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1、1第 3 讲平面向量高考定位1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2018 全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab 1，则a(2ab)()A.4 B.3 C.2 D.0 解析a(2ab)2a2ab2(1)3，故选 B.答案B 2.(2018 浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A
2、.31 B.31 C.2 D.23 解析法一设O为坐标原点，aOA，bOB(x，y)，e(1，0)，由b24eb30得x2y24x30，即(x2)2y2 1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1 为半径的圆.因为a与e的夹角为3，所以不妨令点A在射线y3x(x0)上，如图，数形结合可知|ab|min|CA|CB|3 1.故选 A.法二由b24eb30 得b24eb3e2(be)(b3e)0.设bOB，eOE，3eOF，所以beEB，b3eFB，所以EBFB 0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图，设aOA，作射线OA，使得AOE3，所以|ab|(a2e)(2eb)|
3、a2e|2eb|CA|BC|31.故选 A.答案A 3.(2017 天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2，若BD2DC，AE ACAB(R)，且ADAE 4，则 的值为 _.2解析ABAC32cos 60 3，AD13AB23AC，则ADAE13AB23AC(ACAB)23ABAC13AB223AC2 233133223221135 4，解得 311.答案3114.(2016 浙江卷)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|6，则ab的最大值是 _.解析法一由已知可得：6|ae|be|aebe|(ab)e|，由于上式对任意单位向量e都成立.6|ab|成立
4、.6(ab)2a2b22ab12222ab，即 65 2ab，ab12.法二由题意，令e(1，0)，a(cos，sin)，b(2cos，2sin)，则由|ae|be|6可得|cos|2|cos|6.令 sin 2sin m，22得 4(|cos cos|sin sin)1m2对一切实数，恒成立，所以4(|cos cos|sin sin )1.故ab2(cos cos sin sin)2(|cos cos|sin sin)12.答案12考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平
5、面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)ababx1x2y1y20.3.平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|aax2y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，3则|AB|（x2x1）2（y2y1）2.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平
6、面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP1OA2OB(其中 121).(2)三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则向量OP与向量OA，OB的关系是OP12(OAOB).(3)三角形重心坐标的求法：G为ABC的重心GAGBGC0GxAxBxC3，yAyByC3热点一平面向量的有关运算 考法 1 平面向量的线性运算【例 1 1】(1)(2018 全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC(2)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，
7、DCDF.若AEAF1，则 的值为 _.解析(1)法一如图所示，EBEDDB12AD12CB1212(ABAC)12(ABAC)34AB14AC，故选 A.法二EBABAEAB12ADAB1212(ABAC)34AB14AC，故选 A.(2)法一如图，AEABBEAB13BC，AFADDFAD1DCBC1AB，所以AEAF4AB13BCBC1AB 113ABBC1AB213BC2 11322cos 120 4431，解得 2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(3，0)，D(3，0).由BC3BE，DCDF，可求点E，F的坐标分别为E233，13，F3 1
8、1，1，AEAF 233，433 11，11 2 1143111，解得 2.答案(1)A(2)2 探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.考法 2 平面向量的坐标运算【例 12】(1)(2018 北京卷)设向量a(1，0)，b(1，m).若a(m ab)，则m_.(2)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC()A.30 B.45C.60 D.120解析(1)由题意得，m ab(m1，m)，根据向量垂直的充要条件可得1(m 1)0(m)0，所以m 1.(2)|BA|1，|BC|1，c
9、osABCBABC|BA|BC|32，则ABC30.答案(1)1(2)A 探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.5 考法 3 平面向量数量积的运算【例 1 3】(1)(2017 浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记I1OAOB，I2OBOC，I3OCOD，则()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3(2)(2018 北京昌平区调研)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为 _；DED
10、C的最大值为 _.解析(1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOAF，而AFB90，AOB与COD为钝角，AOD与BOC为锐角，根据题意，I1I2OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA|OB|CA|cosAOB0，I1I3，作AGBD于G，又ABAD，OBBGGDOD，而OAAFFCOC，|OA|OB|OC|OD|，而 cosAOBcosCODOCOD，即I1I3.I3I1I2.(2)法一如图，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t0，1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DEC
11、B(t，1)(0，1)1.因为DC(1，0)，所以DEDC(t，1)(1，0)t1，故DEDC的最大值为1.法二如图，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB1，所以DECB|CB|1 1.当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC1，所以(DEDC)max|DC|1 1.答案(1)C(2)1 1 探究提高(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；在用|a|a2求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.6(2)求解几何图形中的数量积问题
12、，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练 1】(1)(2018 温州模拟)平面向量a，b满足|a|4，|b|2，ab在a上的投影为 5，则|a2b|的模为()A.2 B.4 C.8 D.16(2)已知ABAC，|AB|1t，|AC|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且APAB|AB|4AC|AC|，则PBPC的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21(3)已知a，b均为单位向量，且(2ab)(a2b)332，则向量a，b的夹角为 _.解析(1)|ab|cos ab，a|ab
13、|（ab）a|ab|a|a2ab|a|16ab45；ab4.又(a2b)2a24ab4b216161616，|a2b|4.(2)建立如图所示坐标系，则B1t，0，C(0，t)，AB1t，0，AC(0，t)，则APAB|AB|4AC|AC|t1t，0 4t(0，t)(1，4).点P(1，4)，则PBPC1t1，4(1，t 4)171t4t17 21t4t13，当且仅当4t1t，即t12时取等号，故PBPC的最大值为13.(3)设单位向量a，b的夹角为 ，则|a|b|1，abcos.(2ab)(a2b)332，72|a|22|b|23ab 3cos 332，cos 32.0 ，6.答案(1)B(2
14、)A(3)6热点二平面向量与三角的交汇【例 2】(2018金丽衢十二校联考)已知向量a(cos x，sin x)，b(6，2)，x0，.(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)由题意，得6cos x2sin x0，所以 tan x3，又x0，所以x3.(2)f(x)ab6cos x2sin x22sinx3，因为x0，所以x33，23，即f(x)的最大值为22，此时x32，于是x56；f(x)的最小值为6，此时x33，于是x0.探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直
15、、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练 2】(2018湖州调研)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p(cos Bsin B，2sin B2)，q(sin Bcos B，1sin B)，且pq.(1)求B的大小；(2)若b2，ABC的面积为3，求a，c.解(1)因为pq，所以pq(cos Bsin B)(sin Bcos B)(2sin B2)(1 sin B)0
16、，即 sin2Bcos2B2sin2B20，即 sin2B34，8又角B是锐角三角形ABC的内角，所以 sin B32，所以B60.(2)由(1)得B60，又ABC的面积为3，所以SABC12acsin B，即ac4.由余弦定理得b2a2c22accos B，又b2，所以a2c28，联立，解得ac2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对
17、于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直.3.两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线一、选择题1.(2018 北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析|a3b|3ab|，(a3b)2(3ab)2，a26ab 9b29a26abb2，又|a|b|1，ab0，ab；
18、反之也成立.故选 C.答案C 2.已知向量a(2，4)，b(3，x)，c(1，1)，若(2ab)c，则|b|()A.9 B.3 C.109 D.310 解析向量a(2，4)，b(3，x)，c(1，1)，2ab(1，x 8)，9由(2ab)c，可得 1 8x0，解得x9.则|b|（3）292310.答案D 3.(2018 宁波模拟)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：p1：|ab|0，23p2：|ab|23，p3：|ab|0，3p4：|ab|3，其中的真命题是()A.p1，p4 B.p1，p3 C.p2，p3 D.p2，p4解析|a|b|1，且 0，若|ab|1，则(ab)2 1，
19、a22abb2 1，即ab12，cos ab|a|b|ab12，0，23；若|ab|1，同理求得ab12，cos ab12，3，故p1，p4正确，应选A.答案A 4.(2014 浙江卷)记 maxx，y x，xy，y，xy，minx，yy，xy，x，x1).(1)若 3，证明：ABC为直角三角形；(2)若ACBC982，且c3，求 的值.(1)证明 3，ab3c，由正弦定理得sin Asin B3sin C，C3，sin Bsin23B32，即 sin B32cos B12sin B32，32sin B32cos B32，则 sinB632，从而B63或B623，15解得B6或B2.若B6，则A2，ABC为直角三角形；若B2，ABC亦为直角三角形.(2)解若ACBC982，则12ab982，ab942.由余弦定理知a2b2c22abcos C，即a2b2abc29，即(ab)23ab9，又ab3，故 9227429，解得 24，又 1，2.