人教A版新教材必修第一册《5.1.1 任意角》教案（定稿）.docx

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1、第五章三角函数5.1任意角和弧度制任意角【学习目标】1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角2了解象限角的概念，理解并掌握 终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合3利用象限角和终边相同的角的概 念解决简单的问题.【导语】同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了 5分钟，或时钟 快了 30分钟，应该如何校准？再比方，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转 了多少度？再比方在体操、花样游泳、跳水等工程中，我们也常常听到“前空翻转体540 度” “后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问 题，我们开始今天的新课.V任

2、意角的概念问题1在初中是如何定义角的？角的范围是多少？提示角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0。360。.【知识梳理】1 .角的概念角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.2 .角的表示O AO A如下图，角a可记为“a”或“Na”或“NA03”，始边：04,终边：OB,顶点：O.3 .角的分类方法二(直接法)因为角。与角用的终边关于)，轴对称，所以夕=180。一。+攵.360。，kRZ,名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。上负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角Wa即 口+夕=180。+ 4360。， kGZ.16.假设。是第二象限角，

3、试分别确定2呢 %方的终边所在位置.解a是第二象限角， 90+匕 3600a 180+h 360。(攵 e Z).Al 80+2k 3602a360+2k 360。(女 e Z),的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.n方法一 45。+左180。；90。+攵180/Z),a当 =2(Z)时，45。+ 360。590。+360。(2)；nn当=2 +15 Z)时，225。+ 360。5270。+ 360(n Z),1.5的终边位于第一或第三象限.* 30。+% 120。假设60。+hi 20。(女 e Z),a当 =3加伽2)时，30+3600t60+360(h e Z)； J当攵=3

4、+l(Z)时，150+n-360 180+n-360(ne Z)；j Jn当攵=3+2( Z)时，270。+ 360。不300。+ 360。(2),看的终边位于第一、第二或第四象限.方法二 将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自九轴正向按逆时针方向把每个区域 依次标上I , II, III, IV,如下图.Ta是第二象限角，与角。所在象限标号一致的区域，即为今的终边所在的象限，3的终边位于第一或第三象限.将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上 I , II, III, IV,如下图.是第二象限角，与角。所在象限标号一致的区域，即为为的终边所在的象

5、限, 的终边位于第一、第二或第四象限.零角一条射线没直做任何旋转形成的角0A4 .任意角我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.5 .相反角我们把射线0A绕端点。按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角。的相 反角记为一a例1假设手表时针走过4小时，那么时针转过的角度为（）A. 120B. -120C. -60D. 60答案B解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，4即为 一75乂360。=- 1200.JL乙反思感悟 正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方 向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是

6、表示具有相 反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（）A. 60, 720B. -60, -720C. -30, -360D. -60, 720答案B2解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而方X360。= 60。，2X360 = 720,故钟表的时针和分针转过的角度分别是一60。，-720.二、象限角问题2现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？提示 我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限

7、，就说这个角是第几象限角.注意点：锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限.每一个象限都有正角和负角.无法比拟两个象限角的大小.例2 （多项选择）在160。；480。；一960。； 1 530。以下四个角中，属于第二象限角的是（）A. 160B. 480D. 1 530C. -960 答案ABC解析A中，160。很显然是第二象限角；B中,480。=12。+360。是第二象限角；C中，一960。=-3义360。+120。是第二象限角；D中，1 530。=4*360。+ 90。不是第二象限角.反思感悟正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需

8、要掌握判断 结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.跟踪训练2 (多项选择)以下表达不正确的选项是()A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180。的角是钝角、直角或锐角答案ACD解析直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90。小于180。的角，是第二象限 角，故B正确；由于120。是第二象限角，390。是第一象限角，120。390。，故C不正确；由 于零角和负角也小于180。，故D不正确.三、终边相同的角问题3给定一个角，它的终边是否唯一？假设两角的终边相同，那么这两个角相等吗？提示 给定

9、一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比方30。的终边 和390。的终边相同，它们正好相差了 360。.【知识梳理】终边相同的角所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合5= 用=仪+%360。，攵&Z,即 任一与角。终边相同的角，都可以表示成角。与整数个周角的和.例31=一1 845。，在与a终边相同的角中，求满足以下条件的角.最小的正角；最大的负角；(3) 360。720。之间的角.解 因为一1 845。=45。+ (5)X360。，即一1 845。角与一45。角的终边相同，所以与角。终边相同的角的集合是缈=45。+女360。，k,(1)最小的正角为315.最大

10、的负角为一45。.（3）360。720。之间的角分别是一45。, 315, 675.反思感悟终边相同的角的表示（1）终边相同的角都可以表示成仁+/360。（左2）的形式.终边相同的角相差360。的整数倍.跟踪训练3假设角2。与240。角的终边相同，那么a等于（）120+360, kGZA. 120 + 180, kGZ240+360, kGZB. 240+Z:-180, kH答案B解析角2a与240。角的终边相同，贝U 2a=240。+k360。, k5,那么 a=1200+kl80。，ZZ.四、区域角以及终边在直线上的角的表例如4角。的终边在图中阴影局部内，试指出角。的取值范围.解 终边在3

11、0。角的终边所在直线上的角的集合为5 = 琳/ = 30。+ %180。2,终边在180 一75。=105。角的终边所在直线上的角的集合为52=。=105。+%180。,正Z,因此,终边 在图中阴影局部内的角a的取值范围为旬30。+4180。取时105。+%180。, %WZ.反思感悟（1）象限角的判定方法根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0。360。之间的 角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.将角转化到。360。范围内.在直角坐标平面内，在0。360。之间没有两个角终边是相同 的.表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：

12、按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。360。范围内的角a和从 写出 最简区间,其中夕一夕360。.第三步：起始、终止边界对应角a, 再加上360。的整数倍，即得区域角集合.跟踪训练4，如下图.（1）分别写出终边落在04位置上的角的集合；写出终边落在阴影局部（包括边界）的角的集合.解（1）终边落在04位置上的角的集合为砒/ = 210。+攵.360。，ZZ,终边落在。B位置上 的角的集合为砒300。+表360。, kGZ.终边落在阴影局部（包括边界）的角的集合是创210。+k360。忘。或300。+0360。，攵Z.1 课堂小结-.知识清单：（1）正角、负角、零角的概念.（2）终边相

13、同的角的表示.（3）象限角、区域角的表示.2 .方法归纳：数形结合、分类讨论.3 .常见误区：锐角与小于90。角的区别，终边相同的角的表示中漏掉ZZ.3随堂演练. %是锐角”是“Q是第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析因为。是锐角能推出。是第一象限角，但是反之不成立，例如400。是第一象限角，但不是锐角，所以“。是锐角”是“。是第一象限角”的充分不必要条件.1 . 2 022。是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案C解析 2 022。= 5 X 360。+ 222,所以2 022。角的终边与222。角的

14、终边相同，为第三象限角.2 .与一460。角终边相同的角可以表示成（）A. 460+360, kZB. 100+360, %ZC. 260+Z:-360, kZD. -260+360, kGZ答案c解析 因为一460 = 260 + (-2)X360,故与一460。角终边相同的角可以表示成260+360, kZ.3 .角。的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角。的集合是答案345。+ h 360150 + h 360，攵 Z解析观察图形可知，角。的集合是。|45。+攵 360 150+360,攵 Z.课时对点练际基础巩.如果角。的终边上有一点P(0, -3),那么成 )A,是第三象

15、限角B.是第四象限角C.是第三或第四象限角D.不是象限角答案D解析 点尸(0, 3)在y轴负半轴上，故。的终边为y轴的负半轴.1 .假设a是第四象限角，那么180。一。是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案C解析 可以给a赋一特殊值一60。，那么180。-q = 240。，故180。一a是第三象限角.2 .时针走过2小时40分，那么分针转过的角度是()A. 80 B. -80 C. 960 D. -960答案D22角翠析 4060=t, 360X-=240.由于时针、分针都是顺时针旋转，时针走过2小时40分，分针转过的角度为-2*360。-240。=960。.4 .

16、下面各组角中，终边相同的是（）A. 390, 690B. 330。, 750C. 480, -420D. 3 0000, -840答案B解析 因为一330。= 360。+ 30。，750 = 2 X 360。+ 30。， 所以一330。与750。终边相同.5 .如图，终边在阴影局部（含边界）的角的集合是（）A. 45WaW120。a|1200WoW315。B. 切一45。+ %360。4。W120。+ 上360。，切120。+匕360。或315。+2360。, kZ答案C解析 如题图，终边落在阴影局部（含边界）的角的集合是。|一45。+4360。或。4120。+ A360。，kZ.6 .（多项

17、选择）以下四个角为第二象限角的是（）A. -200 B. 100 C. 220 D. 420答案AB解析 一200。=360。+160。，在。360。范围内，与一200。终边相同的角为160。，它是第 二象限角，同理100。为第二象限角，220。为第三象限角，420。为第一象限角.7.1112。角是第 象限角.答案一解析 VI 112 = 360oX3 + 32,；1 112。的终边与32。的终边相同,均为第一象限角.8.在0。360。范围内，与角一60。的终边在同一条直线上的角为.答案 120, 300解析 与角一60。的终边在同一条直线上的角可表示为=60。+攵180。，k，所求角在0。3

18、60。范围内,A0-60+k-180360, kGZ,1 7解得gWZW1, kZ,：.k= 或 2. 当 k=l 时,4=120。；当k=2时，4=300。.9 . .=一1910。.（1）把Q写成分360。/乙0。夕360。）的形式，并指出它是第几象限角；（2）求仇 使。与a的终边相同，且一720。或。0。.解（1=-1 910=-6X360+250,它是第三象限角.（2）令夕=250。+-360。52）,取 =1, 2就得到符合一720。0。的角.当 =1 时，8=250。一360。= 110。；当 =-2 时，0=250-720=-470.故。=一 110。或 =-470.10 .在平

19、面直角坐标系中，用阴影表示以下集合：（1）。|30。+ 攵360。忘。60。+ %360。, %Z；（2）。|30。+80。60。+匕180。，kZ.解 根据任意角的定义，画出集合切30。+。360。W660。+攵360。，正Z对应的区域如 图阴影局部（含边界）所示.（2）根据任意角的定义,画出集合耶0。+定180。660。+4180。,女WZ对应的区域如图阴 影局部（含边界）所示.n综合运用11 .（多项选择）角0=45。+攵180。（攵2）的终边落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案AC解析当攵=2祖+1（后Z）时，。=2 m 180。+ 225。=祖360。 + 2

20、25, 故。为第三象限角； 当攵=22（2 0Z）时，cc=m-3604-45,故。为第一象限角.故a的终边落在第一或第三象限.12 .终边与坐标轴重合的角a的集合是（）aa = A3600, kZA. a|a=90o + 180, kGZaa=Z180。，kZB. aa=k-90% k答案D解析终边在坐标轴上的角为90。的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为a|a=k90。，kZ.13 .。为锐角，那么为为（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.小于180。的正角答案D解析因为。为锐角，所以0。仪90。，那么0。20180。.14 .假设。为A3C的一个内角，且4。与120。的终边相同，那么。= 答案 120。或30。角翠析 : 4。= 120。+ k 360。， Z Z,Aa=30 + Z:-90o, kZ,XV00a180,当 4=1 时,=1200；当女=0 时,a=30.拓广探究15.角。与角夕的终边关于y轴对称，那么a与4的关系为（）A. 口+4=匕360, kRZa+夕=180。+左360。, kZB. a=180。+-360。, kHa一4=攵360。, kRZ答案B解析 方法一（特值法）令。=30。，4=150。，那么a+4=180。.