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1、力学中的数学方法张量第1页，此课件共17页哦在分量表示法中，与分量指标相配的基矢量被省略了，但在分量表示法中，与分量指标相配的基矢量被省略了，但隐含如隐含如下约定：下约定：所讨论的同阶张量都具有相同的基，并且张量指标的正常排所讨论的同阶张量都具有相同的基，并且张量指标的正常排列顺序应和基矢量的顺序相同，否则就是转置张量。列顺序应和基矢量的顺序相同，否则就是转置张量。例如：例如：一、隐含约定一、隐含约定对对1，2指标的转置张量为：指标的转置张量为：而张量而张量S的按其分量应记为：的按其分量应记为：故故(见：黄克智等见：黄克智等张量分析张量分析第第2版，清华大学出版社，版，清华大学出版社，p31)
2、第2页，此课件共17页哦二、二、二阶张量的分解二阶张量的分解任何一个一般二阶张量任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反对称张都可以分解成一个对称张量和一个反对称张量之和，即：量之和，即：反对称张量反对称张量对称张量对称张量第3页，此课件共17页哦三、三、高阶张量的对称和反对称高阶张量的对称和反对称高阶张量可以是关于一对下标高阶张量可以是关于一对下标(或上标或上标)对称或反对称。例如置换对称或反对称。例如置换张量，它关于任一对下标是反对称的：张量，它关于任一对下标是反对称的：第4页，此课件共17页哦四、两个二阶张量点乘有下面性质四、两个二阶张量点乘有下面性质证明：证明：1）1）第
3、5页，此课件共17页哦2）证明：证明：利用利用即即2）第6页，此课件共17页哦五、实对称方阵的本征值五、实对称方阵的本征值(特征值特征值)与本征矢量（特征向量）与本征矢量（特征向量）实对称方阵对应实对称二阶张量实对称方阵对应实对称二阶张量在连续介质力学中，常出现下述形式的齐次代数方程在连续介质力学中，常出现下述形式的齐次代数方程参见：匡震邦参见：匡震邦非线性连续介质力学基础非线性连续介质力学基础和黄克智等和黄克智等张量分析张量分析（可写成（可写成 ）（可写成（可写成 ）特征值特征值特征方程特征方程对应三个根对应三个根 的三组非零解的三组非零解 ，各自构成不同的矢量方向，各自构成不同的矢量方向，
4、称为特征矢量称为特征矢量第7页，此课件共17页哦1）坐标变换）坐标变换x y zx y z六、坐标变换与二阶张量不变量六、坐标变换与二阶张量不变量两个直角坐标系，基矢量分别为两个直角坐标系，基矢量分别为两个坐标系坐标轴夹角余弦两个坐标系坐标轴夹角余弦基矢量间的变换基矢量间的变换第8页，此课件共17页哦有有9个分量，构成二阶张量个分量，构成二阶张量注意到注意到同理同理第9页，此课件共17页哦张量记法张量记法矩阵记法矩阵记法是正交张量，是正交张量，是归一化正交矩阵是归一化正交矩阵坐标轴旋转坐标轴旋转第10页，此课件共17页哦类似于矢量的坐标变换类似于矢量的坐标变换二阶张量的坐标变换二阶张量的坐标变换第11页，此课件共17页哦2）二阶变量的不变量）二阶变量的不变量由由第12页，此课件共17页哦由由第13页，此课件共17页哦七、各向同性张量七、各向同性张量在所有正交变换下分量都相同的张量，称为各向同性张量在所有正交变换下分量都相同的张量，称为各向同性张量第14页，此课件共17页哦1.5 张量的微分与积分张量的微分与积分 第15页，此课件共17页哦一、微分运算一、微分运算 梯度梯度1 1）标量场的梯度）标量场的梯度 例如：笛卡尔直角坐标系下例如：笛卡尔直角坐标系下第16页，此课件共17页哦2 2）矢量场的梯度）矢量场的梯度 第17页，此课件共17页哦