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1、数学模型华中科技大学管理学院第五章第五章微分方程模型微分方程模型5.1传染病模型传染病模型5.2经济增长模型经济增长模型5.3正规战与游击战正规战与游击战5.4 药物在体内的分布与排出药物在体内的分布与排出5.5香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用5.6 人口预测和控制人口预测和控制数学模型华中科技大学管理学院动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据领域问题的变化率根据领域问题的变化率，确定函数类型确定函数类型
2、微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程数学模型华中科技大学管理学院5.1 传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型*数学模型华中科技大学管理学院已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病
3、人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?每天所有病人传染的人数在病人有效接触的人群中，有健康人，也有病人数学模型华中科技大学管理学院sidtdi1)()(tits模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数总人数N不变不变，病人和健康人的比例分别病人和健康人的比例分别
4、为为2）每个病人每天有效接触人数为每个病人每天有效接触人数为,且且使接触使接触的健康人致病的健康人致病建建模模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型s(t)：每个病人每天可使这么多健康者变为病人)t(s),t(i人中的健康人人数Ni(t)s(t)：所有病人每天可使这么多健康者变为病人所有病人人数每个病人每天的作为所有病人每天的作为所有病人Ni(t)的增加率，所以有：s*iNdtdiN初始时刻病人的比例数学模型华中科技大学管理学院teiti1111)(0001i)(i)i(idtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itm
5、tm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻(日接触率日接触率)tm 1itLogistic 模型如果病人可以治愈呢如果病人可以治愈呢？?t=tm,di/dt 最大最大当i=1/2时，di/dt 达到最大,计算如下：(di/dt)i=(i-i2)i=-2i=0步1步2步3问题问题：原因原因：病人不能治愈病人不能治愈每个病人每天有效接触人数数学模型华中科技大学管理学院模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成为健康病人治愈成为健康人人，健康人可再次被感染健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率t)t(Nit)t(i)t(N
6、s)t(i)tt(iN建模建模/日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人效接触的平均人每个病人效接触的平均人数数，称为称为接触数接触数。1）总人数总人数N不变不变，病人和健康病人和健康 人的人的 比例分别比例分别为为)t(s),t(i2）每个病人每天有效接触人数为每个病人每天有效接触人数为,且且使接触使接触的健康人致病的健康人致病原假设原假设=病人总数天被治好的病人/001i)(iiN*)i(iNdtdiN每天的病人数从生病治好的时间/1*处于生病状态的时间在这段时间里，可以去感染别人在模型2基础上增加的一项。数学模型华中科技大学管理学院1,01,11)(i)11(i
7、idtdi模型模型3i0i0接触数接触数=1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按 Sti)(感染期内感染期内有效接触感染的健康者人数不有效接触感染的健康者人数不超过病人数超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(问问：模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例？idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1-1/以后i0小，意味着病人接触的健康人就会多I0大，意味着病人接触的健康人就会少大的原因：病人治愈得慢，小含义：每个病人在自己生病期间，只接触了1人而这个人还不一定是健康人(见P136的s(t)含义)=1时时，i()终将为终将为
8、0见P138图5传染病不蔓延传染病蔓延模型模型2(SI模型模型)：P136式式5，模型模型3(SIS模型模型)：P138式式11数学模型华中科技大学管理学院模型模型4传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈后即移出感病人治愈后即移出感染系统染系统，称称移出者移出者SIR模型模型假设假设1）总人数总人数N不变不变，病人病人、健康人和移出者的比例分别健康人和移出者的比例分别为为)t(r),t(s),t(i2）病人的日接触率病人的日接触率,日日治愈率治愈率,接触数接触数=/建模建模1)()()(trtitsdsdt+didtdrdt+=0病人治愈后移出者病人治愈后移出者：Ndrdt=Ni模型模型3，即即
9、SIS模型模型：didt=si-iP137式8dsdt=-si所以所以：00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi数学模型华中科技大学管理学院模型模型4SIR模型模型很小）通常000)0(1rrsi无法求出无法求出的解析解的解析解)(),(tsti在在相平面相平面上上研究解的性质研究解的性质is 00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi描述系统的一维运动描述系统的一维运动.以位置以位置、速度为坐速度为坐标建立坐标系标建立坐标系。相平面中任一点代表该相平面中任一点代表该时刻系统的运动状态时刻系统的运动状态,称为相点称为相点.相点连相点连续变化形成的轨道则描述了系统的运动续变
10、化形成的轨道则描述了系统的运动过程过程,称为相轨线称为相轨线为了做相轨线分析，先做数值分析：=1，=0.3，i(0)=0.02，s(0)=0.98每个病人每天接触的平均人数治愈率：每天被治愈的病人数占总病人数的比例已感染者比例健康者比例Matlab编程：P139 数据：P140表1 图形：P140图7、8分析结果：t=7时i达到最大；t,i0；s(t)单调减少,t,s0.0398;图8中，P0座标（0.98,0.02）数学模型华中科技大学管理学院0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去消去dtSIR模型模型
11、1,0,0),(isisisD相轨线相轨线的定义的定义域域)(si相轨线相轨线11si0D在在D内作相轨线内作相轨线的图形的图形，进行分析进行分析)(si是什么含义？数学模型华中科技大学管理学院si101D模型模型4SIR模型模型相轨线相轨线及其分析及其分析)(si0000s)(s,i)(isidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissimii,/s时当1s(t)单调减单调减相轨线的方向相轨线的方向0,itP1s0/1imsP3P4P2S0P141式18证明：由P139式14，dtds0，而s(t)0表明S越来越小表明S最小也不会低于0由P139式13，d
12、trd0，而r(t)1表明r越来越大表明r最大也不会超过10i,t所以，P140式17数学模型华中科技大学管理学院0ln1000sssiss满足传染病蔓延传染病蔓延传染病不蔓延传染病不蔓延P1:s01/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值si101DP1s0/1imsP3P4P2S0令i=0,代入P140式17mii,/s时当1数学模型华中科技大学管理学院模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段(日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s0 1/降低降低
13、s0提高提高 r01000ris提高阈值提高阈值 1/降低降低(=/),群体免疫群体免疫每个病人在自己生病期间，接触的人数r0需达到多少需达到多少？：？：忽略病人比例的初始值i0，有s0=1-r0于是传染病不会蔓延的条件s0 1/为：r01-1/为什么忽略？见P141图9，无论i0=？都不影响s的趋势；且i0多半很小。数值验证与估计：见P142表2见见P142印度数据印度数据：=5，r080%数学模型华中科技大学管理学院0ln1000sssis 如何估计如何估计？0i忽略ssss00lnln从P142表2得到：=/每个病人在自己生病期每个病人在自己生病期间间，接触的人数接触的人数日接触率日接触
14、率日日治愈率治愈率对于一定的s0，降低，提高，会使s变大，im变小见表2的第2、3、4、5行，或第6、7、8、9行对于一定的、，降低s0，也会使s变大，im变小见表2的第2、6行，或第3、7行但是s01/时，s反而小了见表2的第4、8行，或第5、9行问：什么原因？现实生活中，、很难得到，所以直接估计：P140式17有何含义？数学模型华中科技大学管理学院模型验证模型验证由P139式14sidtds得到：s(t)=s0*e-r(t)dsdt+didtdrdt+=0由P139式12，得：得：dsdtdidtdrdt=-将P139式14代入得：drdt=i=(1-s-r)展开为P143式24得：P14
15、3式25得：P143式26绘图，见P143图10被传染比例的估计被传染比例的估计：印度孟买：死亡人数比率，就是移出人数比率r。验证r如何变化。数学模型华中科技大学管理学院模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xi0s/1P10ssi0 0,s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被传染人数被传染人数比例比例 x泰勒展开前两项如果 03)经济增长的条件经济增长的条件)1(10120yfLyf如何得到？将前页y(t)公式代入因为01劳动力的相对增长率（P
16、146式13）此式必须0，则t才存在资金在产值中资金在产值中占有的份额占有的份额即0此式03)经济增长的条件经济增长的条件dtdyyfdtdZ10每个劳动力的产值01100t)(eK/K见P146式17f0y-y 0 (B)0dtdy100K/K此式成立的条件为：由P146式1800K/KT,c1(t)和和 c2(t)按按指数规律趋于零指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt 数学模型华中科技大学管理学院0010 xkf)(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3.口服或
17、肌肉注射口服或肌肉注射相当于药物相当于药物(剂量剂量D0)先进入吸收室先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收后进入中心室吸收室药量吸收室药量x0(t)2211122121022112113121)()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(,0)0(21数学模型华中科技大学管理学院ttBeAetctc)()(11参数估计参数估计各种给药方式下的各种给药方式下的 c1(t),c2(t)取决于参数取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射快速静脉注射D0,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大设
18、t,由较大的由较大的用最小二乘法定用最小二乘法定A A,)(,1iitct由较小的由较小的用最小二乘法定用最小二乘法定B,)(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101*数学模型华中科技大学管理学院211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk参数估计参数估计进入中心室的药物全部排除进入中心室的药物全部排除*数学模型华中科技大学管理学院 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关人体吸入的毒物量与哪些
19、因素有关，其中哪其中哪些因素影响大些因素影响大，哪些因素影响小哪些因素影响小。模型模型分析分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟建立吸烟过程的数学模型过程的数学模型。设想一个设想一个“机器人机器人”在典型环境下吸烟在典型环境下吸烟，吸吸烟方式和外部环境认为是不变的烟方式和外部环境认为是不变的。问题问题5.5香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用数学模型华中科技大学管理学院模型模型假设假设定性分析定性分析QvaMl,2?,1Qlb?Qu1）l1烟草长烟草长，l2过滤嘴长过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量毒物量M均匀分布均匀分布，密度密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾
20、进入空气和沿香烟穿行的数点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是量比是a:a,a+a=13）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间单位时间)吸收率分别是吸收率分别是b和和 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度香烟燃烧速度是常数是常数u，v uQ 吸一支烟吸一支烟，毒物进入人体总量毒物进入人体总量过滤嘴对毒物的(单位时间)吸收率过滤嘴长度毒物量毒物随烟雾沿香烟穿行的数量比烟雾沿香烟穿行速度未点燃的烟草对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率香烟燃烧速度数学模型华中科技大学管理学院vxlxlxqlxxbqxxq
21、xq,)(,0,)()()(11ulTdttlqQT/,),(01模模型型建建立立xx)(xq)(xxqxv0 x1llt=0,x=0，点燃香烟点燃香烟0)0,(wxwq(x,t)毒物流量毒物流量。t时刻时刻，单位单位时间内通过截面时间内通过截面x处处w(x,t)毒物密度毒物密度。t时刻时刻，截面截面x处处，单位长度烟草中的毒物含量单位长度烟草中的毒物含量1)求求q(x,0)=q(x)吸入毒物量Q是x=l处的流量在吸一支烟时间T内的总和分分4步求步求Q:t=0时的瞬间，由烟雾携带的毒物，在单位时间内，通过x处的数量烟雾穿过x所需时间单位时间未燃烟草对烟雾的吸收比例=留下来的量/总量单位时间过滤
22、嘴对烟雾的吸收比例*数学模型华中科技大学管理学院vxlxlxqlxxbqxxqxq,)(,0,)()()(11lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(000)0(uwHaHq在x=0处，单位时间内，点燃的烟草放出的毒物量烟草燃烧的速度：长度/时间毒物密度：毒物量/长度烟雾沿香烟穿行的数量比例：穿行量/总量0时刻时刻，x=0处处，单单位时间内通过的毒位时间内通过的毒物量物量解法解法：1）通过通过q(0)，解出解出0 x L1的的q(x)2）通过通过q(L1)，解出解出L1 x L的的q(x)x数学模型华中科技大学管理学院lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)
23、(11)t,ut(w*u)t(Ht时刻时刻，香烟燃至香烟燃至 x=ut1)求求q(x,0)=q(x)2)求求q(x,t)和q(l,t)vx,lxl,)t,x(q,lx,)t,x(bq)t,xx(q)t,x(q110烟雾穿过x所需时间单位时间未燃烟草对烟雾的吸收比例=留下来的量/总量单位时间过滤嘴对烟雾的吸收比例lxl),t,x(qvlx),t,x(qvbdx)t,x(dq110)t(aH)t,(q0t时刻，燃至x=ut处，单位时间内，烟草放出的毒物量t数学模型华中科技大学管理学院lxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlb
24、eetutauwtlq21)(),(),(t时刻，ut处毒物的密度数学模型华中科技大学管理学院tvtxqbtxwttxw),(),(),(0)()0,(),(wxwetutauwvbtwvutxbaaaeawtutwvbuta1,1),(03)求求w(ut,t)毒物在烟草中的密度w(x,t),由初始值w0逐渐增加单位时间，未燃烟草对烟雾的吸收比例x处，t时刻，单位时间内，通过截面x处的毒物量留下来的量总量*单位时间总量单位时间长度单位时间将P160式5、6代入上式，得：数学模型华中科技大学管理学院vabutvbutvlvblaeeeeaauwtlq210),(vblavluleebavawdt
25、tlqQ121/001),(vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(vbutaaeawtutw01),(rervblarr1)(,1),(2raMeQvl4)计算计算 Q代入代入w0=M/l1其中其中，令令：初始密度毒物随烟雾进入空气的量未点燃的烟草对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率数学模型华中科技大学管理学院2)过滤嘴减少毒物所起的作用过滤嘴减少毒物所起的作用，,l2 负指数负指数作用作用vle211vblar结果结果分析分析),r(e*M*aQvl2rervblarr1)(,12/1)(rr vblaaMeQvl2112烟草烟草为什么有为什么有作用作用?1）Q与与a,M
26、成正比成正比，aM是所有毒物集中在是所有毒物集中在x=l 处处，人的吸入量人的吸入量vlaMe2是所有毒物集中在是所有毒物集中在x=l1 处处，人在人在l处的吸入量处的吸入量3）(r)烟草烟草减少减少（吸收吸收）毒物所起的作用毒物所起的作用b,l1 线性线性作用作用烟雾沿香烟穿行比例毒物量:过滤嘴吸收率；L2：过滤嘴长度；增加两者的效果一样；v：烟雾穿行的速度，减小v的效果与增加上面两者的效果一样未点燃的烟草对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率：b跑到空气中的比率：泰勒展开的前三项,l2 负指数负指数作用作用根据实际资料*数学模型华中科技大学管理学院vblavbleebavawQ12021v
27、lbeQQ2)(21vblavleebavawQ12011带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤嘴21QQb结果结果分析分析4)与另一支不带过滤嘴的香烟比较与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0,b,a,v,l 均相同均相同，吸至吸至 x=l1扔掉扔掉提高提高 吸收率吸收率-b 与加长与加长l2，效果相同效果相同烟草吸收率穿行比率数学模型华中科技大学管理学院5.6 人口预测和控制人口预测和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),(年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡只考虑自然出生与死亡，不计迁移不计迁移人口发人口发展方程展方程的人口）年龄时刻人
28、口分布函数rt()t,r(F人口密度函数),(trp人口总数)(tN最高年龄)(mrt时刻，年龄小于0岁的人数t时刻，单位年龄内的人口数量dr)t,r(pt时刻，年龄在区间r,r+dr)内的人数)t,r()t,r(dr)t,r(pt时刻，年龄在区间r,r+dr)内的单位时间的死亡人数t时刻，年龄为r的人的单位时间的死亡率数学模型华中科技大学管理学院),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口发展方程人口发展方程死亡率),(trdrtrp),(人数年龄,drrrt死亡人数内),(dttt人数年龄,11d
29、rdrrdrrdtt1drdt 一阶偏微分方程一阶偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(1考察年龄在r,r+dr)内的人，从时刻t到时刻t+dt的变化：活着的人：年龄变为r+dr1,r+dr+dr1)，其中，dr1=dt死去的人数：)t,r(dtdr)t,r(pt时刻，年龄在区间r,r+dr)内的单位时间的死亡人数*数学模型华中科技大学管理学院00000t),t(f)t,(pr),r(p),r(p)t,r(p)t,r(tprp人口发展方程人口发展方程已知函数已知函数（人口调查人口调查）生育率生育率（控制人口手段控制人口手段）0tr)(0rprt)(tfrt rt)()
30、,(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(0时刻的人口密度t时刻,婴儿的人数社会安定的条件下、不太长的时间内，死亡率死亡率与时间无关随着时间的变化，各个年龄段中，人口的数量0时刻的人口密度从r-t到r各年龄阶段日死亡率t-r时刻,婴儿的人数*数学模型华中科技大学管理学院21rrdr)t,r(p)t,r(k)t,r(b)t(f),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性别比函数女性)(),(trk)t,r(b育龄区间,
31、21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 总和生育率总和生育率h 生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rr女性人数总人口dr)t,r(p)t,r(k时刻t，年龄在r,r+dr)的女性人数时刻t，年龄在r,r+dr)的总人数时刻t，单位时间内，年龄为r的每人的生育数t时刻,婴儿的人数t时刻，单位时间内，年龄从r1到r2的女性每人的生育数t时刻，年龄为r的女性生育加权，即生育概率、生育可能性单位时间内*数学模型华中科技大学管理学院rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrk
32、trhttf人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率)(t总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大初始时刻年龄为r的人数数学模型华中科技大学管理学院mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/)()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指数人口指数1）人口总数人口总数2）平均年龄平均年龄3）平均寿命平均寿命t时刻出生的人时刻出生的人，死亡率按死亡率按(r,t)计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制(t)不过高不过高