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1、第二章拉普拉斯变换的数学方法第1页，本讲稿共46页2023/4/212提纲2.1 复数和复变函数2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义2.3 典型时间函数的拉氏变换2.4 拉氏变换的性质2.5 拉氏反变换的数学方法2.6 用拉氏变换解常微分方程第2页，本讲稿共46页2023/4/213拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。）变换，简称拉氏变换。是分析研究线性动态系统的有力工具。是分析研究线性动态系统的有力工具。时域的时域的微分方程微分方程 复数域的复数域的代数方程代数方程 系统分析大为简化系统分析大为简化直接在频域中研究系统的动态性能直接在频域中研究系统的动态性能拉氏变换拉氏变换
2、第3页，本讲稿共46页2023/4/214引言引言 复数和复变函数复数和复变函数（1）复数的概念复数的概念 其中，其中，均为实均为实数。数。为虚单位。为虚单位。（2）复数的表示法）复数的表示法 点表示法点表示法 向量表示法向量表示法 三角函数表示法三角函数表示法 指数表示法指数表示法第4页，本讲稿共46页2023/4/215引言引言 复数和复变函数复数和复变函数（3）复变函数的概念）复变函数的概念 为自变量。为自变量。第5页，本讲稿共46页2023/4/216例：第6页，本讲稿共46页2023/4/217当sz1,zm时，G(s)=0，则称z1,zm 为G(s)的零点；当sp1,pm时，G(s
3、)=，则称p1,pm 为G(s)的极点。第7页，本讲稿共46页2023/4/2182.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义1、拉氏变换有时间函数f(t)，t0，则f(t)的拉氏变换记作：Lf(t)或F(s)，并定义为：(21)f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：（1）在任一有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点；（2）当t时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：该条件使得积分绝对值收敛。第8页，本讲稿共46页2023/4/2192.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义2、拉氏反变换已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t)的过程称作拉氏反变换，记作：定义为如下积分：其中：s为
4、大于F(s)所有奇异点实部的实常数。(22)第9页，本讲稿共46页2023/4/21102.3 典型时间函数的拉氏变换1 单位阶跃函数定义为：单位阶跃函数的拉氏变换为：第10页，本讲稿共46页2023/4/21112.3 典型时间函数的拉氏变换2 单位脉冲函数定义为：单位脉冲函数的重要性质：单位脉冲函数的拉氏变换为：第11页，本讲稿共46页2023/4/21122.3 典型时间函数的拉氏变换3 单位斜坡函数定义为：单位斜坡函数的拉氏变换为：第12页，本讲稿共46页2023/4/21132.3 典型时间函数的拉氏变换4 指数函数定义为：指数函数的拉氏变换为：第13页，本讲稿共46页2023/4/
5、21142.3 典型时间函数的拉氏变换5 正弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：6 余弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：第14页，本讲稿共46页2023/4/21152.3 典型时间函数的拉氏变换7 幂函数（作业）其拉氏变换为：例：常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏变换。第15页，本讲稿共46页2023/4/21162.4 拉氏变换的性质1.线性性质线性变换(2-3)第16页，本讲稿共46页2023/4/21172.4 拉氏变换的性质2.实数域的位移定理延时定理(2-4)其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延时函数，且：第17页，本讲稿共46页2023/
6、4/2118例2.3 图210所示方波的拉氏变换。图示方波函数表达为：利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：第18页，本讲稿共46页2023/4/2119例2.4 求图211所示三角波的拉氏变换。图示三角波函数表达为：利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：第19页，本讲稿共46页2023/4/21202.4 拉氏变换的性质3.周期函数的拉氏变换设f(t)是以T为周期的周期函数，即：则f(t)的拉氏变换为：第20页，本讲稿共46页2023/4/21212.4 拉氏变换的性质4.复数域位移定理(也称衰减定理)第21页，本讲稿共46页2023/4/21
7、222.4 拉氏变换的性质5.相似定理（也称尺度定理）第22页，本讲稿共46页2023/4/21232.4 拉氏变换的性质6.微分定理7.积分定理第23页，本讲稿共46页2023/4/2124Back8 终值定理终值定理原函数原函数f(t)f(t)的的稳态性性质 sF(s)sF(s)在在s=0s=0邻域内的性域内的性质第24页，本讲稿共46页2023/4/2125Back9 初值定理初值定理第25页，本讲稿共46页2023/4/21262.4 拉氏变换的性质10.tf(t)的拉氏变换11.f(t)/t的拉氏变换第26页，本讲稿共46页2023/4/21272.4 拉氏变换的性质12.卷积定理函
8、数f(t)和g(t)的卷积定义为：拉氏变换的卷积定理：若 函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在的条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且：其中，函数f(t)和g(t)满足：当t0时，f(t)=g(t)=0第27页，本讲稿共46页2023/4/21281.1.定定义：从象函数：从象函数F(s)F(s)求原函数求原函数f(t)f(t)的运算称的运算称为拉氏反拉氏反变换。记为 。由由F(s)F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C C是是实常数，而且大于常数，而且大于F(s)F(s)所有极点的所有极点的实部。部。直接按上式求原函数太复直接按上式求原函数太复杂，一般都用，一般都用查
9、拉氏拉氏变换表的方法求拉氏反表的方法求拉氏反变换，但，但F(s)F(s)必必须是一种能直接是一种能直接查到的原函数的形式。到的原函数的形式。2.5 拉氏反变换的数学方法第28页，本讲稿共46页2023/4/21292.5 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法有：(1)查表法简单象函数；(2)有理函数法需要复变函数的留数定理；(3)部分分式法复杂的象函数简化为几个简单的部分分式之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数；(4)利用MATLAB求解。第29页，本讲稿共46页2023/4/2130 若若F(s)F(s)不能在表中直接找到原函数，不能在表中直接找到原函数，则需要需要将将F(s)F
10、(s)展开成若干部分分式之和，而展开成若干部分分式之和，而这些些部分分式的拉氏部分分式的拉氏变换在表中可以在表中可以查到。到。例例1 1：例例2 2：求：求 的逆的逆变换。解：解：第30页，本讲稿共46页2023/4/21311.部分分式法求原函数第31页，本讲稿共46页2023/4/2132第32页，本讲稿共46页2023/4/2133第33页，本讲稿共46页2023/4/2134第34页，本讲稿共46页2023/4/2135第35页，本讲稿共46页2023/4/2136第36页，本讲稿共46页2023/4/2137第37页，本讲稿共46页2023/4/2138第38页，本讲稿共46页202
11、3/4/21392.使用MATLAB函数求解原函数 利用MATLAB中的函数residue将原函数展开成部分分式，然后查拉氏变换的表格得到原函数。函数格式：r,p,k=residue(b,a);%返回多项式b/a之比的部分分式展开项中的残差、极点和直接项。b,a=residue(r,p,k)；%将部分分式展开项还原成多项式第39页，本讲稿共46页2023/4/2140For example:Num=10*1 2;%定义分子多项式Den=poly(-1;-3;-4)；%定义分母多项式res,poles,k=residue(num,den)；展开num/den残差、极点和直接项分别为：Res=-6.6667;5.0000;1.6667Poles=-4;-3;-1K=;Note:(x+1)(x+3)(x+4)=x3+8x2+19x+12第40页，本讲稿共46页2023/4/2141第41页，本讲稿共46页2023/4/21422.6 用拉氏变换解常微分方程1)利用拉氏变换将常微分方程转化代数方程；2)得到代数方程的解，即解的象函数；3)拉氏反变换求得常微分方程的解。第42页，本讲稿共46页2023/4/2143第43页，本讲稿共46页2023/4/2144第44页，本讲稿共46页2023/4/2145第45页，本讲稿共46页2023/4/2146第46页，本讲稿共46页