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1、1.3 线段的垂直平分线（线段的垂直平分线（1）新郑市苑陵中学新郑市苑陵中学 柳柳 俊俊 平平北师大版八年级数学下册北师大版八年级数学下册 如如图图，A、B表示两个表示两个仓库仓库，要在，要在A、B一一侧侧的河岸的河岸边边建造一个建造一个码头码头，使它到使它到两个两个仓库仓库的距离相等的距离相等，码头应码头应建在什么建在什么位置位置?AB情境导入：情境导入：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理 线线段垂直平分段垂直平分线线上的点到上的点到线线段两个端点段两个端点的距离相等的距离相等 已知：如已知：如图图，直，直线线MN AB，垂足是，垂足是C，且，且AC=BC，P是是 MN上的点上
2、的点求求证证：PA=PBNAPBCM证证明：明：MN AB PCA=PCB=90 AC=BC，PC=PC PCAPCB(SAS)PA=PB(全等三角形的全等三角形的对应边对应边相等相等)性质定理的符号语言：点点P P在在线段线段ABAB的的 垂直平分线垂直平分线MNMN上上 PA PAPBPB线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理 线线段垂直平分段垂直平分线线上的点到上的点到线线段两个端点段两个端点的距离相等的距离相等 已知：如已知：如图图，直，直线线MN AB，垂足是，垂足是C，且，且AC=BC，P是是 MN上的点上的点求求证证：PA=PBNAPBCM证证明：明：MN AB PCA
3、=PCB=90 AC=BC，PC=PC PCAPCB(SAS)PA=PB(全等三角形的全等三角形的对应边对应边相等相等)逆向思考：逆向思考：写出写出这这个性个性质质定理的逆命定理的逆命题题.到到线线段两个端点的距离相等的点在段两个端点的距离相等的点在这这条条线线段的垂直平分段的垂直平分线线上上它是真命它是真命题吗题吗?(如果真，如果真，则则需需证证明它；如果假，明它；如果假，则则需需举举出反例出反例)已知：已知：线线段段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求求证证：P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上 证证明：明：过过点点P作已知作已知线线段段AB的垂的垂线线PC，在Rt
4、PAC和RtPBC中 PA=PB PC=PC Rt PAC Rt PBC(HL)AC=BC 即即P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上CBPA证证明二：明二：取取AB的中点的中点C，作直，作直线线PC AP=BP，PC=PC，AC=CB APCBPC(SSS)PCA=PCB(全等三角形的全等三角形的对应对应角相等角相等)又又PCA+PCB=180 PCA=PCB=90，即，即PC AB P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上CBPA已知：已知：线线段段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求求证证：P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上CBPA已知：已知：线线段段AB
5、，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求求证证：P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上证证明三：明三：过过P点作点作APB的角平分的角平分线线 交交AB于点于点C AP=BP APC=BPC PC=PC APCBPC(SAS)AC=BC，PCA=PCB 又又PCA+PCB=180 PCA=PCB=90 P点在点在线线段段AB的垂直平分的垂直平分线线上上CBPA已知：已知：线线段段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求求证证：P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上证证明四：明四：过过点点P作已知作已知线线段段AB的垂的垂线线PC，PC是是PAB的高的高 PA=P
6、B PAB是等腰三角形是等腰三角形PC是是PAB的高的高 PC是是PAB的中线的中线 AC=BC 直线直线PC是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线 P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上线段垂直平分线的判定定理线段垂直平分线的判定定理 到线段两个端点的距离相等的点到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上判定定理的符号语言：PA=PB(PA=PB(已知已知),),点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上例题引路：例题引路：已知：如图已知：如图 1-18，在，在 ABC 中，中，AB=AC，O 是是 ABC 内一点，且内一点，且 OB=OC
7、.求证：直线 AO 垂直平分线段BC证明：AB=AC 点点 A 在线段在线段 BC 的垂直平分线上的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）点，在这条线段的垂直平分线上）同理同理，点点 O 在线段在线段 BC 的垂直平分线上的垂直平分线上 直线直线 AO 是线段是线段 BC 的垂直平分的垂直平分线（两点确定一条直线）线（两点确定一条直线）巩固训练：巩固训练：如图，在如图，在ABC中，中，DE是是AC的垂直平分线，的垂直平分线，AE=5 cm，CBD的周长的周长 18 cm，求求ABC的周长的周长.已知：如图已知：如图，AB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD，P P是是ADAD上上 一点一点.求证：求证：PB=PC PB=PC PBDCA延伸训练：延伸训练：课堂小结：课堂小结：说说你本节课的收获，有什么困惑？说说你本节课的收获，有什么困惑？（条理清晰，因果相应条理清晰，因果相应,言必有据言必有据）当堂检测：当堂检测：如图如图,在在 ABC中中,已知已知AC=27,AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D,交交AC于点于点E,BCE的周长等于的周长等于50,求求BC的的长长.