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1、南京航空航天大学硕士学位论文灰色关联分析模型及其应用的研究姓名：曹明霞申请学位级别：硕士专业：数量经济学指导教师：党耀国20070101南京航空航天大学硕士学位论文 i 摘摘 要要 本文对灰色关联分析相关理论及其应用进行了研究和总结，并且就灰色关联分析模型存在的一些不足进行了探讨，针对灰色绝对关联度模型、灰色关联度模型的正负性问题和灰色斜率关联度模型进行了研究和改进，以期更好地将灰色关联度模型应用于实际问题的分析中。本文的研究工作主要有以下几个方面：首先，总结了灰色关联分析理论的发展与现状、基本内容、在社会生活中的应用以及本文的主要研究内容。着重阐述了灰色关联分析模型及其存在的一些不足，并对数
2、据变换及关联分析结果的敏感性进行了研究。其次，从模型自身理论上存在的不足和在实际应用中受到的一些限制入手，对其中的 3 个模型进行了改进和研究。对灰色绝对关联度模型的改进主要是先找出两个序列曲线的各个交点，然后分段考虑原模型中的序列曲线间所围面积的正负来改进原模型的；在特征行为序列与因素序列中各时段可能出现不同的变化趋势时，建立了能够体现出灰色关联正负性问题的模型；对一组序列相互之间的关联度系数的分辨率比较低的问题，建立了改进的灰色斜率关联度模型。最后，应用改进后的灰色斜率关联分析模型对“十五”期间江苏省科技投入与经济增长的关系进行了分析，验证了所建模型的有效性与实用性。关键词关键词：灰色系统
3、，灰色关联分析，灰色关联序，模型，科技投入，经济增长灰色关联分析模型及其应用的研究 ii ABSTRACT This dissertation studies and summarizes the grey incidence analysis theory and its application and discusses the pitfalls of the existing grey incidence analysis models.Especially,the absolute degree of grey incidence model,the properties of pos
4、itive and negative of grey incidence model and the grey slope incidence model have been improved and studied in order that the grey incidence models are well applied in the practical problem analysis.In conclusion,the work of the dissertation mainly has the following several aspects:Firstly,this dis
5、sertation summarizes the development and actuality,content,application of the grey incidence analysis and the main content of the dissertation.Besides,the grey incidence analysis models and its pitfalls are expounded and the data transform and sensibility of the analyzing result have been studied.Se
6、condly,three models are improved and studied from the pitfalls of the models themselves theoretically and the restriction in application.The improved absolute degree of grey incidence is to find out each intersection point of two sequence curves first and then calculate the positive and negative are
7、a by time-interval.When sequence of date representing a system characteristics and sequence of relevant factors may possibly appear different trend in every time-interval,we establish a new model which can embody the positive and negative relation of two sequences.Besides,we also improve the slope i
8、ncidence model because the distinguishing rate of the incidence coefficient of sequences is small.Finally,the improved model of grey slope incidence was applied to analyze the relation of science and technology investment and the economy increase in the period of the tenth five-year in Jiangsu Provi
9、nce.Key Words:Grey system,Grey incidence analysis,Grey incidence order,Models,Science and technology input,Economic growth.承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅,可以将学位论文的全部或
10、部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日 期：南京航空航天大学硕士学位论文 1 第一章 绪论 1.1 选题的目的和意义 灰色系统理论是邓聚龙教授于 1982 年提出来的一门新兴理论，该理论是一种运用特定的方法描述信息不完全的系统并进行预测、决策、控制的崭新的系统理论。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定的幅值和一定时区变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程，其是控制论观点和方法的延伸，它从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息，也即系统的“白化”问题。灰色系统的实质为：部分信息
11、已知部分信息未知的一类系统。灰色关联分析是灰色系统理论的主要内容之一，它是对运行机制与物理原型不清楚或者根本缺乏物理原型的灰关系序列化、模式化，进而建立灰关联分析模型，使灰关系量化、序化、显化，能为复杂系统的建模提供重要的技术分析手段1-4。灰色关联分析方法是一种新的多因素分析方法，其基本原理是通过对统计序列几何关系的比较来分清系统中多因素的关系的紧密程度，序列曲线的几何形状越接近，则它们之间的灰关联度就越大，反之越小5。灰色关联分析是在由系统因素集合和灰色关联算子集合构成的因子空间中来进行研究的，灰色关联是指事物之间的不确定关联，是系统因子之间、因子对主行为之间的不确定关联。灰色关联分析的基
12、本任务是基于行为因子序列的微观或宏观几何接近，以分析和确定因子之间的影响程度或对因子对主行为的贡献测度。关联分析的实质是整体比较，是有参考系的、有测度的比较。距离空间中的“距离”是比较的测度，但是这种比较只限于两点之间的比较，是两两比较。点集拓扑是整体比较，是邻域的比较，但是没有测度。因而，距离空间与点集拓朴空间的结合，构成有参考系的，有测度的整体比较，这便是灰色关联分析空间2。在对复杂系统进行系统分析时，以往大都采用统计分析或者其它分析法，灰色关联分析法比起它们的优势体现在：灰关联分析是按发展趋势做分析，因此对样本量的多少没有过多的要求，也不需要典型的分布规律，而且计算量比较小，其结果与定性
13、分析结果会比较吻合5。因此，灰关联分析是系统分析中比较简单、可靠的一种分析方法。灰色关联分析法是借助于灰色关联度模型来完成计算分析工作的，目前已经建立起来的一些计算灰色关联度的量化模型都有各自的优点和适用范围，随着灰色关联分析理论应用领域的不断扩大，现有的一些模型存在的不足之处使得其不能很好地解决某些方面的实际问题，也使得灰色关联分析整个理论体系目前还不是很完善，其应用受到了某些限制。所以灰色系统的理论研究灰色关联分析模型及其应用的研究 2 工作者不断地对灰色关联分析模型进行改进和完善。本文针对其中的几个量化模型做进一步的改进工作，使其尽量地克服自身存在的不足，以期扩大灰色关联理论与方法的适用
14、范围，使之更加适合于现实问题的分析。1.2 国内外的研究现状 灰色关联分析作为一种技术方法，是分析系统中各因素关联程度的方法。作为一种数学理论，这种方法实质上是将无限收敛问题转化为近似收敛问题来研究；将无限空间的问题转化为有限数列的问题来解决；将连续的概念用离散的数据而取代的一种分析方法6。自从灰色系统理论诞生以来，灰色关联分析理论作为其中最重要的一部分就受到学术界的广泛关注并且展开了相应的理论模型和实际应用方面的研究。因其应用领域的广泛性，这也给人一个错觉，即任何一个系统所进行的系统分析都可利用灰色关联分析法。其实，要利用该方法，这个系统必须是灰色系统。灰色系统中灰的主要含义是信息不完全性(
15、部分性)和非唯一性，其中的“非唯一性”是灰色系统的重要特征，非唯一性原理在决策上的体现是灰靶思想，即体现的是决策多目标、方法多途径，处理态度灵活机动；在分析上体现的是关联序：关联度的大小并不重要，重要的是关联序；在求解过程中体现的是定性与定量相结合，面对许可能的解，需要通过信息补充，定性分析，以确定一个或几个满意解2。因此灰关联分析模型不是函数模型，是序关系模型，其技术内涵为：获取序列间的差异信息，建立差异信息空间；建立和计算差异信息比较测度；建立因子间的序关系1 2。灰色关联空间涉及到灰关联因子空间、灰关联差异信息空间等。灰关联因子空间是灰关联分析的基础，其是由具备“可比性”、“可接近性”、
16、“极性一致性”的序列构成，灰关联差异信息空间则是灰关联分析的依据4。目前，灰色关联分析理论的研究成果主要集中在计算模型和实际问题的应用两大方面。1.2.1 灰色关联分析量化模型的研究现状 为了建立一套完整的灰色关联理论体系，灰色关联公理5作为定义灰色关联度必须满足的条件被提出，即灰色关联分析量化模型是在灰色关联四公理的基础上来定义的。目前，常见的灰色关联计算模型主要有以下几种：邓聚龙提出的邓氏关联度4，其计算着重考虑了点点之间的距离远近对关联度的影响。王清印的灰色 B 型关联度7和 C 型关联度8，是在分析对象与参考事物之间关于位移、速度、加速度的同一性、差异性、对立性基础上建立的关联分析模型
17、。唐五湘的 T型关联度9，是按照因素的时间序列曲线的相对变化势态的接近程度来计算关联南京航空航天大学硕士学位论文 3 度。刘思峰的广义关联度10，其主要是研究的两个序列绝对或者相对增量间的关系，用两条序列折线间所夹的面积大小来衡量两序列的关联性的大小。李学全的灰色斜率关联度 11主要考虑的是因素序列曲线的平均相对变化态势的接近程度。赵艳林的灰色欧几里德关联度12是借助于欧几里德贴近度来表示关联度的。现有的计算模型的建立主要是基于以下的角度来进行考虑的：即充分考虑事物在发展过程中的相近性，全面考虑事物之间发展过程的异同性以及事物之间在发展过程中的关联程度。曲线的几何形状的相近性综合起来考虑主要表
18、现为总体位移差、总体一阶斜率差与总体二阶斜率差、两曲线间所夹的面积大小等，即曲线之间关于位移、速度、加速度等的同一性、差异性、对立性。所以已有的这些模型是针对上面的相近性的表现而提出的一些比较合理的计算模型。1.2.2 灰色关联分析的应用现状 灰色关联分析方法在一定程度上排除人们的主观随意性，使过去凭经验和类比法等处理实际问题的传统做法转向数学化、科学化、人工智能化。基于这样的计算和分析，得出的结论比较全面、客观、公正，相应的决策也就比较正确、合理和有效。所以，作为灰色系统理论比较完善和成熟的一部分内容，目前应用甚是广泛。灰色关联分析的应用大致可以分为以下三大方面：因素分析、综合评价、优势分析
19、。(1)因素分析 一般的抽象系统如社会系统、经济系统和生态系统等都包含着多种因素，多种因素共同作用的结果决定系统的发展态势。要进行系统分析，显然首要的工作是要分清楚这些因素间的关系，这样才能抓住影响系统的主要矛盾、主要特征和主要关系。作为因素分析的一种新的方法，灰色关联分析正可以解决这方面的问题。其主要步骤为：首先要确定参考序列和与参考序列作关联程度分析的比较因素序列，将参考序列和比较序列具体确定后，就可以对该系统进行因素分析了。如利用该方法可以作国债发行规模影响因素分析13、科技系统因素分析14、公路路基稳定性因素分析15、金矿构成元素分析16、水利发电因素分析 17等。(2)综合评价 在现
20、实生活、工作中，我们经常会遇到综合评价问题，而我们知道，评价的依据就是指标。但由于影响各评价事物的因素往往是众多而复杂的，如果仅从单一指标上对被评价事物进行综合评价不尽合理，因此往往需要将反映被评价事物的多项指标的信息加以汇集，得到一个综合指标，从整体上反映被评价事物的情况。这就是多指标综合评价方法。也就是说，综合评价就是根据多项指标、从多灰色关联分析模型及其应用的研究 4 个不同侧面对有关现象进行全面的综合判断，是应用定量方法对特定现象（主要是社会经济现象）的多个方面数量表现进行高度抽象综合，对数据进行加工和提炼，进而以定量形式确定现象综合优劣水平与次序的一种方法。在工程技术的设计或者复杂系
21、统的评价中，如何对备选的方案进行优次排序或选择出最优的对象，一直是系统工作者普遍感兴趣的课题。近年来，围绕着多指标综合评价，其他领域的相关知识不断滲入，使得多指标综合评价方法不断丰富，有关这方面的研究也不断深入。目前国内外提出的综合评价方法已有几十种之多，但总体上可归为两大类：即主观赋权评价法和客观赋权评价法。前者多是采取定性的方法，由专家根据经验进行主观判断而得到权数，如层次分析法、模糊综合评判法等；后者根据指标之间的相关关系或各项指标的变异系数来确定权数，如灰色关联综合评价法、TOPSIS法、因子分析法等。灰色关联综合评价法作为一种客观赋权评价法则是大家广为应用的一种方法，利用该方法可以进
22、行矿井通风系统优化评判 18、序列跳跃点出现的判断购19、购物中心购买力评价20、上市公司竞争力评价21、交通方式优选 22、野战仓库选址模型研究 23、信息系统投资项目综合评价24、上市公司经营业绩灰色关联评价25等。4.1.2.1 参考序列的选取 应用灰色关联综合评价方法的关键有两点：一是要对非量化的技术经济指标作白化函数的量化处理。一般作这种量化处理时，取何种形式的白化函数可视指标的实际情况而定；二是确定参考序列。参考序列通常确定为系统的理想方案（正理想方案和负理想方案），具体的确定方法有两种：理想方案从排序方案内部产生，其各项元素由诸方案指标数据里的最优(劣)值组成；理想方案从序列方案
23、的外界产生，是根据排序方案的性质，设计(规定、要求)的能力，以及各指标在过去曾出现过的最优(劣)，结合现在已出现和将来可能或希望出现的最优(劣)值综合而定的，具有一定的稳定性。其中第一种方法用的最为普遍，得到理想方案后，再计算各方案与理想方案的灰色关联度，假设参考序列通常是选取各个指标的最优值和最劣值组成的向量序列，假如第i个方案与最优参考向量和最劣参考向量的灰关联度分别为iu和il，如果两个关联度的排列次序完全相逆，表明第i个方案与最优参考序列的关联程度以及与最劣参考序列的非关联程度等同。但如果iu和il的排列次序不完全相逆,则很难进行方案评价。(3)优势分析 优势分析指的是参考序列和比较序
24、列都不止一个的关联分析，此时所有的系统特征行为序列和相关因素行为序列之间的关联度可以构造出一个灰色关联矩阵，该矩阵隐含着大量的信息，每一行数字表示的是同一个系统特征行为序列对南京航空航天大学硕士学位论文 5 不同的因素行为序列的关联度，每一列表示的是不同系统特征行为序列对同一个因素行为序列的关联度的数值。如果某行的各个元素均大于其它各行的对应元素，则该行的系统特征行为序列称为最优特征5。如果某列的各个元素均大于其它各列的对应元素，则该列的因素序列称为最优因素5。进行优势分析，对于研究社会经济发展战略，合理地分配和使用人力、物力、财力资源，统筹安排各个部门和各项生产的发展，提高社会经济和生态效益
25、，都有着十分重要的意义。利用优势分析可以进行：ACURAD 压铸生产过程的优化26、科技创新能力的评价27，环境质量分析 28，冻土的冻胀系数和融沉系数分析 29，地区主导行业选择 30，青少年身体素质分析31等。此外，灰色关联分析还可以和统计方法、计量经济方法等结合使用来解决实际问题。如：和聚类分析相结合产生了灰色关联聚类法3233、灰色关联决策方法 34、灰关联熵分析方法35、模糊关联分析法36、灰色经济计量学方法5等。另外，其在一定的条件下还可以用来确定权重、进行层次分析等。1.3 本文主要研究内容及其技术路线 由于灰色关联分析作为一种多因素分析方法得到越来越多的重视和广泛的应用。本论文
26、将系统地总结和研究灰色关联分析的理论及其应用，首先对现有的几种关联度模型逐个进行研究，研究其适用范围、存在的问题、改进的可能性等方面。试图在现有的部分关联度计算模型研究的基础上进行模型的改进，使其尽量克服自身的不足，以期扩大灰色关联理论与方法的适用范围，并结合实例加以验证改进后的模型对于现实问题分析的实用性。1.3.1 本文主要研究内容及其技术路线(1)总结了灰色关联分析理论的发展与现状、基本内容、在社会经济生活中的应用以及本文的主要研究内容。(2)介绍了灰色关联分析理论的基本概念，着重阐述了灰色关联分析模型及其存在的一些问题，并对关联分析之前是否进行数据变换和关联分析的结果的敏感性进行了论证
27、。(3)针对广义灰色绝对关联度、灰色关联度模型的正负性问题和灰色斜率关联度模型进行了研究和改进。(4)应用改进后灰色关联分析模型对“十五”期间江苏省科技投入与经济增长的关系进行了关联分析。1.3.2 写作技术路线 灰色关联分析模型及其应用的研究 6 图 1.1 写作技术路线 研究内容的理论分析 调研及研究现状分析 进行灰色关联计算模型改进（1）总结现有的灰色关联分析模型，研究各自的适用范围、存在的不足、改进的思路等；（2）关联分析的应用总结研究。基于灰色关联度计算模型存在的不足，深入剖析其产生的原因，从克服这些不足找切入点来进一步提出改进模型的思路及其计算方法。算例验证 采用经过改进的模型对算
28、例进行计算，验证改进后的模型的实用性。（1）有关灰色关联分析理论的研究现状；（2）灰色关联分析的优势；（3）灰色关联分析模型存在的不足；（4）灰色关联分析模型改进的可行性及意义。南京航空航天大学硕士学位论文 7 第二章 灰色关联分析理论 2.1 灰色关联分析概述 在客观世界中，因素之间的关系是比较复杂的，尤其是事物的表面现象和变化过程的随机性容易混淆人们的直觉，掩盖了事物的本质，从而使得人们在认识上得不到全面的可靠的信息，这样就难以对因素进行主次之分，在进行系统分析时也就遇到了困难，即难以找到主要矛盾、发现主要特征和主要关系。灰色系统理论为我们提供了崭新的多因素分析方法灰色关联分析方法。灰色关
29、联是指事物间的不确定关联，或系统因子之间、因子对主行为之间的不确定关联。灰色关联分析是一种用灰色关联度顺序5(简称为灰关联序)来描述因素间关系的强弱、大小、次序的方法，是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。其基本思想是：以因素的数据序列为依据，用数学的方法研究因素间的几何对应关系，即序列曲线的几何形状越接近，则它们之间的灰关联度越大，反之越小。灰色关联分析实际上也是动态指标的量化分析，充分体现了动态意义1。灰色关联分析是按事物的发展趋势做分析，因此对样本量的多少没有过多的要求，也不需要典型的分布规律，而且计算量比较小，其结果与定性分析结果会比较
30、吻合，所以灰色关联分析是一种很具有自己独特优势的、比较实用和可靠的分析方法。以往的研究中，因素分析常采用回归分析、相关分析等统计方法。在进行回归分析时，要求样本足够大，且须呈典型分布，其计算量大、过程复杂繁琐，并且由于回归分析主要是数据幂、和、积等的运算，计算过程中的误差可导致严重错误，使因素间的本质联系受到歪曲 4。而统计相关分析中用来度量两个变量之间关系尺度的相关系数：(1)只适用于考察变量间的线性相关关系，也就是说当相关系数0=时，只说明两个变量间不存在线性相关关系，但不能保证不存在其它非线性相关关系。所以变量不相关与变量相互独立在概念上是不同的。(2)相关系数的计算是一个数学过程，它只
31、说明两个变量间的相关强度，但不能揭示这种相关性的原因，不能揭示变量间相关关系的实质，即变量间是否真正存在内在联系或者因果关系。所以在计算相关系数的同时，还要强调对实际问题的分析与理解。而灰色关联分析可以深刻地剖析和刻画事物间相关的实质和内涵，因为任何两个事物在发展过程中的态势的一致性主要体现在总体位移差、总体一阶斜率差与总体二阶斜率差等方面，目前已有的几种关联度模型都是在充分地考虑了因素间的位移差或者斜率差等的基础上来建立的。灰色关联分析模型及其应用的研究 8 2.1.1 灰色关联分析中的基本概念 在进行关联分析之时，首先要选准反映系统特征行为的数据序列0X（有时也称为系统的参考序列），我们称
32、之为找系统行为映射量，用映射量间接地表征系统行为，如用GDPDR)&(经费表征科技投入强度，用刑事案件发案率来反映社会治安面貌和社会秩序等。系统特征行为序列是系统分析中最为重要的因素，也是关键讨论的问题。确定了系统特征行为之后，将所讨论的问题通过语言模型定性分析，获得系统相关因素行为序列iX（也称为比较序列）。这样就可以对系统进行关联分析了。下面给出0X和iX的具体定义及其与灰关联分析相关的一些基本概念5。定义 2.1 设0X为表征系统行为的量，其在序号k上的观测数据为)(0kx，),2,1(nk?=，则称)(0kX)(,),2(),1(000nxxx?=为系统特征行为序列。定义 2.2 设i
33、X为系统因素，其在序号k上的观测数据为)(kxi，),2,1(nk?=，则称)(,),2(),1()(nxxxkXiiii?=，),2,1(mi?=为系统的相关因素行为序列。若k为时间序号，则iX为行为时间序列，)(kxi为因素iX在k时刻的观测数据；若k为指标序号，则iX为行为指标序列，)(kxi为因素iX关于第k个指标的观测数据；若k为观测对象序号，则iX为行为横向序列，)(kxi为因素iX关于第k个对象的观测数据。无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来作灰色关联分析。定义 2.3 设系统特征行为序列0X为增长序列，iX为相关因素行为序列，则有(1)当iX为增长序列时
34、，iX与0X为正相关关系；(2)当iX为衰减序列时，iX与0X为负相关关系。定义 2.4 设序列)(,),2(),1(nxxxX?=，则称(1)nkkxkx,3,2),1()(?=，为X在区间kk,1上的斜率；(2)kskskxsx=,)()(；1,2,1=nk?，为X在区间sk,上的斜率。2.1.2 数据变化及其性质 在进行关联分析之前，一般要对搜集来的原始数据进行数据变化和处理，因为所给的数据序列的取值单位一般来说是不同的，为保障建立模型的质量和系统分析的正确结果，使其数据具有可比性是必要的。2.1.2.1 单指标序列的数据变化及其性质 南京航空航天大学硕士学位论文 9 对单指标数据序列)
35、(,),2(),1(nxxxX?=进行无量纲的数据变化方法通常有以下几种 37：(1)初值化变换，即)(,)2(,)1(1111dnxdxdxXD?=其中：)1()()(1xkxdkx=，0)1(x，nk,2,1?=(2)均值化变换，即)(,)2(,)1(2222dnxdxdxXD?=其中：xkxkx)()(=，0 x；nk,2,1?=(3)极小化变换，即)(,)2(,)1(3333dnxdxdxXD?=其中：Mkxdkx)()(3=，0M，nk,2,1?=(4)极大化变换，即)(,)2(,)1(4444dnxdxdxXD?=其中：mkxdkx)()(4=，0m，nk,2,1?=(5)极差变换
36、，即)(,)2(,)1(5555dnxdxdxXD?=其中：)()()(5mMmkxdkx=；0 mM，nk,2,1?=(6)归一化变换，即)(,)2(,)1(6666dnxdxdxDXi?=其中：06)()(xkxdkx=，其中0 x为大于零的某个常数值，nk,2,1?=(7)标准化变换，即)(,)2(,)1(7767dnxdxdxDXi?=其中：)()(7xkxdkx=；0，nk,2,1?=其中：x为因素序列X的各个取值的样本均值,为其样本标准差，M为因素序列X的最大值，m为序列X的最小值。上述除了标准化变化7d外的各变化jd)6,2,1(?=j都满足下面的性质38 性质 2.1 对任意给
37、定非负的单指标数据序列)(,),2(),1(nxxxX?=灰色关联分析模型及其应用的研究 10 有下面的性质(1)保号性：当0)(kx时，0)(jdkx。(2)保序性：对Xkxkx)(),(21，当)()(21kxkx时，jjdkxdkx)()(21。(3)保差异性：对Xkxkxkxkx)(),()(),(4321，=)()()()(4321kxkxkxkxjjjjdkxdkxdkxdkx)()()()(4321 证明：只对初值化变化进行证明 (1)当0)(kx，nk,2,1?=时，0)1()()(1=xkxdkx。(2)对Xkxkx)(),(21，当)()(21kxkx时，)1()()1()
38、(21xkxxkx，即1211)()(dkxdkx(3)对Xkxkxkxkx)(),()(),(4321，=)()()()(4321kxkxkxkx=)1()()1()()1()()1()(4321xkxxkxxkxxkx14131211)()()()(dkxdkxdkxdkx 对于其它几种变换同理可证，即以上数据变化jd)6,2,1(?=j满足保号性、保序性、保差异性。2.1.2.2 多指标序列的数据变化 设有指标序列)(,),2(),1(1111nxxxX?=)(,),2(),1(2222nxxxX?=)(,),2(),1(nxxxXmmmm?=记,2,1miiM?=为因素iX的下标集合，
39、,2,1nkkN?=为指标)(jxi的标号集合。指标一般按其性质可以分为(1)效益型（例如利润、产量）：指标值越大越好；(2)成本型：指标值越小越好；(3)固定型：指标值接近某个固定值就越好；因为南京航空航天大学硕士学位论文 11 指标的性质不同，所以对其实行数据变换也就有所不同。一般来说，因素的属性指标有以下几种数据变换38 39：(1)效益型指标变换)(,)(,)()(882818dkxdkxdkxDkXm?=其中：=8)(dkxi)(min)(max)(min)(kxkxkxkxiiiiiii；（Mi,Nk）(2)成本型指标变换)(,)(,)()(992919dkxdkxdkxDkXm?
40、=其中：)(min)(max)()(max)(9kxkxkxkxdkxiiiiiiii=，（Mi,Nk）(3)固定型指标变换)(,)(,)()(1010210110dkxdkxdkxDkXm?=其 中：)()(max)()(1)(10kkxkkxdkxiiii=，)(k为 关 于 指 标k的 固 定 值，（Mi,Nk）定义 2.5 5称10,2,1?=iDDi为灰色关联算子集 定义 2.6 5设X为系统因素集合，D为灰色关联算子集，称),(DX为灰色关联因子空间。2.1.3 灰色关联公理与灰色关联度 为了建立一套完整的灰色关联理论体系，灰色关联四公理作为定义灰色关联度满足的条件被提出，即灰色关
41、联分析模型是在灰色关联四公理的基础上来定义的。灰色关联四公理 5是指：(1)规范性 1),(003max时，5.1；v3max时，25.1 该模型侧重于总体分析：（1）不仅可以调节)(0ki的大小，而且可以控制它的变化区间，)(0ki的下界值随增大而增大，下界值增大说明区间变小，分辨率变低，分辨效果则不太明显。（2）根据因素间的关联分析可选择不同的分辨系数，在计算时，一般取5.0=便可得到满意的分辨率。（3）当+，则无法进行关联分析，此时所有的1)(0ki，即关联系数蜕变为一个点。(2)B型关联度=),(0iXX)2(0)1(0)0(02111111iiidndndn+其中：=nknkiiik
42、xkxkdd110)0(0)0(0)()()(=+=111100)1(0)1(0)()()1()1()(nknkiiiikxkxkxkxkdd)1()1()()(2)1()1(21)(0001212)1(0)2(0+=kxkxkxkxkxkxkddiiinknkii )2(0)1(0)0(0,iiiddd分别称为离散函数)(0kx与)(kxi的位移差、一阶斜率差、二南京航空航天大学硕士学位论文 15 阶斜率差。此模型根据事物发展过程中的相近性与相似性，为全面描述事物之间发展过程的异同性及其关联程度而提出的，其综合考虑总体位移差、总体一阶斜率差与总体二阶斜率差，该模型也是侧重于总体分析。(3)T
43、型关联度 对于区间ba,，0 ab，令1=kkkttt（nk,3,2?=），ba,=knkt=2，=1kktt，对于k，两原始时间序列在ba,区间各点的取值分别为：)(,),(),(020100ntxtxtxX?=)(,),(),(21niiiitxtxtxX?=其增量序列为：)32(),()()(1000nktxtxtxkkk，?=)32(),()()(1nktxtxtxkikiki，?=首先计算各个时段的关联系数：=0)()(,0 0)()(,)(,)(max()(,)(min()()(sgn()(00000kikkikkikkikkikktxtxtxtxtxtxtxtxtxtxt 上式中
44、：当0)()(21kktxtx时，关联系数0)(kt，否则，当0)()(21kktxtx时，0)(kt。则关联度：)(1),(20knkkittabXX=其基本思想为：按照因素的时间序列曲线的相对变化势态的接近程度来计算关联度。对于离散时间序列。所谓两曲线的相对变化势态的接近程度，是根据两序列在对应各时段1=kkkttt（nk,3,2?=）的增量的大小来判定的，若在时段kt间两增量相等或接近于相等，则这两时间序列在时段kt间的关联系数就大；反之就小。两时间序列的关联度定义为：各时段kt间的关联系数的加权平均数，权数为kt。(4)广义关联度 广义关联度包括灰色绝对关联度、灰色相对关联度、灰色综合
45、关联度，下面分别介绍一下。灰色绝对关联度：灰色关联分析模型及其应用的研究 16 设()(,),2(),1(nxxxXiiii?=，),2,1,0(mi?=记折线 ()1()(,),1()2(),1()1(iiiiiixnxxxxx?为0iX。令 01niisX dt=niidtXXss10000)(，),2,1,0(mi?=则灰色绝对关联度为：000011ssssssiiii+=其主要是研究的两个序列绝对增量间的关系，用两条序列折线间所夹的面积大小来衡量两序列的关联性的大小，是目前应用较多的一种关联度。灰色相对关联度：设()(,),2(),1(nxxxXiiii?=，),2,1,0(mi?=记
46、折线()1()n(,)1()2(,)1()1(iiiiiixxxxxx?，),2,1,0(mi?=为/iX，此时的/0X与/iX),2,1(mi?=的灰色绝对关联度为0X与iX的灰色相对关联度。其主要研究的是两序列增长速度之间的关系。一般记为ir0。灰色综合关联度：iiir000)1(+=这种关联度既体现了折线间的相似程度，又体现了二者相对于初始点的变化速率的接近程度，是较为全面的表征序列之间联系是否紧密的一个数量指标。(5)灰色斜率关联度 首先关联系数为：)1()()1()1()()1(11)(000+=kxkxkxkxkxkxkiii 则关联度为：=110)(11),(nkiknXX 南京
47、航空航天大学硕士学位论文 17 其基本思想是按照因素时间序列曲线的平均相对变化态势的接近程度来计算灰色关联度。(6)C型关联度),2,1(),(1),(1000KktDKDXXkKkiii?=其中：3)()()()2(0)1(0)0(00kikikiitdtdtdD+=)()(0)0(0kikitxtxd=)()()()(1010)1(0kikikkitxtxtxtxd=+)()(2)()()(2)(),(),(),(),(1110010111010)2(0+=kikikikkkkkikkikkkkitxtxtxtxtxtxttxttxttxttxd C型关联分析的提出，充分考虑了动态分析，是
48、在分析对象与参考事物之间关于位移、速度、加速度的同一性、差异性、对立性基础上建立的关联分析模型。(7)灰色欧几里德关联度 设论域)(,),2(),1(nxxxUiii?=，),1,0(mi?=Fuzzy集iA表示)(kxi与)(0kx相关，则iA可以用下式表示)(,),2(),1(000nAiiii?=则任意两个Fuzzy集iA，lA),2,1,(nli?=的相互接近程度可用欧几里德贴近度来表示，()211200)()(11),(=nklilikknAAN 令)1,1,1(?=lA，则表明lx与0 x相关程度最大（称为理想相关），因此，我们可以取iA与理想相关的lA的贴近作为ix与0 x的关联
49、度，即：211200)1)(11=nkiikn 设 )()(000krkiii+=，这里可以推得0)(10=nkik 灰色关联分析模型及其应用的研究 18 则：21120200)()1(11),(+=nkiiikrnnXX 灰色欧几里德渡联度不仅考虑了比较数列与参考数列在各点的关联系数的平均值ir0对关联度的影响，而且又考虑了各点关联系数波动值)(0ki对关联度的影响，当ir0不变时，若)(0ki增加，则关联度减少；当)(0ki不变时，若ir0增加，则关联度亦随之增加；特别当ir01，)(0ki0时，关联度为最大，即1)(max00=iirr，这时表示比较序列iX的发展态势与参考序列0X的发展
50、态势完全相同。2.2.2 灰色关联序 利用上面的各个模型计算出来的灰色关联度的大小是衡量序列之间紧密程度的一种尺度，而在进行系统分析时，研究系统特征行为与因素行为之间的关系，我们主要关心的是系统特征行为序列和各个因素行为序列关联度大小的顺序，而不完全是关联度在数值上的大小。因此，在进行各个模型存在的问题的探讨之前，我们先引进灰色关联序的定义。定义定义 2.7 5 设0X为系统特征行为序列，iX和jX为相关因素行为序列，为其灰色关联度，若ji00，则称因素iX优于因素jX，记为iX?jX。称“?”为由灰色关联度导出的灰色关联序。2.2.3 模型存在的不足 由于各个学者对灰色关联度的理解有所不同，