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1、1第 2 讲三角恒等变换与解三角形高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018 全国卷)若 sin 13，则 cos 2()A.89B.79C.79D.89解析cos 2 12sin2 1213279.答案B 2.(2018 全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面
2、积为a2b2c24，则C()A.2B.3C.4D.6解析根据题意及三角形的面积公式知12absin Ca2b2c24，所以 sin Ca2b2c22abcos C，所以在ABC中，C4.答案C 3.(2018 浙江卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a7，b2，A60，则 sin B_，c _.解析因为a7，b2，A60，所以由正弦定理得sin Bbsin Aa2327217.由余弦定理a2b2c22bccos A可得c22c30，所以c3.答案2173 4.(2017 浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是 _，
3、cosBDC_.2解析依题意作出图形，如图所示，则 sin DBCsin ABC.由题意知ABAC4，BCBD2，则 sin ABC154，cosABC14.所以SBDC12BCBDsin DBC1222154152.因为 cosDBCcosABC14BD2BC2CD22BDBC8CD28，所以CD10.由余弦定理，得cosBDC4 1042210104.答案152104考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2cos21，sin cos tan.(2)诱导公式：对于“k2，kZ 的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正
4、弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin；cos()cos cos sin；tan()tan tan tan.(4)二倍角公式：sin 2 2sin cos，cos 2 cos2 sin22cos21 12sin2.(5)辅助角公式：asin xbcos xa2b2sin(x)，其中 tan ba.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在ABC中，asin Absin Bcsin C2R(R为ABC的外接圆半径)；变形：a2Rsin A，sin Aa2R，abcsin Asin Bsin C等.(2)余弦定理3在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b
5、2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc.(3)三角形面积公式SABC12absin C12bcsin A12acsin B.热点一三角恒等变换及应用【例 1】(1)(2018 全国卷)已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且 cos 2 23，则|ab|()A.15B.55C.255D.1(2)若 tan 2tan 5，则cos 310sin5()A.1 B.2 C.3 D.4(3)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为1213，513，AOC.若|BC|1，则3cos22s
6、in2cos232的值为 _.解析(1)由题意知cos 0.因为 cos 2 2cos2 123，所以 cos 306，sin 66，得|tan|55.由题意知|tan|ab12，所以|ab|55.故选 B.(2)cos 310sin5sin2310sin5sin5sin5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5tan tan51tan tan5121213.(3)由题意得|OC|OB|BC|1，从而OBC为等边三角形，4所以 sin AOB sin3 513，所以3cos22sin2cos23231cos 2sin 23212sin 32cos sin3 513.答案
7、(1)B(2)C(3)513探究提高1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练 1】(1)(2018 全国卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin()_.(2)(2017 北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角 与角 均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若 sin 13，则 cos(
8、)_.(3)(2018 湖州质检)若 cos(2)1114，sin(2)437，042，则 的值为 _.解析(1)sin cos 1，cos sin 0，sin2 cos22sin cos 1，cos2 sin22cos sin 0，两式相加可得sin2 cos2sin2cos2 2(sin cos cos sin)1，sin()12.(2)与 的终边关于y轴对称，则 2k，kZ，2k，k Z.cos()cos(2k)cos 2 (12sin2)5 121979.(3)因为 cos(2 )1114且42 ，所以 sin(2)5314.因为 sin(2)437且422，所以 cos(2)17.所
9、以 cos()cos(2)(2)cos(2 )cos(2)sin(2 )sin(2)111417531443712.因为434，所以 3.答案(1)12(2)79(3)3热点二正、余弦定理的应用 考法 1 三角形基本量的求解【例 2 1】(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD 5.(1)求 cosADB；(2)若DC22，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得BDsin AABsin ADB，即5sin 45 2sin ADB，所以 sin ADB25.由题设知，ADB0，所以b3.探究提高解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优
10、先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练 2】(2016浙江卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.8(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积Sa24，求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sin B sin C2sin Acos B，故 2sin Acos B sin B sin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB).又A，B(0，)，故 0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由Sa24得12absin Ca24，故有 sin
11、Bsin C12sin 2Bsin Bcos B，因 sin B0，得 sin Ccos B.又B，C(0，)，所以C2B.当BC2时，A2；当CB2时，A4.综上，A2或A41.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三
12、角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S12absin C来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角9一、选择题1.已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2 等于()A.43B.34C.34D.43解析sin 2cos 102，sin24sin cos 4cos252.用降幂公式化简得4sin 2 3
13、cos 2，tan 2 sin 2 cos 2 34.故选 C.答案C 2.(2018 全国卷)在ABC中，cosC255，BC 1，AC 5，则AB()A.42 B.30 C.29 D.25 解析因为cos C 2cos2C2 1215 135，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C2512513532，所以AB 42，故选 A.答案A 3.(2018 北京西城区调研)在ABC中，B4，BC边上的高等于13BC，则 cos A()A.31010B.1010C.1010D.31010解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B4，BD13BC，DC23BC，tan BAD1，
14、tan CAD2，ta nBAC12112 3，所以 cosBAC1010.答案C 4.设 0，2，0，2，且 tan 1sin cos，则()A.32B.22C.32D.2210解析由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos，即 sin cos cos cos sin，sin()cos sin2.0，2，0，2，2，2，2 0，2，由 sin()sin2，得 2，22.答案B 5.(2018 杭州调研)已知 cosx313，则 cos 2x53sin23x的值为()A.19B.19C.53D.53解析cos 2x53 sin23x cos 2x23 sin2x312co
15、s2x31cos2x323cos2x353.答案C 6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，则下列等式成立的是()A.a2bB.b2aC.A 2B D.B2A解析等式右边 2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin(AC)sinAcos Csin B.等式左边 2sin Bcos C sin B，2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B，因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为 0.所以 2sin Bsin A，根据正弦定理，得
16、a2b.答案A 11二、填空题7.(2018 金华模拟)已知 sin3 1302，则 sin6 _.解析sin3 13，cos6 cos23sin3 13；又 02，6623，sin6 1cos26 1132223.答案2238.(2018 全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为 _.解析由bsin Ccsin B4asin Bsin C得 sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为 sin Bsin C0，所以 sin A12.因为b2c2a28，所以 c
17、os Ab2c2a22bc82bc32，所以bc833，所以SABC12bcsin A1283312233.答案2339.(2018 稽阳联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csin A3acos C，则C_；若c31，ABC的面积为332，则ab_.解析由正弦定理可得sin Csin A3sin Acos C，在ABC中，sin A0，tan C3，C3，又12absin C332，ab6，再由余弦定理得c2a2b22abcos C，即 31a2b2ab，31(ab)2 3ab，ab7.答案37 10.(2018 北京卷)若ABC的面积为34(a2c2b2)，且C为钝
18、角，则B_；ca的取值范围是 _.解析ABC的面积S12acsin B34(a2c2b2)342accos B，所以 tan B3，因12为 0B90，所以B60.因为C为钝角，所以 0A30，所以 0tan A2，故ca的取值范围为(2，).答案60(2，)11.(2018 江苏卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则 4ac的最小值为 _.解析因为ABC120，ABC的平分线交AC于点D，所以ABDCBD60，由三角形的面积公式可得12acsin 120 12a1sin 60 12c1sin 60，化简得acac，又a0，
19、c0，所以1a1c1，则 4ac(4ac)1a1c5ca4ac5 2ca4ac9，当且仅当c2a时取等号，故4ac的最小值为9.答案9 三、解答题12.(2018 浙江卷)已知角 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P35，45.(1)求 sin()的值；(2)若角 满足 sin()513，求 cos 的值.解(1)由角 的终边过点P35，45得 sin 45，所以 sin()sin 45.(2)由角 的终边过点P35，45得 cos 35，由 sin()513得 cos()1213.由()得 cos cos()cos sin()sin，所以 cos 5665或 cos
20、1665.13.(2018 江苏卷)已知，为锐角，tan 43，cos()55.(1)求 cos 2 的值；(2)求 tan()的值.13解(1)因为 tan 43，tan sin cos，所以 sin 43cos.因为 sin2cos2 1，所以 cos2925，因此，cos 2 2cos2 1725.(2)因为，为锐角，所以(0，).又因为 cos()55，所以 sin()1cos2（）255，因此 tan()2.因为 tan 43，所以 tan 2 2tan 1tan2247，因此，tan()tan2()tan 2 tan（）1tan 2 tan（）211.14.(2018 北京卷)在A
21、BC中，a7，b8，cos B17.(1)求A；(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中，因为cos B17，所以 sin B1cos2B437.由正弦定理得sin Aasin Bb32.由题设知2B，所以 0A2.所以A3.(2)在ABC中，因为 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B3314，所以AC边上的高为asin C73314332.15.(2016 北京卷)在ABC中，a2c2b22ac.(1)求角B的大小；(2)求2cos Acos C的最大值.14解(1)由a2c2b22ac得a2c2b22ac.由余弦定理得cos Ba2c2b22ac2ac2ac22
22、.又 0B，所以B4.(2)AC B 434，所以C34A，0A34.所以2cos Acos C2cos A cos34A2cos Acos34cos Asin 34sin A2cos A22cos A22sin A22sin A22cos AsinA4，0A34，4A4，故当A42，即A4时，2cos Acos C取得最大值为1.16.(2018 天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin AacosB6.(1)求角B的大小；(2)设a2，c 3，求b和 sin(2AB)的值.解(1)在ABC中，由正弦定理asin Absin B，可得bsin Aasin B，又由bsin AacosB6，得asin BacosB6，即 sin BcosB6，可得tan B3.又因为B(0，)，可得B3.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B3，有b2a2c22accos B7，故b7.15由bsin AacosB6，可得 sin A37.因为ac，故 cos A27.因此 sin 2A2sin Acos A437，cos 2A2cos2A117，所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B4371217323314.