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1、一一.含参变量的积分含参变量的积分1.1.连续性质连续性质定理定理若函数若函数 在矩形域在矩形域连续，则函数连续，则函数在区间也连续在区间也连续定理定理2 2 设设 在在上连续，且无穷积分上连续，且无穷积分在在 上一致收敛，则一元函数上一致收敛，则一元函数在在 上连续。上连续。(一一).利用连续性利用连续性 极限和积分可交换顺序极限和积分可交换顺序1.2计算极限计算极限定理定理3 3 若函数与若函数与 在矩形域在矩形域连续，则函数连续，则函数在区间在区间 可导，且可导，且，有，有或或二二.可微性质可微性质定理定理 若函数若函数 与与 在矩形域在矩形域连续，而函数连续，而函数 与与在区间在区间
2、可导，且可导，且，有，有则函数则函数 在区间在区间 可导可导,且且定理定理5 5 若函数若函数 与与 在区域在区域上连续，且无穷积分上连续，且无穷积分在区间在区间 上收敛，上收敛，而无穷积分而无穷积分 在区间在区间一致收敛一致收敛,则函数则函数 在区间在区间 可导可导,且且(二二)利用可微性利用可微性 求导与积分可交换顺序求导与积分可交换顺序1.计算积分计算积分2.设设其中其中 是连续函数是连续函数,求求3.证明证明:若函数若函数 在区间在区间 连续连续,则则有有定理定理6 6 若函数若函数 在矩形域在矩形域连续，则函数连续，则函数在区间在区间 可积，且可积，且三三.可积性质可积性质定理定理7
3、 7 设设 在区域在区域上连续，且无穷积分上连续，且无穷积分在在 上一致收敛，则一元函数上一致收敛，则一元函数在在 可积可积,且且积分号下可积分积分号下可积分.(三三)利用可积性利用可积性 积分可交换顺序积分可交换顺序1.计算积分计算积分四四.无穷积分一致收敛的判别方法无穷积分一致收敛的判别方法定理定理8 8 若若且无穷积分且无穷积分 收敛收敛,则无穷积分则无穷积分在区间在区间 一致收敛一致收敛.u 定理定理9 9 狄利克雷判别法狄利克雷判别法若若 满足：满足：）当）当 时时,积分积分 对对一致有界一致有界；）是的）是的单调函数单调函数，且，且时，关于时，关于 一致趋于一致趋于则无穷积分在则无
4、穷积分在上一致收敛上一致收敛u 定理定理10 10 阿贝耳判别法阿贝耳判别法若若 满足：满足：则无穷积分则无穷积分 在在上一致收敛上一致收敛1)1)关于关于 一致收敛一致收敛;2)2)函数函数 关于关于 单调单调,且关于且关于 在在上上一致有界一致有界.(四四)证明下列各题证明下列各题在在R上一致收敛上一致收敛在上不一致收敛在上不一致收敛其中是常数其中是常数一致收敛一致收敛定理定理11 11 设设有有c c是正常数。是正常数。收敛，则无穷积分收敛，则无穷积分1.1.若无穷积分若无穷积分也收敛也收敛.发散，则无穷积分发散，则无穷积分2.2.若无穷积分若无穷积分也发散也发散.五五.积分收敛的判别方
5、法积分收敛的判别方法定理定理1212 设有设有 c c是正常数。是正常数。1.1.若瑕积分若瑕积分 收敛收敛（是瑕点），是瑕点），也收敛也收敛则瑕积分则瑕积分2.2.若瑕积分若瑕积分 发散（发散（是瑕点），是瑕点），则瑕积分则瑕积分 也发散。也发散。推论推论1 1函数函数且且极限极限1.1.若若则无穷积分则无穷积分收敛；收敛；则无穷积分则无穷积分发散。发散。2.2.若若推论推论2 2设设 若函数若函数是瑕点，且极限是瑕点，且极限）若）若 ，则瑕积分，则瑕积分收敛收敛）若）若 ，则瑕积分，则瑕积分发散发散注注:关键是找到合适的关键是找到合适的 .(五五)判断下列积分的收敛性判断下列积分的收敛性(六六)判别下列积分是绝对收敛还是条件收敛判别下列积分是绝对收敛还是条件收敛.