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1、四、矢量的协变导数四、矢量的协变导数1)矢量的偏导数矢量的偏导数变换最后一项中两个哑指标的字符，变换最后一项中两个哑指标的字符，称为逆变矢量称为逆变矢量 vi的协变导数。的协变导数。协变矢量协变矢量 vi的协变导数。的协变导数。12)矢量的微分矢量的微分23)协变导数是二阶张量协变导数是二阶张量设坐标系设坐标系 xi 作容许变换成新坐标系作容许变换成新坐标系 yi 把矢量把矢量V用它在的分量表用它在的分量表示为示为 复合求导复合求导3上式表明在坐标变换时，上式表明在坐标变换时，vi|j 服从二阶协变张量的变换法则，因服从二阶协变张量的变换法则，因此此 vi|j 是二阶协变张量。求导的指标是二阶
2、协变张量。求导的指标 j 服从张量的协变分量的变服从张量的协变分量的变换法则，所以叫协变导数。换法则，所以叫协变导数。同样可以证明同样可以证明 vi|j是二阶混合张量。求导的指标是二阶混合张量。求导的指标j是协变指标。是协变指标。由此可知，一阶张量由此可知，一阶张量(矢量矢量)的协变导数是另一个张量，它比的协变导数是另一个张量，它比原来的张量高一阶，增加一个协变指标。原来的张量高一阶，增加一个协变指标。由此可以推论由此可以推论,协变导数的指标可以提升和下降：协变导数的指标可以提升和下降：4五）、二阶张量的协变导数五）、二阶张量的协变导数1)二阶张量的协变导数二阶张量的协变导数上式对于上式对于
3、xk 求导，可得求导，可得:用两个矢量用两个矢量 乘一个张量得到一个标量：乘一个张量得到一个标量：如果定义如果定义:5二阶张量的协变导数二阶张量的协变导数 的定义。的定义。61.8 物理分量与力学方程物理分量与力学方程7一）、一阶张量的物理分量一）、一阶张量的物理分量l基矢量不一定是单位矢量基矢量不一定是单位矢量l基矢量的量纲可以不同基矢量的量纲可以不同l矢量的各个协变分量（或逆变分量）矢量的各个协变分量（或逆变分量）不一定有相同的量纲不一定有相同的量纲例题例题圆柱坐标系圆柱坐标系xi的基矢量的基矢量只有只有 有量纲有量纲8是单位向量是单位向量分量与向量分量与向量V有相同有相同的物理量纲，称为
4、的物理量纲，称为V的物理分量，沿单位的物理分量，沿单位矢量方向分解矢量方向分解9注意：矢量的物理分量不服从张量的变换法则，因此，注意：矢量的物理分量不服从张量的变换法则，因此，不是张量分量。不是张量分量。表示方法：表示方法：区别于：区别于：工程中，常选择单位矢量作为基矢量工程中，常选择单位矢量作为基矢量与坐标曲与坐标曲线相切线相切10可见张量物理分量与张量分量的关系：可见张量物理分量与张量分量的关系：一个物理量的张量分量是以一个特点的曲线作参考的，一个物理量的张量分量是以一个特点的曲线作参考的，它们可以具有也可以不具有相同的物理量纲（一般具有它们可以具有也可以不具有相同的物理量纲（一般具有不同
5、的物理量纲），这样是为了可以有选择任意的量作不同的物理量纲），这样是为了可以有选择任意的量作为曲线坐标的自由，这是个很大的方便。为曲线坐标的自由，这是个很大的方便。需要区分张量分量和物理分量：例如三维空间的球坐需要区分张量分量和物理分量：例如三维空间的球坐标系，一点的位置由一个长度和两个角度来定，此时必标系，一点的位置由一个长度和两个角度来定，此时必须区分张量分量和物理分量，物理分量具有相同的物理须区分张量分量和物理分量，物理分量具有相同的物理量纲。量纲。由张量方程变换成以物理分量表示的分量方程是一个由张量方程变换成以物理分量表示的分量方程是一个以张量以张量“语言语言”进行进行“翻译翻译”的过
6、程。这种的过程。这种“翻译翻译”过过程非常有规律，不易出错，也不复杂。程非常有规律，不易出错，也不复杂。若不采用张量方程，则在不同的曲线坐标系中，必须若不采用张量方程，则在不同的曲线坐标系中，必须分别推导弹性力学的基本方程，很费事，工作量很大，分别推导弹性力学的基本方程，很费事，工作量很大，甚至很困难。甚至很困难。11二）、弹性力学基本方程二）、弹性力学基本方程a）静力平衡方程）静力平衡方程b）几何方程（应变张量与位移矢量的关系）：）几何方程（应变张量与位移矢量的关系）：1）一般情况）一般情况12c）相容方程：）相容方程：d）物理方程：）物理方程：13a）小变形几何方程（应变张量与位移矢量的关
7、系）：）小变形几何方程（应变张量与位移矢量的关系）：b）小变形相容方程：）小变形相容方程：c）物理方程（各向同性）：）物理方程（各向同性）：15个方程个方程15个未知量个未知量2）小变形）小变形143）以位移表示的平衡方程）以位移表示的平衡方程曲线坐标系成立曲线坐标系成立154）直角坐标系中以位移表示的平衡方程）直角坐标系中以位移表示的平衡方程165）圆柱坐标系中以位移表示的平衡方程）圆柱坐标系中以位移表示的平衡方程位移矢量用物理分量表示为位移矢量用物理分量表示为用物理分量表示的平衡方程（无体力）用物理分量表示的平衡方程（无体力）176）球坐标系中以位移表示的平衡方程）球坐标系中以位移表示的平
8、衡方程位移矢量在球坐标系中用物理分量表示为位移矢量在球坐标系中用物理分量表示为用物理分量表示的平衡方程（无体力）用物理分量表示的平衡方程（无体力）187）直角坐标系中以应力表示的相容方程）直角坐标系中以应力表示的相容方程位移矢量在球坐标系中用物理分量表示为位移矢量在球坐标系中用物理分量表示为19三）、一个实际问题三）、一个实际问题-复杂界面条件下的裂纹尖端特性复杂界面条件下的裂纹尖端特性20Ayyar and Chawla,2006 Compos Sci TechnolKim et al.,1998 Eng Fract MechNandy et al.,1999 J Eur Ceram Soc
9、l多个圆形颗粒影响下的裂纹扩展路径多个圆形颗粒影响下的裂纹扩展路径Kim等,Nandy等Al2O3/SiCl真实细观结构：利用最大周向应力准则模拟了真实细观结构：利用最大周向应力准则模拟了SiC/Al材料内裂纹扩材料内裂纹扩展路径展路径(有限元法和位移法有限元法和位移法)Ayyar和Chawla背景背景21Chakraborty and Rahman,2009 Probabilist Eng Mech计算中面临的界面问题计算中面临的界面问题221.相互作用积分相互作用积分n n相互作用积分相互作用积分相互作用积分相互作用积分I I :两种受力状态两种受力状态两种受力状态两种受力状态相互影响的部
10、相互影响的部相互影响的部相互影响的部分。分。分。分。真实场：真实场：真实场：真实场：辅助场：辅助场：辅助场：辅助场：I积分积分Stern et al.,1976 Int J Fract(叠加原理叠加原理)23l l相互作用积分为无限趋于裂尖的回路积分相互作用积分为无限趋于裂尖的回路积分相互作用积分为无限趋于裂尖的回路积分相互作用积分为无限趋于裂尖的回路积分242.等效区域积分等效区域积分材料属性连续时，得到相互作用积分公式材料属性连续时，得到相互作用积分公式与与J积分和传统积分和传统I积分相比：此公式积分相比：此公式不要求材料属性可导不要求材料属性可导。Dolbow and Gosz,2002
11、，Int J Solids Struct对于非均匀材料，有对于非均匀材料，有其中其中25材料属性和力学场连续，材料属性和力学场连续，可采用散度定理可采用散度定理积分区域被界面分割时，无法直接采用散度定理积分区域被界面分割时，无法直接采用散度定理I I积分是否无法求解？积分是否无法求解？26相互作用积分可以表示为三部分：相互作用积分可以表示为三部分：其中，界面积分其中，界面积分27l由于辅助场在界面处连续，界面积分可表示为由于辅助场在界面处连续，界面积分可表示为l在界面处，存在如下连续条件在界面处，存在如下连续条件可以证明可以证明注：界面对相互作用积分无影响注：界面对相互作用积分无影响。28涉及到张量运算细节推导涉及到张量运算细节推导29