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1、充要条件【学习目标】L理解充要条件的意义2会判断一些简单的充要条件问题3能对充要条件进行 证明.【导语】同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能 不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比方：“人不犯我， 我不犯人，人假设犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有 很多类似的问题，让我们一探究竟吧！一、充要条件问题1以下“假设p,那么/形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？假设两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，那么这两个三角形全等；假设两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等；假设一元二
2、次方程以2+云+。=0有两个不相等的实数根，那么(4)假设AU8是空集，那么A与B均是空集.提示 不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但 它的逆命题是假命题；命题是假命题，但它的逆命题是真命题.问题2你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p,9的关系吗？提示首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.判断是q的什么条件，其实质是判断“假设p,那么，及其逆命题“假设必那么”是真是假， 原命题为真而逆命题为假，是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，那么是乡 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，那么是4的充要条件；原命
3、题为假，逆命题 为假，那么p是q的既不充分也不必要条件.【知识梳理】如果“假设p,那么和它的逆命题“假设q,那么p均是真命题，即既有包，又有 电，就记 作此时，p既是q的充分条件，也是的必要条件，我们说P是q的充分必要条件， 简称为充要条件.注意点：充要条件的判断方法：确定哪个是条件，哪个是结论；尝试用条件推结论；再尝试用 结论推条件；最后判断条件是结论的什么条件.例1指出以下各组命题中,P是4的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充 要条件” “既不充分也不必要条件”).当QV1且时，方程有两个不相等的实数根为，X2,假设方程只有一个负实数根,那么 xX2=0,即 a0.所以当关
4、于的方程q/+2x+1=0只有一个负实数根时，q=1或“W0.综上，关于x的方程q/+2x+1=。只有一个负实数根的充要条件是，=1或(1)/?： x= 1, q： x 1 =jx 1 ；(2)/?： 1WxW5, q： 1 且 xW5；(3)p： x+2Wy, q： (x+2)2tj?2；(4)p：。是自然数；qz。是正数.解(1)当 x=l 时， 11 成立;当 x1 =yx1 时,x=l 或 x=2.:p是q的充分不必要条件.(2)二一1 且 xW5,是q的充要条件.(3)由 q： (x+2)2Wy2,得 x+2Wy 且 x+2Wy,又 p： x+2Wy,故p是9的必要不充分条件.(4)
5、0是自然数，但。不是正数，故p分小又;是正数，但;不是自然数，故q分p.故p是乡的既 乙乙不充分也不必要条件.反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“假设P,那么/以及“假设小那么P”的真假.集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)等价法：即利用与的等价关系，一般地，对于条件和结论是否认形式的命题，一般运用等价法.(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由pi=p2=3=p，可得pi=p；充要条件也有传递性.跟踪训练1指出以下各组命题中，是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)：三角形为等腰三角
6、形，q：三角形存在两角相等；(2)：。内两条弦相等，q：。内两条弦所对的圆周角相等；(3)： A 0 3=0, q： A 与 3 之一为空集；(4)/7： a能被6整除，q： 能被3整除；解(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件.二、充要条件的证明例2求证：一元二次方程以2+公+。=0(，b,。是常数且W0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0, 且 XX2=一0,/. ac0.充分性：由ac0及汨及=20, 1f方程02 +法+。= ()3工0)有一正一负两实根.综上，一元二次方程ox2+bx+c=o(Q, b,。是常数且W0)有一正实根和一负实根
7、的充要条件是ac0),假设是q的必要不充分条件，求实数机的取值范围.解 p： 20).因为p是q的必要不充分条件，所以(7是P的充分不必要条件，即x|l1 -m x| 1 2WxW 10,1 2,1 /?z2,故有或1 +小0,所以实数根的取值范围为词00).因为是夕的充分不必要条件，设p代表的集合为A,q代表的集合为3, 所以A B.1mW 2,f 1m101 +2三 10,解得机29,即实数m的取值范围为w|629.1 .本例中p,夕不变，是否存在实数相使是q的充要条件？假设存在，求出根的值；假设不存 在，请说明理由.解 因为 p： 2Wx0）.- 2 1 - m,假设p是4的充要条件，贝
8、3,相不存在.10=l+m,故不存在实数阴，使得p是q的充要条件.反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值（范围）的一般步骤根据将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.（2）根据集合间的关系构建关于参数的方程（组）或不等式（组）求解.跟踪训练3在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件这三个条件中任选一个 补充在下面问题中，假设问题中的。存在，求的取值集合假设问题中的，不存在，说明 理由.问题：集合A=x|00）,是否存在实数m使得 是成立的?解由题意知A = x|0WxW4, 假设选，那么A是B的真子集，所以1且1+。4（两等号不能同时取得），又。0,解得
9、所以q存在，且的取值集合M=|q23.假设选，那么8是A的真子集，所以1一20且1+qW4（两等号不能同时取得），又 a09 解得 0cW 1,所以4存在，且的取值集合M=|00,方程组无解， 所以不存在满足条件的。课堂小结.知识清单：充要条件概念的理解.(2)充要条件的证明.(3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用.1 .方法归纳：等价转化.2 .常见误区：条件和结论区分不清.3随堂演练是 “xWO” 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析 由= xWO,反之不一定成立.因此“x0”是的充分不必要条件.1. x2-4x-5=0,?是 “
10、x=5” 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由 4%5 = 0 得 x=5 或 x= 1,那么当x=5时，N4x5=0成立，但当好一4x5=0时，x=5不一定成立.因此“12以一5=0”是“x=5”的必要不充分条件.2. ”是发1”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D4.函数=/+加氏+1的图象关于直线x=l对称的充要条件是.答案m= 2解析 函数 =5+如+1的图象关于直线=1对称，那么一4=1,即=2； 乙反之，假设加=2,那么y=x12x+的图象关于直线x=对称.课时对点练;基础巩固I
11、xv2” 是 “xW2” 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析设 A=xlx2, B=4rW2, A B.故是“xW2”的充分不必要条件.1. “x=l” 是 “/_2%+1=0” 的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析假设x=l,那么析-2%+1=0；假设/一2x+l=0,即（工一 1）2=0,那么x=l.故ax=r是“/一2r+l=0”的充要条件.2. 设xR,那么 “2是 “|x1|W1” 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析
12、由2得xW2,由仅一1|W1,得0WxW2.当xW2时不一定有0WxW2,而当0WxW2时一定有xW2, “2x0是“|x10的必要不充分条件.4 .小是实数，那么“。0”的（ ）A.充分不必耍条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D解析 a, b是实数，贝I假设。0,且b0,那么不一定有次?（q比方当ab0时，ah（a /?）09 那么 ab 和同号，当 ab0 时满足 ab（ab）09 当 ba09故不能确定。和b的正负.故是既不充分也不必要条件.5 .（多项选择）以下选项中正确的选项是（）A.点P到圆心。的距离大于圆的半径是点P在。外的充要条件B.两个三角形的面积
13、相等是这两个三角形全等的充分不必要条件4口3=4是8口4的必要不充分条件C. x或y为有理数是肛为有理数的既不充分也不必要条件答案AD6.（多项选择）使x4rW0或心2”成立的一个充分不必要条件是（）A. x20B. x2C. 工-1,3,5D. xWO 或 x2答案BC解析从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B, C满足题意.7 .ABC, 45G，两三角形对应角相等是的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”）答案必要不充分解析由两三角形对应角相等分 A3C0 AAiBiCi；反之由ABCgaAi3iG = NA=NAi,ZC=ZCi.8
14、.对于集合A, 8及元素x,假设AC8,那么是xAU3的 条件.答案充要解析 由xUB,显然可得xAU&反之，由AG3,那么所以由可得故是的充要条件.9 .求证：关于x的方程ajc2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+Z?+c=O.证明 充分性：因为q+8+c=0,所以 c= -ab,代入方程 or2+/?x+c=0,得 aj-Vbxa8=0,即（x 1）（办+。+。）=0.所以方程6Z%2 + Ax+c =。有一个根为1.必要性：因为方程。/+勿:+0=。有一个根为1,所以x= 1满足方程or2+Z?x+c=0,所以 qX 12+/?X 1 + c=0,即 q+Z?+c=O.故关于x的
15、方程以2+/+c=。有一个根为1的充要条件是a+/?+c=O.10 .设命题p： JwxWl；命题q： qWxWci+I,假设是9的充分不必要条件，求实数的取 值范围.解设 A=1+121, 解得0母，故所求实数a的取值范围是n综合运用.设计如下图的四个电路图，那么能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）答案C 解析 对于A, “开关A闭合”是“灯泡3亮”的充分不必要条件；对于B, “开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C, “开关A闭合”是“灯泡5亮”的必要不充分条件;对于D, “开关A闭合”是“灯泡3亮”的既不充分也不必要条件.11 .xR,贝U “x2=
16、x+6”是“工=小石”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由于“尤2=工+6”，那么“尸丸叼， 故42=1+6是”=后？的必要不充分条件.12 .集合A, 8之间的关系如下图，p： 口曲，g 那么p是夕的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析 由图可知A是3的补集的真子集，那么p是q的必要不充分条件.13 .“p：心m+3或是“q： -4xlv成立的必要不充分条件，那么实数机的取值 范围是. 答案mW7或加21解析 因为是夕成立的必要不充分条件，所以/n+3W 4或1,故mW 7或a21.工拓
17、广探究. “四边形A8C。且A, B, C,。四点共圆”是“NA+NC=180。”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案c.求证：关于x的方程办2+2x+1=0只有一个负实数根的充要条件是。=1或qWO.证明（1）充分性：当Q= 1时，方程。入2 + 21+1 =0的实根是X=X2= 1,只有一个负实 数根；当Q = 0时，方程分2 + 2x+l=0只有一个负实根是=一3；当。0,且XX2=y0y方程两根一正一负.CzC*所以当。=1或时，关于龙的方程以2+2x+i=。只有一个负实数根.（2）必要性：假设方程G2+2%+1=。只有一个负实数根，那么当4 = 0时，X=符合题意.当qWO时，方程分2+2%+1=0有实根，/=4-4，0,解得当。=1时，方程的解为一 1,符合题意；