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1、一、不定积分部分1. ； 解法一: 解法二: 2* ；解: 3. 解: 4. 解: 5. 解: 7. 解: 8. 解: 9. 解: 10. 解:11. 解: 12. 解: 13* 解:令,则14* 解: 令,则15. 解:16. 解:令,则17. 解: 令,则18. 解19* 解: 20. 解: (也可用万能替换)21* 解: 22* 解: 令,则23* 解: 24* 解: 而所以=25 解 用万能替换,令,则(注:由于,所以)26 解 27 解 28 .解 .29. 设试确定的一个原函数,使.解 的任意一个原函数为由,可知常数,于是,所求的原函数为30. 设,求.解 因为,所以,于是.31.
2、 求不定积分解 原式32. 求不定积分解 原式33. 求不定积分解 原式34. 求不定积分解 原式35* 求不定积分解36* 求不定积分解法1 解法2 令,则,于是,37* 求不定积分解 38. 求不定积分解 39. 求不定积分解40. 求不定积分解 41. 求不定积分解法1 于是,应用回归法,解出积分为 原式 解法2 令,则,所以原式42* 求不定积分解 原式对上述等号右端第二项取变换,则,于是所以, 原式 43. 求不定积分 解 令,则,于是 44. 求不定积分解 令,则原式,所以,原式45. 求不定积分.解 46. 求不定积分解 47. 设常数为正整数,计算不定积分解 .48. 求的递推
3、公式.解 取变换,则,于是,解出.所以49. 求不定积分.解 48. 求函数在上满足的一个原函数.解 因为所以的原函数为又,所以,即49. 设函数试确定常数,使得在上有原函数.解 ,当时,对任意的,在上连续,故在上有原函数.50. 设的导数为开口向下的抛物线,且,若已知的极小值,极大值,求 解 令,由和,所以,即函数的驻点为.,故,所以 51. 设为的一个原函数,且满足,又当时满足,试求. 解 ,又,所以,由,于是,即.二、定积分部分1. 利用定积分的定义计算由抛物线，两直线以及轴所围图形的面积。 解：由定积分的几何意义，知所求面积为将区间等分其中而，在每个小区间上取右端点得和式所以.2. 试
4、比较下列两个积分的大小:解 因为,所以.也可用函数单调性方法证明.3. 计算定积分解 4. 求满足的原函数.解 当时,当时,.由于可积,故必然连续,因此,所以.于是的原函数为满足的原函数为显然连续可导.5. 设求,并给出可导性的结论.解 为函数的第一类间断点,故在区间内无原函数.当时,当时,因而在上连续,但不可导.6. 设为连续非负函数,对所有大于的常数,由及围成区域的面积为,求.解 由.7. 求极限.解 ,记,则.所以. 8. 求积分 解 9. 已知,求积分.解 .10. 求.解 .11. 计算.解法1 解法2 记,令,则.12. 计算定积分.解 (注:解答过程利用了被积函数为奇函数和定积分
5、的几何意义)13. 计算.解 .14. 计算.解 15. 设求.解 令,则.16. 设时,有,求的表达式.解 ,令,则,所以.17. 设,求.解 等式两边求导,得.18. 设可导函数满足,求.解 19. 设,求.解 .20. 计算.解 21. 计算.解 利用被积函数的奇偶性,可得22. 计算.解 利用被积函数的奇偶性和公式可得23. 设,求.解 24. 已知为连续函数,求的值.解 注意到这里为参数,取变换,则,于是得到两边对求导得到.令,即得. 25. 设连续,且,求并讨论在处的连续性.解 由,又因在连续,可得,且.令,则,于是,所以,当时,.而,因而得,因此, 在处连续. 26. 设在上可导
6、,其反函数为,若求. 解 令,则,于是对最后一个等式两端关于求导数,并注意到,得到当时,有.又因在处连续,故,于是. 27. 设函数在内连续,且对所有满足条件求. 解 由的连续性可知,已知等式各项均为的可导函数,两端关于求导数,得到由得.又当时,可导,等式两端关于求导,得,又由得,因而. 27* 设函数在内连续,且对所有满足条件求. 解 由的连续性可知,已知等式各项均为的可导函数,两端关于求导数,得到由得.又当时,可导,等式两端关于求导,得,又由得,因而.28. 设在上有连续的导数,求极限. 解 记,由积分中值定理得又因为在上有连续的导数,应用拉格朗日中值定理又得,于是.29. 已知两曲线与在
7、点处有公切线.(1) 求此切线方程; (2) 求极限.解 (1) 由条件得,故切线方程为;(2) ,因此,.30. 计算定积分.解 .31. 设的一个原函数为,求.解 由题意得,所以.32. 设满足,求的极值与渐近线,并作的图形.解 令,则,所以,所以,两边求导得为驻点,为极大值,为斜渐近线.(图略)33. 设,求.解 样34. 计算.解 原式所以.35. 设,求.解 ,所以. 36. 确定常数的值,使 解 ,所以.又.37. 设在上可导,其反函数为,若,求. 解 令,则,于是对最后一个等式两端关于求导数,并注意到,得到由于,所以有.又因及,于是.38. 设,求.解 因为,所以.令,则,所以定
8、积分的应用问题 1. 求曲线上的一条切线,使该切线与直线所围成的平面图形面积最小.解 设切点的横坐标为,则切线方程为,改切线与直线所围成的平面图形的面积为.令.易知,当时,面积最小,切线方程为.2. 圆域被心形线分割成两部分,记为与.分别求出面积与.解 .3. 在曲线上取一点.设是由曲线,直线和围成的面积,是由曲线,直线和围成的面积,问当为何值时,取最小值?解 .显然,当时取最小值.4. 求非负常数,使与所围成的图形的面积为.解 当时,(舍去)当时, .5. 已知曲线与曲线在点处有公切线.(1) 求常数及切点的坐标; (2) 求上述二曲线与轴所围图形的面积.解 (1) ,切点为(2) 面积为.
9、6. 在曲线上点处引该曲线的法线,由该法线,轴及该曲线围成的区域为,求绕轴旋转一周生成的旋转体的体积.解 因为,所以曲线的切线斜率为,故法线方程为.旋转体的体积为 .7. 设曲线与轴的交点为,过点作该曲线的切线,求切线与该曲线及轴围成的区域绕轴旋转一周生成的旋转体的体积.解 曲线与轴的交点的坐标为,切线方程为解法1 .解法2 .8. 由与确定的区域记为,求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.解 注意旋转半径为,故.9. 由直线与抛物线所围成的图形绕直线旋转,求旋转体的体积.解 10. 设直线与抛物线所围成的面积为,它们与直线所围成的图形的面积为,并且.(1) 试确定的值,使达到最小,并求出最小
10、值;(2) 求该最小值所对应的图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积.解 (1) 由题意知,故,用导数方法易知,当时,取到最小值.(2) .11. 设外旋轮线的方程为.(1) 求它绕轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积;(2) 求它绕轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积.解 (1) 体积侧面积(2) 体积(计算过程略)侧面积(计算过程略)12. 求曲线在区间段的弧长.解 ,令,则,于是.13. 求外旋轮线的方程为的弧长.解 .14. 设星形线的参数方程为。(1) 求它与轴所围成的面积;(2) 求它的弧长;(3) 求它与轴围成区域绕轴旋转而成的旋转体的体积和表面积.解 (1) ;(2) 弧长为;(
11、3) 体积表面积.15* 设曲线与相交于点,过坐标原点和点的直线与曲线围成一个平面图形,问为何值时,该图形绕?轴旋转一周所得的旋转体的体积最大?最大体积为多少?解 直线的方程为,.16. 过点作曲线的切线,该切线与上述曲线及轴围成一个平面图形.(1) 求的面积; (2) 求绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.解 (1) 曲线在点处的1切线方程为令得.曲线过点的线方程为,所以的面积为.(2) 绕轴所成旋转体的体积为.17* 设函数在闭区间上连续,在开区间内大于零,并满足为常数);又曲线与所围的图形的面积为,求函数,并问为何值时,图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.解 由题意知,当时,又由在点处的
12、连续性得.再由已知条件得到,因此. 旋转体的体积为.由,又因,故时,旋转体体积最小.18* 曲线与直线及围成一个曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得到一个旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(1) 求的值; (2) 求极限.解 (1) 运用侧面积公式与旋转体体积公式得到 (2) .19. 求圆弧的弧长与形心坐标.解 弧长.设形心坐标为,由对称性得,.因此,形心坐标为.20. 设,求曲线与所围成区域的形心.解 设形心坐标为,则.由对称性可知,故形心坐标为.21. 求半径为的匀质半球的质心.解 设半球的底面在平面上,球心在坐标原点,质心坐标为,由对称性,得,.故质心坐标为.22. 求区域绕轴
13、旋转生成的旋转体的形心坐标.解 设形心坐标为,显然,由对称性知,.故形心坐标为.23. 假设区域由曲线及其过点的切线与轴围成,设此区域的形心为. (1) 求的值; (2) 求的值,使绕轴旋转一周而生成的旋转体体积.本题答案: .24. 设底半径为,高为且顶点在下方的圆锥形容器内盛满水,把容器内的水全部抽出,需做多少功?解 设底面圆心为坐标原点,通过顶点.25. 两细棒的线密度均为常数,其长度分别为,两棒放在一条直线上,两棒的距离为,求它们之间的引力.解 .26. 将半径为的空心球压入水中,使顶点与水平面相切,求克服浮力做的功.解 建立坐标系如图所示,则其中为有效行程.令,则.27. 某闸门的形
14、状与大小如土所示,以轴为对称轴,闸门的上部为矩形,下部由顶点位于原点的二次抛物线与线段所围成,线段两端为与.当水面与闸门的上端相重合时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为,问闸门矩形部分的高应为多少?解 上部矩形部分承受的水压力为,下部二次抛物线与线段所围成部分承受的水压力为,令,则.由题意得.28. 设有三角形闸板,两直角边和为,将其竖直放入水中,使一直角边与水面重合,另一直角边垂直向下.问两直角边成何比例时,三角形闸板承受水压力最大?设水的密度为,求出此最大压力.解 以垂直向下的直角边顶点为坐标原点,垂直向上的方向为轴正向,平面与三角板所在平面相平行建立坐标系,并设水
15、平直角边与垂直向下直角边的边长分别为与,则有.斜边所在直线方程为,记为闸板承受的水压力,取横向分割,表示面积,为水深,则有微元关系,于是解得驻点,且在驻点两侧变号(先正后负),因此,最大压力为.29. 一地下储油罐的内侧形状是由位于一象限的左侧圆周与直线段绕轴旋转而成的旋转面.设油的密度为,若将罐内油全部泵出油罐,求所做的功.解 旋转半径,沿轴方向分割,微元部分的有效位移,于是30* 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进地层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而做功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为),汽锤第一次击打将桩打进地下的深度(单位:)为.根据设计方案,要
16、求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数().问:(1) 汽锤击打3次后,可将桩打进地下多深?(2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?解 (1) 设第次击打后,桩被打进地下深度为,第次击打过程中,汽锤所做的功为.由题设,当桩被打进地下的深度为时,土层对桩的阻力的大小应为,即有,考虑到,则.另由,可得,即汽锤击打次后,桩被打进地下.(2) 由归纳法可得,则由,又得,所以,即若不限击打次数,汽锤至多能将桩打进地下的深度为.31. 厚度为,半径为的圆盘是由密度为的物质组成.它每秒钟转动圈.为使它停下来,需做多少功?解 根据动能变化的原理,在某个时间段内动能的增量等于该时间段内作用于物体的力所做的功,即(这里,为在某时刻的动能,为物体的初始动能,为外力所作的功.由于物体是固体,其内力所做的功为零).物体停下来,意味着,因而,负号对应于消耗的功.在计算动能时,分割出直径为,厚度为,高为的圆柱筒,其体积等于,精确度为更高阶的无穷小(如图所示)到旋转轴的距离为的圆盘上的点的线速度,其中为圆盘的角速度.因为圆盘每秒转圈,则,因而.圆柱筒的动能近似等于,根据定积分的微元法,得到,因而(其负号表示外力需做的功).