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1、31空空间间向量及其运算向量及其运算31.1空空间间向量及其加减运算向量及其加减运算学学习习目目标标1.了了解解空空间间向向量量的的概概念念，掌掌握握空空间间向向量量的的几几何何表示和字母表示表示和字母表示2掌握空掌握空间间向量的加减运算及其运算律，理解向量的加减运算及其运算律，理解向量数乘的几何意向量数乘的几何意义义知新益能知新益能1空空间间向量向量(1)空空间间向量的定向量的定义义在空在空间间，把具有，把具有_和和_的量叫做空的量叫做空间间向量向量,向量的向量的_叫做向量的叫做向量的长长度或模度或模(2)空空间间向量及其模的表示方法向量及其模的表示方法空空间间向量用有向向量用有向线线段表示
2、，有向段表示，有向线线段的段的_表示向量的模如表示向量的模如图图，a的起点是的起点是A，终终点点是是B，则则a也可也可记记作作_，其模，其模记为记为_或或_.大小大小方向方向大小大小长长度度|a|(3)特殊向量特殊向量名称名称定定义义及表示及表示零向零向量量规规定定_的向量叫零向量，的向量叫零向量，记为记为_单单位位向量向量_的向量叫的向量叫单单位向量位向量相反相反向量向量与向量与向量a长长度度_而方向而方向_的向量，的向量，记记为为_相等相等向量向量方向方向_且模且模_的向量称的向量称为为相等向量相等向量,_且且_的有向的有向线线段表示同一向量或段表示同一向量或相等向量相等向量长长度度为为0
3、模模为为1相等相等相反相反相同相同相等相等同向同向等等长长a02、向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba babcOABCab+abcOABCbc+(空间向量空间向量)ab+c+()ab+c+()(a+b)+)+c=a+(+(b+c)向量加法结合律：向量加法结合律：空间中空间中例如：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1GM例如例如:定义定义:3 3、我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算
4、.类似地类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢其运算律是否也与平面向量完全相同呢?显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量的基本概念空间向量的基本概念考点一考点一考点一考点一考点突破考点突破只要两个向量的方向相同、模相等，只要两个向量的方向相同、模相等，这这两个向两个向量就相等，起点和量就相等，起点和终终点未必点未必对应对应相同，即起点相同，即起点和和终终点点对应对应相同是两个向量相等的充分不必要相同是两个向量相等的充分不必要条件条件例例例例1 1(1)计
5、计算两个空算两个空间间向量的和或差向量的和或差时时，与平面向量，与平面向量完全相同运算中掌握好三角形法完全相同运算中掌握好三角形法则则和平行四和平行四边边形法形法则则是关是关键键空间向量的加减运算空间向量的加减运算考点二考点二考点二考点二例例例例2 2【名名师师点点评评】化化简简向量表达式主要是利用平行向量表达式主要是利用平行四四边边形法形法则则或三角形法或三角形法则则在化在化简过简过程中程中遇到减遇到减法法时时可灵活可灵活应应用相反向量用相反向量转转化成加法化成加法.1利用三角形法利用三角形法则进则进行加法运算行加法运算时时，注意，注意“首尾首尾相相连连”，和向量的方向是从第一个向量的起点指
6、，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的向第二个向量的终终点点进进行减法运算行减法运算时时，注意，注意“共起点共起点”，差向量的方向是从减向量的，差向量的方向是从减向量的终终点指向点指向被减向量的被减向量的终终点点三角形法三角形法则则也可推广也可推广为为多多边边形法形法则则：即在空：即在空间间中中,方法感悟方法感悟把有限个向量把有限个向量顺顺次首尾相次首尾相连连，则则从第一个向量的从第一个向量的起点指向最后一个向量起点指向最后一个向量终终点的向量即表示点的向量即表示这这有限有限个向量的和向量个向量的和向量2平行四平行四边边形法形法则则一般用来一般用来进进行向量的加法运行向量的加法运算注意：平行四算注意：平行四边边形的两条形的两条对对角角线线所表示的向所表示的向量恰量恰为为两两邻边邻边表示向量的和与差表示向量的和与差ABMCGD练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点,化简化简正东正东正北正北向上向上F3F3=15N已知已知F1=10N,F2=15N，F1F2这三个力两两之间这三个力两两之间的夹角都为的夹角都为90度度,它们的合力的大小它们的合力的大小为多少为多少N?