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1、第五章第五章 弯曲内力弯曲内力5-5-1 1 弯曲的概念及梁的计算简图弯曲的概念及梁的计算简图、弯曲的概念、弯曲的概念受力特点：受力特点：杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢量垂直于杆轴）作用。偶（其矢量垂直于杆轴）作用。MeMeABF以弯曲为主要变形的杆件通称为以弯曲为主要变形的杆件通称为梁梁。梁梁变形特点：变形特点：1 1、直杆的轴线在变形后变为曲线；、直杆的轴线在变形后变为曲线；2 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。MeMeABF最基本常见的弯曲问题最基本常见的弯曲问题对称弯曲对称
2、弯曲对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，因而一定是相重合，因而一定是平面弯曲平面弯曲。梁变形后的轴线与外梁变形后的轴线与外力在同一平面内力在同一平面内FA AF1F2 B对称轴对称轴纵对称面纵对称面FB、梁梁的的计算简图计算简图1 1、支座的基本形式、支座的基本形式(1)(1)固定端固定端(2)(2)固定铰支座和可动铰支座固定铰支座和可动铰支座可动铰可动铰支座支座固定铰固定铰支座支座(1)(1)悬臂梁悬臂梁2 2、梁的基本形式、梁的基本形式(2)(2)简支梁简支梁(3)(3)外伸梁外伸梁FRy1FRxFRxFRyMR FRy2FRy1
3、FRxFRy2静定梁静定梁梁的支反力均可由平面力系的三个独立梁的支反力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出。的平衡方程求出。3、静定梁静定梁和和超静定梁超静定梁梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。静定梁静定梁超静定梁超静定梁FBFAyFAxMA ABFCCFAyFAxFBBA5-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩取左侧分离体分析任一横截面取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内力上的内力mmxaABF FBFAFAFSyAmmxxCM由其右边分离体的平衡条件同样可得由其右边分离体的平衡条件同样可得称为称为剪力剪力称为称为弯矩弯矩ammxABF FBFAFAFS
4、yAmmxxCMFSmF mBCFBM剪力和弯矩的符号规则：剪力和弯矩的符号规则：截面法求剪力和弯矩的步骤截面法求剪力和弯矩的步骤:(1)所求内力处截开截面所求内力处截开截面,取一部分来研究取一部分来研究;(2)将该截面上内力设为正将该截面上内力设为正值值;(3)由平衡方程求解内力由平衡方程求解内力;例例 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、33和和44横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为 xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA截面截面11截面截面22M1FS1F C111FAM2FS2F C222 xyAF Baa2a112244
5、33Me=3FaFBFA截面截面33截面截面44 xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA33C3M3F FS3FAFS4M44C4FB4内力内力11223344FS-P2P2P2PM-Pa-PaPa-2Pa1 1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。剪力值剪力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和截面左侧（或右侧）所有外力的代数和弯矩值弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该截面截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和形心的力矩代数和 xAF B112
6、24433Me=3FaFA=3FFB=-2F2 2、截面左侧梁段、截面左侧梁段 向上的外力向上的外力正剪力正剪力正弯矩正弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶正弯矩正弯矩 截面右侧梁段截面右侧梁段 向上的外力向上的外力负剪力负剪力正弯矩正弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶负弯矩负弯矩内力内力11223344FS-P2P2P2PM-Pa-PaPa-2Pa xAF B11224433Me=3FaFA=3FFB=-2F3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小；集中力大小；在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集集中
7、力偶矩大小。中力偶矩大小。内力内力11223344FS-P2P2P2PM-Pa-PaPa-2Pa xAF B11224433Me=3FaFA=3FFB=-2F显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变力和弯矩随截面位置变化的函数式化的函数式5-3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例 图示悬臂梁受集度为图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯
8、矩图。梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、以自由端为坐标原点，则可不求反力、以自由端为坐标原点，则可不求反力列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：ABxlBxFS(x)M(x)2、作作剪剪力图和弯矩图力图和弯矩图xqlFS ql22xM l/2ql28ABl例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql 2FS ql28l/2M BlAq3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图
9、例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出xBlAF abCFBFAAC段段CB段段xBlAF abCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)3、作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图FS FblxFalMxFablF BlAabC发生在集中荷发生在集中荷载作用处载作用处发生在发生在AC段段ba时时FS FblxFalMxFablF BlAabC例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶
10、作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解:1、求支反力、求支反力Me FA FBBlACab2、列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段：弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段：FA FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时发生在发生在C截面右侧截面右侧BlACabFslxMe lMxMealMeb思考思考：对称性与反对称性对称性与反对称性Bl/2FA AFBCl/2F xMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA AFBCMe l/2Fslx
11、Me MxMe/2Me/2例例 简简支支梁梁受受力力如如图图a所所示示。试试写写出出梁梁的的剪剪力力方方程程和和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：解：1、求支座反力、求支座反力可利用平衡方程可利用平衡方程 对所求反力进行校核。对所求反力进行校核。2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程 AC段：段：CB段：段：3、求控制截面内力，绘、求控制截面内力，绘FS、M图图 FS图：图：AC段段CB段段剪力图为斜直线剪力图为斜直线剪力方程为常数，剪力图为剪力方程为常数，剪力图为水平线水平线。M图：图：AC段段求极值判断顶点位置求极值判断顶点位置CB段段弯矩图为二次
12、抛物线弯矩图为二次抛物线弯矩图是直线弯矩图是直线对于该梁来说有对于该梁来说有FS(x)M(x)AC段段-q-qCB段段00当当 时，弯矩有极值。时，弯矩有极值。1、q=常数（向下）常数（向下）剪力图剪力图直线，下斜直线，下斜 从剪力图和弯矩图来观察：从剪力图和弯矩图来观察：弯矩图弯矩图二次抛物线二次抛物线2、q=0 剪力图剪力图水平线（常数）水平线（常数）弯矩图弯矩图斜直线斜直线BlAqql 2FS ql28l/2M 5-4 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系略去略去mmnnmmCnnq(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)OF yxMe q(x
13、)xdxFS(x)+dFS(x)q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系间的微分关系其中分布荷载集度其中分布荷载集度 q(x)以向上为正，向下为负。以向上为正，向下为负。OF yxMe q(x)几种常见荷载下几种常见荷载下FS 图和图和M 图的特征图的特征 时，弯矩时，弯矩M(x)为极值。为极值。集中力作用处集中力作用处集中力偶作用处集中力偶作用处利用以上特征利用以上特征1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。系直接绘制剪力图和弯矩图。
14、利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：1求支座反力；求支座反力；2分段确定剪力图和弯矩图的形状；分段确定剪力图和弯矩图的形状；3计计算算控控制制截截面面内内力力值值，根根据据微微分分关关系系绘绘剪剪力力图图和弯矩图；和弯矩图；4确定确定 和和 。B3aACMe=3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/18例例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图示的剪力图和弯矩图。系校核图示的剪力图和弯矩图。解：支反力为解：支反力为FAFBB3aACMe=3qa2axqA
15、C段段 q=0 剪力图为水平直线剪力图为水平直线剪力值剪力值1 1、校核剪力图校核剪力图FS5qa/3xqa/38a/3xFAFBB3aACMe=3qa2axqxAM(x)FS(x)FA1 1、校核剪力图校核剪力图CB段段q=常量常量0 剪力图为向右下方剪力图为向右下方倾斜的斜直线倾斜的斜直线因因C点处无集中力点处无集中力作用，剪力图在该作用，剪力图在该处无突变，故处无突变，故FS5qa/3xqa/38a/3xFAFBB3aACMe=3qa2axqM(x)FS(x)FSCMCx-aq2、校核弯矩图校核弯矩图AC段段剪力剪力=常量常量弯矩图弯矩图斜率为斜率为 正值的斜直线正值的斜直线弯矩值：弯矩
16、值：支座支座A：MA=0C截面左侧截面左侧:B3aACMe=3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/18也可通过积分也可通过积分 来复核弯矩值：来复核弯矩值：AC段内剪力图的面积段内剪力图的面积FS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/18CB段段 q=负常量负常量 弯矩图弯矩图曲率为负曲率为负(向下凸向下凸)的抛物线的抛物线C点处有集中力偶点处有集中力偶作用作用弯矩图突变弯矩图突变支座支座B：MB=0B3aACMe=3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/18这些均与图中所示相符。这
17、些均与图中所示相符。存在存在 的截面的截面，即弯矩即弯矩M(x)在此处有极值在此处有极值（抛物线的顶点）。（抛物线的顶点）。FS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/18例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。已知：已知：(逆时针逆时针)1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m Me=5kNmF=50kNMA FAx FAyFBy 96.515.53155345M图图(kNm)813129Fs图图(kN)1.45 m1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m Me=5kNmF=50kNMA FAx
18、FAyFBy5-5-4 4 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图、平面刚架平面刚架由同一平面内不同取向的杆件相由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。互间刚性连接的结构。面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、剪力、弯矩剪力、弯矩作刚架内力图的约定：作刚架内力图的约定：弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号；弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号；剪剪力力图图及及轴轴力力图图：可可画画在在刚刚架架轴轴线线的的任任一一侧侧，但但应应注明正、负号；注明正、负号；剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致。剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节
19、一致。例例 试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。解：从自由端取分离体作为解：从自由端取分离体作为研究对象写各段的内力方程，研究对象写各段的内力方程，可不求固定端可不求固定端A处的支反力。处的支反力。CB段：段：yxqF=2qa BCA2aa2aDFS(x)M(x)CqxBD段：段：DA段：段：F=2qa BCay2aDqFS(y)M(y)qBCy2aFS(x)M(x)FN(y)FN(x)可取刚性结点可取刚性结点B为分离体，为分离体，考察该结点是考察该结点是否满足平衡条否满足平衡条件来校核内力件来校核内力图的正误。图的正误。F=2qa BCA2aa2aDq2qa2qa26qa22qa2q
20、aFN图FS图M图、平面曲杆、平面曲杆面内受力时的内力面内受力时的内力轴力、剪力、弯矩轴力、剪力、弯矩弯矩的符号约定弯矩的符号约定使杆的曲率增加（即外侧受拉）使杆的曲率增加（即外侧受拉）为正为正作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。AOBmmRjF 例例 一端固定的四分之一圆环，半径为一端固定的四分之一圆环，半径为R，在自由端在自由端B受轴线平面内的集中荷载受轴线平面内的集中荷载F作用如图，试作出其内作用如图，试作出其内力图。力图。解：取分离体如图写出其任意横截面解：取分离体如图写出其任意横截面m-m上的内力上的内力方程：方程：AOBmmRjF CFOjhzFN(j)FS(j)M(j)根据内力方程绘出内力图，如图所示。根据内力方程绘出内力图，如图所示。AOBmmRjF BAFFN图AF BFS图