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1、第三节第三节 习题课习题课(隐函数的存在性隐函数的存在性)1.定理定理若函数若函数 在以点在以点 为为中心的矩形中心的矩形区域区域D D（边界平行坐标轴（边界平行坐标轴）满足）满足与与在在D D连续连续(从而从而在在D D连续连续););定理定理1下列条件：下列条件：则存在点的邻域，则存在点的邻域，在存在唯一一个有在存在唯一一个有连续导数的隐函数连续导数的隐函数使使且且定理定理2 2若函数若函数在以点在以点为中心的矩形区域为中心的矩形区域G G满足满足在在G G连续，连续，下列条件：下列条件：且且则存在点则存在点的邻域的邻域U,U,在在U U存在存在唯一一个有连续偏导数的唯一一个有连续偏导数的
2、n n元（隐）函数元（隐）函数使使 定理定理3 3 设设 与在点与在点 的邻域的邻域G G满足满足下列条件：下列条件：）四元函数）四元函数 与与的所有偏导数在的所有偏导数在G G连续连续(从而在从而在G G连续连续)；）行列式）行列式则存在点的邻域，在存在唯一则存在点的邻域，在存在唯一与与且且一组有连续偏导数的一组有连续偏导数的(隐隐)函数组函数组使使定理定理若若m个函数在点个函数在点的某个邻域的某个邻域G G满足满足下列条件：下列条件：)函数函数的所有偏导数在的所有偏导数在G G连续；连续；)行列式行列式在点在点M M不为零，即不为零，即则存在点的邻域则存在点的邻域V，在，在V存在存在唯一一
3、组有连续偏导数的唯一一组有连续偏导数的n n元元m m值隐函数组值隐函数组且且有有 1求由三元方程求由三元方程确定的隐函数的偏导数确定的隐函数的偏导数2讨论笛卡尔叶形线讨论笛卡尔叶形线所确定的隐函数的一阶与二阶导数所确定的隐函数的一阶与二阶导数2.2.题目题目3讨论方程讨论方程在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数4 4 求由下列方程所确定的隐函数的导数求由下列方程所确定的隐函数的导数.求求求求求求5 5 方程方程 在点在点 的某邻域内能否确定出某一个变量为另外的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数两个变量的函数.6 验证验证方程组方程组在点的邻域
4、满足定理在点的邻域满足定理的条件，在点的邻域存在唯一一组的条件，在点的邻域存在唯一一组有连续导数的（隐）函数组与有连续导数的（隐）函数组与，并求，并求7 求求下列方程组所确定的隐函数组的导数下列方程组所确定的隐函数组的导数求求求求8 讨论讨论方程组方程组在在点的点的附近附近能否确定能否确定形如的隐函数组形如的隐函数组9 求下列函数组所确定的反函数组的偏导数求下列函数组所确定的反函数组的偏导数.10 证明证明 若若 则在任则在任意一点意一点 (其中其中 )的邻域存在反函数组的邻域存在反函数组.但是但是,在在 平面上不平面上不存在反函数组存在反函数组.11 设有函数组设有函数组问在哪些点问在哪些点 存在反函数组存在反函数组.12 证明证明 方程方程 所确定的隐所确定的隐函数函数 满足方程满足方程13 证明证明 方程方程所确定的隐函数所确定的隐函数 满足方程满足方程14 已知方程已知方程所确定了隐函数所确定了隐函数 求求15 设设 ,其中其中 与与都存在二阶导数且可微都存在二阶导数且可微,求的一求的一阶阶偏导数与二阶偏导数偏导数与二阶偏导数16 设设 求求 对于对于的偏导数的偏导数.