《(江苏专)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量试题理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(江苏专)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量试题理.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、3 1/15 第 3 讲 平面向量 高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级，只有平面向量的应用为 A 级要求，平面向量的数量积为 C 级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟 1.(2015江苏卷)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.解析 a(2，1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即2mn9，
2、m2n8，解得m2，n5，故mn253.答案 3 2.(2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为 1，1，2，OA与OC的夹角为，且 tan 7，OB与OC的夹角为 45.若OCmOAnOB(m，nR)，则mn_.解析 如图，设ODmOA，DCnOB，则在ODC中有ODm，DCn，OC2，OCD45，由 tan 7，得 cos 210，又由余弦定理知 m2n2（2）22 2ncos 45，n2m2（2）22 2mcos，3 2/15 即m2n222n，n2m2225m，得 42n25m0，即m105n，代入得 12n249n490，解得n74或n73，当n73时，m
3、10573530(不合题意，舍去)，当n74时，m1057454，故mn54743.答案 3 3.(2016江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BACA4，BFCF1，则BECE的值是_.解析 设ABa，ACb，则BACA(a)(b)ab4.又D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则AD12(ABAC)12a12b，AF23AD13a13b，AE13AD16a16b，BFBAAFa13a13b23a13b，CFCAAFb13a13b13a23b，则BFCF23a13b13a23b 29a229b259ab29(a2b2)5941.可得a2b2292.又B
4、EBAAEa16a16b56a16b，CECAAEb16a16b16a56b，3 3/15 则BECE56a16b16a56b 536(a2b2)2636ab5362922636478.答案 78 4.(2017江苏卷)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，3)，x0，.(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)ab，3sin x 3cos x，3sin x 3cos x0，即 sinx60.0 x，6x676，x6，x56.(2)f(x)ab3cos x 3sin x2 3sinx3.x0，x33，23，32sinx31，2 3
5、f(x)3，当x33，即x0 时，f(x)取得最大值 3；当x32，即x56时，f(x)取得最小值2 3.考 点 整 合 1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.3.平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|aax2y
6、2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 3 4/15|AB|（x2x1）2（y2y1）2.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP1OA2OB(其中121).(2)三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则向量OP与向量OA，OB的关系是OP12(OAOB).(3)三 角 形 重 心 坐 标 的 求 法：G为 ABC的 重 心 GAGBGC0GxAxBxC3，yAyByC3.热点一 平面向
7、量的有关运算 命题角度 1 平面向量的线性运算【例 11】(1)(2017天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2，若BD2DC，AEACAB(R)，且ADAE4，则的值为_.(2)已知菱形ABCD的边长为 2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则的值为_.解析(1)ABAC32cos 603，AD13AB23AC，则ADAE13AB23AC(ACAB)23ABAC13AB223AC22331332232211354，解得311.(2)法一 如图，AEABBEAB13BC，AFADDFAD1DCBC1AB，所以AEAFAB13BCBC1AB113
8、ABBC1AB23 5/15 13BC211322cos 1204431，解得2.法二 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(3，0)，D(3，0).由BC3BE，DCDF，可求点E，F的坐标分别为 E2 33，13，F311，1，AEAF2 33，43311，11 21143111，解得2.答案(1)311(2)2 探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.命题角度 2 平面向量的坐标运算【例 12】(1)(2017江苏冲刺卷)已知向量a(2，1)，b(0，
9、1).若(ab)a，则实数_.(2)(2016全国卷改编)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC_.解析(1)由题意可得ab(2，1)，则(ab)a(2，1)(2，1)50，解得5.(2)|BA|1，|BC|1，cosABCBABC|BA|BC|32，则ABC30.答案(1)5(2)30 探究提高 若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.命题角度 3 平面向量的数量积【例 13】(1)(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.3 6/15(2)(201
10、7佛山二模)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BEBC，DF19DC，则AEAF的最小值为_.解析(1)|a2b|2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2 22222122244412，|a2b|122 3.(2)法一 在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，AEABBC，AFAD19DC，AEAF(ABBC)(AD19DC)ABADAB19DCBCADBC19DC21cos 602191cos 6019cos 1202921718229217182918，当且仅当292，即23时，取得最小值为291
11、8.法二 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C32，32，D12，32.又BEBC，DF19DC，则E212，32，F1219，32，0，所以AEAF212121934171829121718229122918，0，当且仅当2912，即23时取等号，故AEAF的最小值为2918.答案(1)23(2)2918 探究提高(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；在用|a|a2求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.(2)
12、求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一3 7/15 种较为简捷的方法.【训练 1】(1)(2017全国卷改编)已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是_.(2)(2017南京、盐城模拟)如图，在矩形ABCD中，AB 2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF 2，则AEBF的值是_.解析(1)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(1，0)，C(1，
13、0).设P(x，y)，则PA(x，3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y).所以PA(PBPC)(x，3y)(2x，2y)2x22y32232.当x0，y32时，PA(PBPC)取得最小值为32.(2)法一 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB，AD的方向分别为x轴、y轴的正方向)，则B(2，0)，E(2，1).设F(x，2)，则AF(x，2)，又AB(2，0)，ABAF2x2，x1，F(1，2)，AEBF 2.法二 ABAF|AB|AF|cos BAF 2，|AB|2，|AF|cos BAF1，即|DF|1，|CF|21，AEBF(ABBE)(B
14、CCF)ABBCABCFBEBCBECFABCFBEBC 2(21)(1)121 2.答案(1)32(2)2 热点二 平面向量与三角的交汇 3 8/15【例 2】(2017南京模拟)已知向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，0，2，t为实数.(1)若ab25，0，求t的值；(2)若t1，且ab1，求 tan24的值.解(1)因为向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，且ab25，0，所以 cos sin 15，tsin2.由 cos sin 15，得(cos sin)2125，即 12sin cos 125，从而 2sin cos 2425.所以(cos sin)212s
15、in cos 4925.因为0，2，所以 cos sin 75，所以 sin（cos sin）（cos sin）235，所以tsin2925.(2)因为t1，且ab1，所以 4sin cos sin21，即 4sin cos cos2.因为0，2，所以 cos 0，从而 tan 14，所以 tan 22tan 1tan2815，所以 tan24tan 2tan 41tan 2tan 481511815237.探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的
16、交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练 2】(2017苏北四市模拟)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p(cos Bsin B，2sin B2)，q(sin Bcos B，1sin B)，且p3 9/15 q.(1)求B的大小；(2)若b2，ABC的面积为 3，求a，c.解(1)因为pq，所以pq(cos Bsin B)(sin Bcos B)(2sin B2)(1sin B)0，即 sin2Bcos2B2sin2B20，即 sin2B
17、34，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以 sin B32，所以B60.(2)由(1)得B60，又ABC的面积为 3，所以SABC12acsin B 3，即ac4.由余弦定理得b2a2c22accos B，又b2，所以a2c28，联立，解得ac2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条
18、对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直.3.两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.3 10/15 一、填空题 1.(2017山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若 3e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_.解析 cos 60（3e1e2）（e1e2）|3e1e2|e1e2|331 12 12，解之得33.答案 33 2.(2015北京卷)在ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC.若MNxAByAC，则x
19、_；y_.解析 MNMCCN13AC12CB 13AC12(ABAC)12AB16AC，x12，y16.答案 12 16 3.已知A，B，C为圆O上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_.解析 由AO12(ABAC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹角为 90.答案 90 4.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OPOA(ABAC)，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_(填重心、垂心、内心或外心).解析 由已知，得OPOA(ABAC)，即AP(ABAC)，根据平行四边形法则，设ABC中BC边的中点为D，知ABAC
20、2AD，所以点P的轨迹必过ABC的重心.故填重心.3 11/15 答案 重心 5.(2017苏、锡、常、镇调研)在ABC中，已知AB1，AC2，A60，若点P满足APABAC，且BPCP1，则实数的值为_.解析 由AB1，AC2，A60，得BC2AB2AC22ABACcos A3，即BC3.又AC2AB2BC2，所以B2.以点A为坐标原点，AB，BC的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(1，0)，C(1，3).由APABAC，得P(1，3)，则BPCP(，3)(，33)23(1)1，即 42310，解得14或1.答案 14或 1 6.(2014江苏卷)如图，在平行四边形ABC
21、D中，已知AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD的值是_.解析 由题图可得，APADDPAD14AB，BPBCCPBC34CDAD34AB.APBPAD14ABAD34AB AD212ADAB316AB22，故有 22512ADAB31664，解得ADAB22.答案 22 7.ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量a，b满足AB2a，AC2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号).a为单位向量；b为单位向量；ab；bBC；(4ab)BC.解析 AB24|a|24，|a|1，故正确；BCACAB(2ab)2ab，又ABC为等边三角形，|BC|b|2，故错误；bACA
22、B，ab12AB(ACAB)1222cos 60122210，故错误；3 12/15 BCb，故正确；(ABAC)(ACAB)AC2AB2440，(4ab)BC，故正确.答案 8.如图，在ABC中，C90，且ACBC3，点M满足BM2MA，则CMCB_.解析 法一 如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由BM2MA，得x2（3x），y32y，解得x2，y1，即M点坐标为(2，1)，所以CMCB(2，1)(0，3)3.法二 CMCB(CBBM)CBCB2CB23BACB223CB(CACB)13CB23.答案 3 二、解答题 9.已知向量acos 3x2
23、，sin 3x2，bcos x2，sin x2，且x0，2.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是32，求的值.解(1)abcos 3x2cos x2sin 3x2sin x2cos 2x，3 13/15|ab|cos 3x2cos x22sin 3x2sin x22 22cos 2x2 cos2x，因为x0，2，所以 cos x0，所以|ab|2cos x.(2)由(1)，可得f(x)ab2|ab|cos 2x4cos x，即f(x)2(cos x)2122.因为x0，2，所以 0cos x1.当0 时，当且仅当 cos x0 时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾
24、；当 01 时，当且仅当 cos x时，f(x)取得最小值122，由已知得12232，解得12；当1 时，当且仅当 cos x1 时，f(x)取得最小值 14，由已知得 1432，解得58，这与1 相矛盾.综上所述12.10.(2017镇江模拟)已知向量m(cos，1)，n(2，sin)，其中0，2，且mn.(1)求 cos 2的值；(2)若 sin()1010，且0，2，求角的值.解(1)由mn，得 2cos sin 0，sin 2cos，代入 cos2sin21，得 5cos21，又0，2，则 cos 55，故 sin 2 55，则 cos 2cos2sin235.(2)由0，2，0，2，
25、得2，2.因为 sin()1010，所以 cos()3 1010，则 sin sin()sin cos()cos sin()3 14/15 2 553 101055101022.因为0，2，所以4.11.(2017南师附中调研)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a，3b)与n(cos A，sin B)平行.(1)求A；(2)若a 7，b2，求ABC的面积.解(1)因为mn，所以asin B 3bcos A0，由正弦定理，得 sin Asin B 3sin Bcos A0，又 sin B0，从而 tan A 3，由于 0A，所以A3.(2)法一 由余弦定理，得a2b2c2
26、2bccos A，而a 7，b2，A3，得 74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为S12bcsin A3 32.法二 由正弦定理，得7sin 32sin B，从而 sin B217，又由ab，知AB，所以 cos B2 77，故 sin Csin(AB)sinB3 sin Bcos 3cos Bsin 33 2114.所以ABC的面积为S12absin C3 32.内容总结 （1）第 3 讲 平面向量 高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级，只有平面向量的应用为 A 级要求，平面向量的数量积为 C 级要求.主要考3 15/15 查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档