灰色模型的推广及其应用.pdf

《灰色模型的推广及其应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《灰色模型的推广及其应用.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/灰色模型的推广及其应用周 平 谢 开 贵 周 家 启(重庆大学电气工程学院,重庆,400044)摘 要 用差分格式对灰色预测模型G M(1,1)进行改进,建立了G M(1,1,)模型,拓展了G M(1,1)模型的应用范围。通过求解的值,便可求出预测值。关键词 灰色模型/差分格式;优化模型 中国图书资料分类法分类号 N940 引 言灰色系统理论从一诞生就得到广大工程技术人员的喜爱,也引起了学术界的关注1,2。灰色预测具有要

2、求样本数据少、原理简单、运算方便、短期预测精度高、可检验等优点,因而受到了电力系统研究人员的重视。目前,提高G M(1,1)模型预测精度的方法比较多,主要有以下三种形式:一是对原始序列进行变换,增加离散数据光滑度再进行预测35;二是修正模型系数,进行动态预测;三是对残差进行修正6。在实践中,有些数据用G M(1,1)模型预测时,预测精度非常低,甚至用上述几种修正方法也无能为力。笔者从G M(1,1)模型的建模机理着手建立了G M(1,1,)模型,同时,针对灰色预测不太适合于长期预测的原因,一定程度上是由于把G M(1,1,)模型中的参数a,u视为常数引起的,拟把a和u看成是随时间t而变的变数,

3、以得到各预测点的最佳预测结果。1GM(1,1)模型的改进设 X(0)(i)为原始时间数据序列,i=1,2,n.为了简化分析,采用一阶单变量线性动态模型G M(1,1),其形式为:dx(1)/dt+ax(1)=uB=-1/2(X(1)(1)+X(1)(2)1-1/2(X(1)(2)+X(1)(3)1-1/2(X(1)(n-1)+X(1)(n)1ra,Yn=(X(0)(2),X(0)(3),X(0)(n)T利用最小二乘法求解系数向量a:a=(BTB)-1BTYn=aus28t(2)从而可得原始序列预测公式为:X(0)(t+1)=X(1)(0)-u/ampe-a-1e-at(3)将(1)式差分化:1

4、999年3月重庆大学学报(自然科学版)Vol.22第22卷第2期Journal of Chongqing University(Natural Science Edition)Mar.1999收文日期 1997212231第一作者:男,1970年生,硕士 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/向前差分形式为:X(1)(t+1)-X(1)(t)+aX(1)(t)=u(4)向后差分形式为:X(1)(t+1)-X(1)(t)+aX(1)(t+1)=u(5)将(4)与

5、(5)式的组合:(4)+(5)(1-),其中0 1,有:X(1)(t+1)-X(1)(t)=-a(X(1)(t)+(1-)X(1)(t+1)+u(6)由(4)、(5)式知,当X(0)(t)0时,X(0)(t)单增,序列X(0)(t+1)-X(0)(t)与X(0)(t)、X(0)(t+1)有明显的正相关关系。式(6)就是模型G M(1,1)的一般差分形式,由其建立的灰色模型记为G M(1,1,).由式(6)知,只要给出一个0,便有:B0=-(0X(1)(2)+(1-0)X(1)(3)1-(0X(1)(n-1)+(1-0)X(1)(n)112(,Yn=(X(1)(2)-X(1)(1),X(1)(4

6、)-X(1)(3),X(1)(n)-X(1)(n-1)T=X(0)(2),X(0)(3),X(0)(n)T由最小二乘原理知:a u=a0u0=(BT0B0)-1BT0Yn(7)将(7)式代入(3)式即可求得预测值。2参数的确定211以误差平方和最小为目标时模型的建立根据(6)式,当X(0)(t)为单增序列或有单增趋势的序列时(单减序列或有单减趋势的序列分析情况类似),有a 0,即有-a 0,-a(1-)0.令:-a=b;-a(1-)=c;yt=X(1)(t+1)-X(1)(t),t=1,2,n-1以误差平方和最小为目标时,参数b,c,u的估计可由下述带约束的最小二乘回归模型得出:minf1(A

7、)=n-1t=1(yt-bX(1)(t)-cX(1)(t+1)-u)2(8)s.tb0;c0其中A=(b,c,u)T,A(k)=(b(k),c(k),u(k)T采用Frank2Wolfe算法即可求解模型。这样,得到b、c、u的估计值后,a、u就易于求证了。212以误差绝对值和最小为目标时模型的建立最小二乘估计具有许多优良性质,在生成、生活中已被广泛地应用,但在一些应用,特别是在某些数量经济的问题中,误差不能认为有正态性,而是服从一种尾部占更大比重的分布,理论证明:在这些情况下,最小一乘估计的统计性能优于最小二乘估计;相反,最小一乘准则的稳健性比最小二乘准则的稳健性好,而且其受异常点的影响较小一

8、点,所以将误差绝对值之和最小为目标也被广泛地应用。以误差绝对值之和最小为目标时,参数b、c、u的估计可由下述模型(带约束的最小一乘回归模型)给出:89重庆大学学报(自然科学版)1999年 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/minf2(A)=n-1t=1yt-bX(1)(t)-cX(1)(t+1)-u(9)s.tb0;c0其中A=(b,c,u)T,A(k)=(b(k),c(k),u(k)T采用差分拟牛顿法7,8,求解(9)式(不含不等式约束式)。下面用积极集

9、法求解规划问题(9)1A=(b,c,u)T,记c1(A)=(1,0,0)(b,c,u)T=ba1A0;c2(A)c=a2A0;I=1,2.对 AR3,I(A)=i|ci(A)0;iI为ci(A)为A点的积极约束。求解(9)规划问题的算法如下:Step1:给一个可行点A(0)=(b(0),c(0),u(0)T,S0=I(A(0),k=0;Step2:A(k)不是(9)式的解,则转Step4;Step3:记Ik=i|ci(A(k)=0I.若相应的Lagrange乘子k满足:(k)i0,iIk,则停;求满足(k)ik=miniIk(k)i0,且使步长k满足:k?k=miniIkaTidk0bi-aT

10、iA(k)aTidk,A(k+1)=A(k)+kdk对j|Sk,如果aTjA(k+1)=bj,则Sk=Sk j;Step6:Sk+1=Sk,k=k+1,转Step2.213以百分误差绝对和最小为目标时模型的建立最小一乘、最小二乘体现的都是数值的绝对差的关系,未能体现误差与原始数据相对大小关系。如两数的绝对差相等,但由于基数不同,使得其百分误差相差甚远。下面以百分误差绝对值之和最小为目标建立模型。以百分误差绝对值之和最小为目标时,参数b、c、u的估计可由下述模型(带约束的最小一乘回归模型)给出:minf3(A)=n-1t=11-bX(1)(t)+cX(1)(t+1)+uyt(11)s.tb0;c

11、0问题(11)可以用求解(9)的算法进行求解,此处不再繁述。214多目标模型的建立在实际问题中,可以根据需要选择(2.1)、(2.2)、(2.3)节中的某一方法求出值,再进行灰色预测。但事实上预测模型的精度体现在误差平方和、误差绝对和、绝对百分误差和三个方面,仅仅考虑其中某一方面是欠妥的,所以需要同时考虑上述三个目标的优化问题:99第22卷第2期 周 平 等:灰色模型的推广及其应用 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/minf1(A)minf2(A)minf

12、3(A)(s.tb0;c0(12)下面采用线性加权的方法将(12)式转变成单目标问题。由于f1(A)、f2(A)、f3(A)三个目标具有不同的量纲,故在作线性加权之前进行统一量纲处理。设(8)、(9)、(11)式求得的最优值为:f31、f32、f33,以fi(A)分别除以f3i(i=1,2,3),可得相应目标函数为:minf1(A)=f1(A)/f31minf2(A)=f2(A)/f32minf3(A)=f3(A)/f33s.tb0;c0(13)取权重系数为w1、w2、w3,则线性加权评价函数为:u(A)=w1f1(A)+w2f2(A)+w3f3(A)(14)故三目标优化问题(12)转化为下述

13、单目标问题:minu(A)(15)s.tb0;c0同样地,问题(15)可用求解(9)的算法进行求解。实际值;普通G M(1,1)模型;-单目标模型,=0.687 328;22222多目标模型,=0.701 994 5图1负荷预测曲线图3算 例应用上述预测模型,利用micsoft VisualC+语言编制了预测程序对重庆某钢铁大型企业的日负荷和一典型指数增长序列进行了预报,其计算结果见表1,表2,表3,表41绝 对 平 均 百 分 误 差=1nni=1X(i)-X(i)X(i),误 差 绝 对 和=ni=1X(i)-X(i)X(i),绝 对 平 均 和=ni=1 X(i)-X(i)行线.其中X(

14、i)表示第i个原序列值,X(i)表示由各种预测方法得到的第i个预测值。表1模型精度比较绝对平均百分误差(%)绝对误差和误差平方和备 注3.279 41974 595478 579 648普通G M(1,1)模型1.653 85937 56894 469 016多目标模型,=0.701 994 5,其中w1=w2=w3=1/31.655 36637 55994 443 576误差平方和最小模型,=0.687 3281.658 34437 54294 569 752误差绝对值和最小模型,=0.734 5561.653 85937 56894 469 016百分误差绝对值和最小模型,=0.897 6

15、44 1001重庆大学学报(自然科学版)1999年 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/对一指数增长序列:X(0)=2,4,8,16,32,64,128,256,512进行预测,见表31表2日负荷的预测 kWh时间实际值普通G M(1,1)模型 G M(1,1,0.687 328)模型(以误差平方和最小为目标)预测值相对误差(%)预测值相对误差(%)1点85 80085 8000.000 00085 8000.000 0002点858 00863 070.5

16、91 36486 3160.391 7543点858 00087 0271.429 53386 4920.807 0464点92 40087 752-5.030 65890 046-2.547 5095点85 80088 4833.126 86787 2591.700 9406点85 80089 2203.986 16087 5622.053 0947点85 80089 9644.852 61987 9172.466 9848点85 80090 7135.726 28988 2732.881 8759点92 40091 469-1.007 55991 964-0.472 05610点92 40

17、092 231-0.182 72392 4050.005 94411点99 00093 000-6.060 93795 948-3.082 77612点92 40093 7751.487 64793 2260.894 45513点99 00094 556-4.488 94496 770-2.252 72314点99 00095 344-3.693 10397 235-1.783 02615点92 40096 1384.40457494 3792.142 11316点99 00096 939-2.081 48798 001-1.008 60217点99 00097 747-1.265 59398

18、 468-0.537 53918点99 00098 562-0.442 89898 880-0.121 36219点99 00099 3830.386 64899 2910.293 87620点105 600100 211-5.103 338102 886-2.569 83221点105 600100 211-5.103 338102 886-2.569 83222点105 600101 046-4.312 618103 379-2.103 64223点99 000102 7373.774 542100 9902.009 61224点92 400103 59312.113 45997 8315

19、.878 170表3模型精度比较绝对平均百分误差(%)绝对误差和误差平方和备 注10.798 757 086.629 284 002 983.595 980 0普通G M(1,1)模型0.000 010 106 50.000 093 290.000 000 003 8多目标模型,=0.557 305,其中w1=w2=w3=1/30.000 010 106 50.000 093 290.000 000 003 8误差平方和最小模型,=0.55 7 3050.000 010 106 50.000 093 290.000 000 003 8误差绝对值和最小模型,=0.557 3050.000 010

20、 106 50.000 093 290.000 000 003 8百分误差绝对值和最小模型,=0.557 305101第22卷第2期 周 平 等:灰色模型的推广及其应用 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/表4预测结果实际值普通G M(1,1)模型 G M(1,1,0.687 328)模型(以误差平方和最小为目标)预测值相对误差(%)预测值相对误差(%)22.000 000.000 000 02.000 0000.000 00043.790 94-5.226

21、 5964.000 0000.000 00387.383 74-7.703 3078.000 0000.000 0051614 381 50-10.115 29016.000 0100.000 0083228.011 40-12.464 25032.000 0300.000 0116454.558 80-14.751 82064.000 0900.000 014128106.266 00-16.979 610128.000 0230.000 018256206.978 00-19.149 180256.000 0570.000 0224结 论笔者对G M(1,1)模型的建模机理进行深入研究,建

22、立了G M(1,1,)模型,当=0.5时,G M(1,1,)模型即为G M(1,1)模型。为求解的值,文中给出了以误差平方和最小为目标、误差绝对值之和最小为目标、百分误差绝对值之和最小为目标的优化模型,并给出以上述三者为目标的多目标模型,求解的值,即可得到相应的预测值。通过实例分析,表明该方法具有较大的适应性,提高了预测精度,拓展了灰色预测的范围。参考文献1 邓聚龙 1 灰色系统理论教程 1 武汉:华中理工大学出版社,1990.1752642 邓聚龙 1 灰色预测与决策 1 武汉:华中理工大学出版社,1986.501503 罗桂荣,陈炜 1 灰色系统模型的一点改进及应用 1 系统工程理论与实践

23、,1988,8(2):46514 于德江 1 灰色系统建模方法探讨 1 系统工程,1991,9(5):9125 陈涛捷 1 灰色预测模型的一种拓广 1 系统工程,1990,8(4):50526 朱宝璋 1 关于灰色建模的模型精度问题的研究 1 系统工程,1991,9(5):13197G ill P E,Murray W.quasi2Newton methods for unconstrained optinization.J Inst Maths Applns,1972,9:911088 袁亚湘 1 非线性规划数值方法 1 上海:上海科学技术出版社,1993.77116Generalizati

24、on and Application of the Gray ModelZhou PingXie KaiguiZhou Jiaqi(College of Electrical Engineering,Chongqing University)ABSTRACTGray model G M(1,1)has been improved with the difference scheme and the G M(1,1,)model has been set up.So the applying fields of G M(1,1)have been expanded.Solving thevalue of,the prime data are forecasted.KEYWORDSgray models/difference scheme;optimization models(责任编辑 李胜春)201重庆大学学报(自然科学版)1999年