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1、第五章第五章 概率基础概率基础1本章主要内容本章主要内容n概率论的发展史概率论的发展史n随机事件随机事件(Random Events)(Random Events)n概率的统计定义概率的统计定义n古典概型古典概型(Classical Probability)(Classical Probability)n几何概率（几何概率（Geometric Probability)Geometric Probability)n条件概率条件概率(Conditional Probability)(Conditional Probability)n事件的独立性事件的独立性(Independence of Even
2、ts)(Independence of Events)2第一节第一节 随机事件随机事件一、随机试验一、随机试验(Random experiment)(Random experiment)为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。2.将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。3.抛一枚骰子，观察出现的点数。抛一枚骰子，观察出现的点数。4.记录车站售票处一天内售出的车票数。记录车站售票处一天内售出的车票数。5.在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的
3、寿命。在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。6.记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。3 这些试验都具有以下的特点：这些试验都具有以下的特点：n可重复性：可重复性：可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行n可预知性：可预知性：试验可能结果不止一个试验可能结果不止一个,但能确定但能确定 所有所有的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；所有可能结果；n随机性：随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种一次试验之前无法确定具体是哪种 结果结果出现。出现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称在概率论
4、中，我们将具有上述三个特点的试验称为为随机试验随机试验(Random experiment)(Random experiment)，表示为，表示为E E。4二、事件（二、事件（Event)n必然事件必然事件 ：某件事情在一次试验中一定发生：某件事情在一次试验中一定发生 如：如：“在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸1414张，其中有两张花色是不同张，其中有两张花色是不同”就是必然事件。就是必然事件。n不可能事件不可能事件 ：某件事情在一次试验中一定不发生：某件事情在一次试验中一定不发生 如：如：“在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸1414张，其中没有两张花色是不同的张，其中没有两张花色是不同
5、的”就是不可能事件。就是不可能事件。n随机事件（随机事件（A,B,C,)A,B,C,)：某件事情在一次试验中既可：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生能发生，也可能不发生 如：如：“掷一枚硬币，出现正面朝上掷一枚硬币，出现正面朝上”“扔一枚骰子，出想扔一枚骰子，出想6 6点点”5 基本事件（基本事件（基本事件（基本事件（）：试验的每一个结果都是一个事件，这：试验的每一个结果都是一个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件些事件不可能再分解成更简单的事件一般的事件由基本事件复合而成。一般的事件由基本事件复合而成。例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有例如：考察掷一个骰子一次的试
6、验，可能发生的结果有6种种“掷得掷得1 1点点”“掷得掷得2 2点点”“掷得掷得3 3点点”“掷得掷得4 4点点”“掷得掷得5 5点点”“掷得掷得6 6点点”“掷得奇数掷得奇数”“掷得偶数掷得偶数”基本事件基本事件复合事件6 例例1 1 对于试验对于试验E：将一枚硬币连抛三次，考虑正反将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况，若记面出现的情况，若记“正面正面”为为H，“反面反面”为为T，则基本事件有：则基本事件有：HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH，TTT随机事件随机事件 A A“至少出一个正面至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“B
7、=“两次出现同一面两次出现同一面”=”=HHH,TTT C=“C=“恰好出现一次正面恰好出现一次正面”=”=HTT，THT，TTH 7n2020世纪，冯世纪，冯.米泽斯米泽斯(Von Mises)(Von Mises)开始用集合论研究事件。开始用集合论研究事件。1.1.样本空间样本空间n样本点：随机试验样本点：随机试验E E的每一个可能结果的每一个可能结果n样本空间：样本点的全体，即随机试验样本空间：样本点的全体，即随机试验E E的所有可能结果组的所有可能结果组成的集合，记为成的集合，记为 。n例例1 1：掷一枚硬币，考察出现向上的面，试验的可能结果有：掷一枚硬币，考察出现向上的面，试验的可能
8、结果有：“正面向上正面向上”，“反面向上反面向上”两个，则样本空间为：两个，则样本空间为：三、事件的集合论定义三、事件的集合论定义82.2.事件的集合论定义事件的集合论定义n 事件可以看作是样本空间的子集事件可以看作是样本空间的子集 事件事件A不发生不发生 不是不是A中的点中的点事件事件A发生发生 是是A中的点中的点事件事件A 子集子集A A基本事件、样本点基本事件、样本点 点（元素）点（元素）不可能事件不可能事件 空集空集必然事件、样本空间必然事件、样本空间 空间空间概率论解释概率论解释集合论解释集合论解释符号符号9（1 1）事件的包含与相等）事件的包含与相等n若若“A发生必导致发生必导致B
9、发生发生”记为记为n若若 ,则则 称事件称事件A与与B相等相等,记为记为A=B.（2 2）事件的和（并）事件的和（并）n“事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生”,”,记作记作ABAB3 3、事件间的关系与运算、事件间的关系与运算10（3 3）事件的积）事件的积n事件事件A A与与B B同时发生，记作同时发生，记作 ABABnn n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记同时发生，记作作 A1A2An （4 4）事件的差）事件的差n事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生,记为记为A AB Bn思考：何时思考：何时A-B=?何时何时A-B=A？11（5 5）互斥事件）互斥事件
10、n若事件若事件A A与与B B不能同时发不能同时发生生,即即AB=,AB=,则则 称事件称事件A A与与B B互斥互斥,或互不相容或互不相容 （6 6）逆事件）逆事件n设设A，B为为两两事事件件,若若AB=且且AB=,则则称称事事件件A与与B互互为为逆逆事事件件或对立事件或对立事件.记记作作 ，称称为为B是是A的对立事件的对立事件A1213解：解：nA1A1：“至少有一人命中目标至少有一人命中目标”：nA2A2：“恰有一人命中目标恰有一人命中目标”：nA3A3：“恰有两人命中目标恰有两人命中目标”：nA4A4：“三人均命中目标三人均命中目标”：nA5A5：“三人均未命中目标三人均未命中目标”：
11、nA6A6：“最多有一人命中目标最多有一人命中目标”：例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，分别表示甲、乙、丙命中目标，试用试用A、B、C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：14第三节第三节 概率的统计定义概率的统计定义一、一、事件的频率事件的频率(Frequency)(Frequency)1.定义定义：设设E为任一随机试验，为任一随机试验，A为其中为其中 任一事件，任一事件，在相同条件下，把在相同条件下，把E独立的重复做独立的重复做n次，次，nA表示事件表示事件A在这在这n次试验中出现的次数次试验
12、中出现的次数(即频数即频数)。比值比值 称为事件称为事件A在这在这n次试验中出现次试验中出现的频率的频率(Frequency).152.频率的性质频率的性质n非负性：非负性：0fn(A)1；n规范性：规范性：fn()1，fn()=0；n可可加加性性：若若AB，则则 fn(AB)fn(A)fn(B).n稳定性：当试验次数n增大时，频率fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.16实践证明：频率稳定于概率实践证明：频率稳定于概率（1 1）历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。硬币时，出现正反面的机会
13、均等。17（2 2）男性别比率稳定于）男性别比率稳定于0.50.5n一个孕妇生男生女偶然，但是就整个国家和大城市而言，从人口普查资料中看到，男性占全体人数的比例几乎年年不变，约为0.50.5。人口普查人口普查总人数（亿）总人数（亿）男性人数男性人数比例比例第一次（第一次（19531953）5.825.823.023.020.5180.518第二次（第二次（19641964）6.956.953.573.570.5130.513第三次（第三次（19821982）10.0810.085.195.190.5150.515第四次（第四次（19901990）11.3411.345.855.850.5160
14、.516第五次（第五次（20002000）12.6612.666.536.530.5160.51618定义：设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事定义：设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称该数为事件件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称该数为事件的概率的概率(Probability)(Probability)，记为：，记为：注：注：1 1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。2 2 概率的统计定义只是描述性的。概率的
15、统计定义只是描述性的。3 3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值（件概率的近似值（monto calomonto calo方法的基本思想）方法的基本思想）二、二、概率的统计定义概率的统计定义19第四节第四节 概率的公理化定义概率的公理化定义n1.1.定定义义：若若对对随随机机试试验验E E所所对对应应的的样样本本空空间间中中的的每每一一事事件件A A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)P(A)，集合函数，集合函数P(A)P(A)满足条件：满足条件：n(1)(1)非负性：非负性：P(A)0P(A)0；n(2)(2)规范性：规范性：P
16、()P()1 1；n(3)(3)可列可加性：可列可加性：设设A A1 1，A A2 2，是一列两两互不相容的事件，是一列两两互不相容的事件，即即A Ai iA Aj j，(ij)(ij)，i,ji,j1,2,1,2,有有 P(A P(A1 1AA2 2 )P(A P(A1 1)P(AP(A2 2)+)+n 则称则称P(A)P(A)为事件为事件A A的概率。的概率。202.2.概率的性质概率的性质 2122 例例.在在1 11010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求 （1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数即不能被）取到
17、的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。n解解:设设A=“取到的数能被取到的数能被2整除整除”;B=“取到的数能被取到的数能被3整除整除”。则则nP(A)=1/2P(B)=3/10P(AB)=1/10n(1)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=7/10n(2)n(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5n23第五节第五节 古典概型古典概型n “古典概型古典概型”是最简单、最直观的概率模型。是最简单、最直观的概率模型。n 定义：定义：若某实验若某
18、实验E满足满足：n1.1.有限性：样本空间有限性：样本空间1,2,nn2.2.等可能性等可能性：P(1)=P(2)=P(n)。则称则称E为为古典概型古典概型也叫也叫等可能概型等可能概型。24 设在古典概型中，试验设在古典概型中，试验E E共有共有n n个基本件，个基本件，事件事件A A包含了包含了m m个基本事件，则事件个基本事件，则事件A A的概率为的概率为 二、概率的古典定义二、概率的古典定义25例：任意投掷两枚均匀的硬币，求例：任意投掷两枚均匀的硬币，求A“恰好发恰好发生一个正面向上生一个正面向上”的概率。的概率。n解：试验的所有结果：解：试验的所有结果：n（正，正）（正，反）（反，正）
19、（反，反）（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）n根据硬币的均匀性、对称性、抛的任意性，四种结果具有根据硬币的均匀性、对称性、抛的任意性，四种结果具有等可能性，这是一个古典概型。等可能性，这是一个古典概型。nA A（正、反）（反、正）（正、反）（反、正）n所以，概率所以，概率P=2/40.526例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少?n解解：设设H=“某某个个孩孩子子是是男男孩孩”，A=“至至少少有有一一个个男男孩孩”n试验所有结果为：试验所有结果为：HHH，HHT，HT
20、H，THH，HTT，TTH，THT，TTT n事件事件A=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT n从而，从而，n=8，m=7nP(A)=m/n=7/8 271.1.几何概型几何概型：若一个试验具有两个特征：若一个试验具有两个特征：（1 1）每次试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的）每次试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的 几何区域来表示几何区域来表示 （2 2）每次试验的各种结果等可能的。）每次试验的各种结果等可能的。则称这样的试验是几何概型。则称这样的试验是几何概型。2.2.几何概率：几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，设几何概型的样本空间可表示
21、成有度量的区域，记为记为 ，事件，事件A A所对应的区域记为所对应的区域记为A A，则定义事件，则定义事件A A的概率为：的概率为：第六节第六节 几何概型几何概型（一）几何概型的定义（一）几何概型的定义28n例例 某人发现他的表停了，他打开收音机想听电台报时，某人发现他的表停了，他打开收音机想听电台报时，试求它等待的时间不超过试求它等待的时间不超过1010分钟的概率。分钟的概率。n解：因为电台每隔解：因为电台每隔6060分钟分钟(即即1 1小时小时)报时一次报时一次,因此，可认因此，可认为此人打开收音机的时刻处在为此人打开收音机的时刻处在00，6060上任何一点都是等上任何一点都是等可可 能的
22、，其样本点有无限多个，样本空间就是区间能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间=0=0，6060。设事件。设事件A=“A=“等待时间不超过等待时间不超过1010分钟分钟”，则导致事，则导致事件件A A发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间5050，6060上的任一点。上的任一点。这个区间长度为这个区间长度为10(10(单位单位:分分)。而。而的长的长度为度为 60(60(单位单位:分分)。由几何概率的定义，。由几何概率的定义，29n例（布丰问题）平面上有距离为例（布丰问题）平面上有距离为d d的一族平行线，向此平面任的一族平行线，向此平面任意投掷一长为意
23、投掷一长为l(ld)l(l0P(B)0，则事件，则事件B B已经发生的条件下，事件已经发生的条件下，事件A A发生的条件概率发生的条件概率P(B|A)P(B|A)定义为：定义为：33例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道一年中雨天的比例占一年中雨天的比例占2020，乙市占，乙市占1414，两地同时下雨占，两地同时下雨占1212，试求：试求：（1 1）甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率）甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率（2 2）乙市出现雨天的条件下，甲市下雨的概率）乙市出现雨天的条件下，甲市下雨的概率（3 3）甲市或
24、乙市下雨的概率）甲市或乙市下雨的概率n解：记解：记A=“A=“甲市出现雨天甲市出现雨天”，B=“B=“乙市出现雨天乙市出现雨天”n根据题意，根据题意，P(A)=0.20P(A)=0.20，P(B)=0.14P(B)=0.14，P(AB)=0.14P(AB)=0.14n从而，在乙市下雨的条件下，甲市有从而，在乙市下雨的条件下，甲市有85.785.7的可能要下雨，可能性很大。的可能要下雨，可能性很大。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携带雨具。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携带雨具。3435n设设A A、BB，P P（A A）0,0,则则nP(AB)P(A)P(
25、B|A).上上式式就就称称为为事事件件A A、B B的的概率乘法公式。概率乘法公式。n上式还可推广到三个事件的情形：上式还可推广到三个事件的情形：n P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).n一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：nP(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)二、乘法公式二、乘法公式3637第八节第八节 事件的独立性事件的独立性3839例例 两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为炮击中敌机的概率为0.90.9，乙炮击中敌机的概率为，乙炮击中敌机的概率为0.80.8，求敌机被击中的概率？，求敌机被击中的概率？40