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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除一线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：记：非齐次线性方程组表示为：齐次线性方程组表示为：2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果是齐次方程组的k个解，则它们的线性组合也是齐次方程组的解，这里(2)向量函数线性相关性定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数使得在上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。(3)Wronsky行列式由定义在上n个向量函数所作成的行列式称为该向量函数组的Wronskiy行列式，也写作W(t).(4)定理3 若向量函数组在区间上线性相关，则在上它们的Wro
2、nskiy行列式。(5)定理4 如果齐次线性微分方程组的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即().由方程(4.2)的个解构成的Wronskian行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。(6)定理5 齐次线性微分方程组一定存在个线性无关的解。(7)通解的结构如果是齐次微分方程组的个线性无关的解，则方程的任意一个解可表为 其中是任意常数。（8）以上的结果写成矩阵形式： a.如果矩阵的每一列都是齐次方程组的解，则称为解矩阵。b. 如果解矩阵的列线性无关,称为基解矩阵.定理：齐次方程组一定有基解矩阵，如果是方程组的解，则有定理：一个解矩阵式基解矩阵的充分必要条件是，
3、而且如果某个，则有。推论:如果是微分方程在区间a,b上的基解矩阵，C是一个非奇异的常数矩阵，那么也是基解矩阵。推论:如果是微分方程在区间a,b上的基解矩阵，则存在一个非奇异的常数矩阵C，使得。3.非齐次微分方程组的一般理论非齐次线性方程组(1) 解的性质性质1 如果是非齐次方程组的解，而是对应的齐线性方程组的解，则是非齐次方程组的解.性质2 非齐次方程组的任意两个解之差是对应齐次方程组的解。（2）非齐次方程组解的结构：设是基解矩阵，是非齐次方程一个特解，则非齐次方程组的任意解都可以表示为：(3) 解的求法(常数变易法) 定理: 若为齐次方程基解矩阵，则对应的非齐次方程的解，且满足初始条件如果要求满足一般的初始条件的解则，二矩阵指数的定义及性质1.矩阵指数的定义：A是n阶方阵2.矩阵是方程的基解矩阵，且三基解矩阵的计算公式定理：A有n个线性无关的特征向量他们对应的特征值分别为，那么矩阵是常系数微分方程组的基解矩阵定理：如果是重特征根，则方程组有个形如的线性无关解，其中向量由矩阵方程所确定。【精品文档】第 4 页