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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第五章 微分方程模型.精品文档.第五章 微分方程模型5.1、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？解： 设此人的体重为 ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立：经化简有：假设此人现在的体重为 ，则此人的体重随时间的变化如下：5.2、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malth
2、us增长模型其中以分钟计。在时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是，其中是时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。（1）考虑到两种因素，试修正Malthus模型。（2）假设在是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数，并问时会发生什么情况？解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus模型如下：（2），假设在 时，存在100万条鲑鱼，即 ，解下列初值问题解得当 时，。5.3、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若
3、已知某放射性物质经时间放射物质的原子下降至原来的一半（称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。解： 假设初始时刻该放射性物质的原子数位，在时间时，该放射性物质的原子个数为 ，设衰变系数为，则有下列微分方程：解得由题可知，当 时，该放射性物质的原子个数下降到原来的一半，即有则有即为该放射性物质的衰变系数。5.4、 用具有放射性的测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生。植物吸收二氧化碳时吸收了，动物食用植物从植物中得到。在活组织中的吸收速率恰好与的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收，于是的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时的衰
4、变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在的衰变速率，由于的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建立用测古生物年代的模型（的半衰期为5568年）。解： 假设现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率为 ，古生物标本现在的衰变速率为 ，设动物死亡后，经过时间 后，动物体内的浓度为。 再根据上题（5.3题）解得某物质的衰变系数为其中为的半衰期，则有当时，根据上述公式可得到又因为，则有由题可知，则只要测出现在活组织样本和古生物标本中的衰变速率，代入上式即可估算出古生物标本距今的时间。5.5、 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：（1）1950年从法国Las
5、caux古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（），而活树木样本测得的计数为6.68计数（），试确定该洞中绘画的年代；（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（），活数标本为6.68计数（），试估计该建筑的年代。解： （1），根据上题建立的模型，由已知条件可以确定，代入上题模型中可算出 年 （2），同理可得，该古建筑距今的年代 年5.6、 一容器用一薄膜分成容积为和的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设，每
6、隔100s测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为。试建立扩散系数，并决定2h后两部分中溶液的浓度各为多少。解： 假设浓度较高的部分为，则测得的十组数据是中溶液浓度的变化，设 和中溶液浓度分别为和。 因为扩散速度与两部分溶液浓度差成正比，则又因为在整个容器中，溶液的浓度是定值，设为，所以，代入上式并解得：然后用所给的十组数据进行数据拟合，求出上式中的参数。5.7、 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。解： 因为是耐用消费品，所以随着人们对它的拥有量的增加，其销售
7、量的下降速度与成正比。则可建立模型如下：解上述微分方程得到：根据已有数据用matlab拟合指数曲线，可确定。5.8、 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量的下降速度与成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为）。建立销量的模型。若广告宣传只进行有限时间，且广告费为常数，问如何变化？解： 假设在没有广告宣传的情况下，销售量的模型为 在加入广告宣传后，销售量随时间的变化情况如下：其中为时间内的销售总量。如果广告宣传只进行有限时间，则上述模型变为5.9、 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别
8、建立模型（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。（2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。（3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。解： （1），假设推广的人数为，因为推广是无限的，则可以达到无限大，建立模型如下 （2），总人数有限，推广速度随着推广人数的增加而降低，即推广速度与推广人数成反比，所以建立模型如下： （3），假设投入的广告费随时间的函数为，广告宣传的影响力与投入的广告费成正比，比例系数为，所以建立模型如下：5.10、 某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？解： 设经过时间 后细菌数量为，增长率为常数。求解上述微分方程，有由题可知，则有 个