFSqABCDlll*例例4q12kN/mABCD2m2m2mEq12kN/mABCDE基本体系基本体系FR1FR22MFBCDEFR1FFR2F4643iABCDEk11k213i4i2iM13i/2ABCDEk12k222=13i/26i/26i/2M2k11=10ik21=3i/2k22=18i/4FR1F=2FR2F=-27解方程解方程按弯矩叠加公式按弯矩叠加公式画弯矩图画弯矩图得得12kN/mABCD15.5327.691.74E20.851.744.799.59DBCEA20.853.487.0610.539.59M(kNm)BAB
21、CDEBEFSBA3i4i2iFSBCr21FSED*例例5ABCll基本体系基本体系FR1ABCcMCFR1cABCck11ABC3i4i2iM1ABCllcABCM12EIc7l26EIc7l2ABC18EIc7l312EIc7l3FSABC18EIc7l312EIc7l3FN六、对称性的利用六、对称性的利用利用结构的对称性可简化计算：利用结构的对称性可简化计算：1、结构对称，在对称荷载作用下，其变形、位移、内力和、结构对称，在对称荷载作用下，其变形、位移、内力和反力均对称，即对称截面上只有对称的内力；反力均对称，即对称截面上只有对称的内力；2、结构对称，在反对称荷载作用下，其变形、位移、
22、内力、结构对称，在反对称荷载作用下，其变形、位移、内力和反力均反对称，即在对称截面上只有反对称内力。和反力均反对称，即在对称截面上只有反对称内力。奇跨数对称荷载奇跨数对称荷载ABCDEFFABCDEF偶跨数对称荷载偶跨数对称荷载ABCDEq1Fq2ABCDEq1q2奇跨数反对称荷载奇跨数反对称荷载ABCDEFFABCDEF偶跨数反对称荷载偶跨数反对称荷载ABCDEFGFIIIIIIABCDEFGIII/2I/2qqaaqa/2a/2例如例如:基本体系基本体系R1qqa/2a/2R1Fqr11r11=2i=2EI/(a/2)=4EI/aR1F=q(a/2)2/3=qa2/12得得iiql2/3q
23、l2/6qqaaqa2/12qa2/24qa2/12qa2/24qa2/24qa2/24M第第4节节 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念力矩分配法是以位移法为基础的一种渐近法。力矩分配法是以位移法为基础的一种渐近法。适用于连续梁和无侧移刚架。适用于连续梁和无侧移刚架。采用直接计算杆件的杆端弯矩的方法。采用直接计算杆件的杆端弯矩的方法。1、转动刚度、转动刚度ABEIlSABAB梁，使梁，使A端转动端转动=1角度角度时，所施加的力矩称时，所施加的力矩称为为AB杆在杆在A端转动刚度，用端转动刚度，用SAB表示。表示。两端固端杆：两端固端杆：SAB=4i一端固端，一端铰支杆：一端固端，一端铰支杆
24、：SAB=3i一端固端，一端定向支座杆：一端固端，一端定向支座杆：SAB=i2、分配系数、分配系数1i1i-汇交于结点汇交于结点1各杆在近端的分配系数，各杆在近端的分配系数，i-各杆的远端各杆的远端其中：其中：S12=4iS14=3iS13=i1234Me1MeM12M14M13M1i=S1i1-汇交于结点汇交于结点1的各杆在的各杆在1端的转动刚度之和端的转动刚度之和-分配弯分配弯矩矩3、传递系数和传递弯矩、传递系数和传递弯矩M21=2i121远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C1i表示。表示。C12=1/2C13=-1M31=-i121M41=0
25、C41=0Mi1=C1iM1i-传递弯矩传递弯矩显然显然1234Me求解过程：求解过程：1、按各杆的分配系数求出近端的、按各杆的分配系数求出近端的分配弯矩分配弯矩-分配过程；分配过程；2、近端弯矩乘以传递系数得到远端、近端弯矩乘以传递系数得到远端的传递弯矩的传递弯矩-传递过程。传递过程。经过分配和传递求出各杆的杆端弯矩的方法经过分配和传递求出各杆的杆端弯矩的方法-力矩分配法。力矩分配法。例例5-1试用力矩分配法求图示刚架的各杆端弯矩，并画出弯矩图。试用力矩分配法求图示刚架的各杆端弯矩，并画出弯矩图。3m2mA4m50kN15kN/mBDC4m解：解：1、求各杆的杆端弯矩（表、求各杆的杆端弯矩（
26、表6-1）:2、求各杆的分配系数、求各杆的分配系数:3、求刚杆的传递系数（表、求刚杆的传递系数（表6-1）CAB=0，CAC=1/2,CAD=1/2分配、传递计算过程列表如下：分配、传递计算过程列表如下：杆端杆端AB0AC、D1/2BAABACADDACA分配系数分配系数0.3 0.3 0.4固端弯矩固端弯矩0300-2436分配弯矩分配弯矩与传递弯矩与传递弯矩-1.8-1.8-2.40-1.2-0.9最后弯矩最后弯矩028.2-1.8-26.434.8-0.9最后作弯矩图如图所示最后作弯矩图如图所示3m2mA4m50kN15kN/mBDC4m28.226.4A0.93034.8BDC1.828.56M(kNm)第第5节节 力矩分配法计算举例力矩分配法计算举例(略略)