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1、第四节第四节 习题课习题课无穷积分无穷积分定理定理1 1（柯西收敛准则）（柯西收敛准则）与与有有无穷积分无穷积分 收敛收敛一一.判别无穷积分收敛的方法判别无穷积分收敛的方法1.利用定积分和极限算出无穷积分利用定积分和极限算出无穷积分2.定理定理定理定理2 2 设设有有c c是正常数。是正常数。收敛，则无穷积分收敛，则无穷积分1.1.若无穷积分若无穷积分也收敛也收敛.发散，则无穷积分发散，则无穷积分2.2.若无穷积分若无穷积分也发散也发散.推论推论1 1函数函数且且极限极限1.1.若若则无穷积分则无穷积分收敛；收敛；则无穷积分则无穷积分发散。发散。2.2.若若（1）定理定理2 2（狄利克雷判别法
2、）（狄利克雷判别法）设函数设函数 与与 在区间在区间 有定义，有定义，在任何有穷区间都可积，若在任何有穷区间都可积，若)积分积分 为为 的有界的有界函数，函数，即有即有）函数）函数 是单调的，且是单调的，且则无穷积分则无穷积分 收敛收敛定理定理3 3（阿贝尔判别法）（阿贝尔判别法）设函数设函数 与与 在区间有定义，在区间有定义，在任何闭子区间都可积，若在任何闭子区间都可积，若）函数）函数 在在 单调并且有界单调并且有界）无穷积分收敛）无穷积分收敛则无穷积分则无穷积分 收敛收敛总结总结:判断无穷积分收敛的方法判断无穷积分收敛的方法1.利用定积分的计算方法利用定积分的计算方法,求出积分求出积分.2
3、.用柯西收敛准则用柯西收敛准则.3.用比较法用比较法.4.用狄利克雷和阿贝尔判别法用狄利克雷和阿贝尔判别法.二二.题目题目1.求下列无穷积分求下列无穷积分2.判别下列无穷积分的敛散性判别下列无穷积分的敛散性3 讨论下列无穷积分的绝对收敛与条讨论下列无穷积分的绝对收敛与条件收敛件收敛6若无穷积分收敛，则若无穷积分收敛，则是否成立？反之，是否成立？反之，是否成立？是否成立？证明证明:若无穷积分绝对收敛，若无穷积分绝对收敛，函数在是有界连续函数，则函数在是有界连续函数，则无穷积分收敛无穷积分收敛 证明证明:若无穷积分绝对收敛，若无穷积分绝对收敛，函数在有界，则无穷积分函数在有界，则无穷积分收敛收敛若绝对收敛改成收敛若绝对收敛改成收敛,能否有相同的结论能否有相同的结论?7 证明：若函数在有连续的证明：若函数在有连续的导函数，且无穷积分导函数，且无穷积分收敛，则收敛，则与与8 证明证明:若无穷积分若无穷积分 收敛收敛,函数函数在在 单调单调,则则