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1、广西民族学院学报（自然科学版）数学专辑!#$%&()#&%)*+#%+,-$.+/0($%&/+%&+/+-.!年#!月（%123415.678968-:727;9）!#%&%(彩票决策的数学模型陈仕兵，罗瑞炎，莫铿（广西民族学院 数学与计算机科学系，广西 南宁)&(）摘要：通过“传统型”和“乐透型”这两种彩票的不同玩法以及设奖方式，先设计出两种类型的各个奖项的中奖概率!，再利用低项奖的固定奖金额，估算出奖金总额，以返回期望值 为目标建立如下的数学模型：#$%#&#（#$#*(!）)&*#$+#*(!,结论#：用上面的模型来对!+种方案进行检验，以每个 与理论期望值#的接近程度来评价!+中方案
2、的合理性，得到的结果为：第#种方案（&#选$）是最合理的,合理方案等项一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖五等奖六等奖七等奖方案(-#)-!)-)!#结论!：通过给定数组，分别对低项奖金额和高项奖金单项比例以及“.选/”的可能组合值进行搜索，筛选出各自所有的可能值，把搜索出来的所有可能值进行组合计算，通过 0 程序计算出如下的一个最优方案（&(选$）,最优方案（&(选$）等项一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖五等奖六等奖七等奖方案$-#-!-)#)结果表明，所建立的模型是正确的，具有较高的参考价值,关键词：中奖概率；返回期望值；优化算法；数学模型中图分类号：,#*#-*#文献标识码：.?收稿
3、日期：!/#/#0作者简介：陈仕兵，罗瑞炎，莫铿，均为广西民族学院数学与计算机科学系学生-万方数据!问题的重述近年来，彩票风行全国，在巨额奖金的吸引下，越来越多的人加入到”彩民”的行列中目前流行的彩票有”传统型”和”乐透型”两种这两种彩票总奖金比例一般为销售额的#$%，单注投注金额为&元若单注已获得高级别类奖就不再兼得低级别奖奖金设置方案一般分高项奖和低项奖，其中高项奖分为一、二、三等奖低项奖的奖金额是固定的，高项奖是按比例分配的，但一等奖的单注奖金保底金额为$万，封顶金额为#$万，各高项奖金额的计算方法为：（当期销售总额总奖金比例）(低项奖总额)单项奖比例&问题的分析首先我们就“传统型”和“
4、乐透型”这两种彩票的玩法以及设奖方式作如下的分析：&*!传统型：传统型采用!$选（+!）方案，每注彩票填写 个号码和一个基本号码，其中 个基本号码是从 个分别装着$,-号球的箱子里摇出，一个特别号码是从一个装有$,.号球的箱子里摇出来因此，这种摇奖的方法上允许号码重复的球出现的，而且是要按顺序排列的如表一：表一：传统型选法中奖等级!$选 +!基本号码特别号码说明一等奖/012345选 6 中（+!）二等奖/01234选 6 中（）三等奖/01237701234选 6 中（）四等奖/01277701237771234选 6 中（.）五等奖/01777701277771237777234选 6 中
5、（8）六等奖/07777701777771277777237777734选 6 中（&）经过分析，我们很容易就可以求出各奖项出现的概率：一等奖：9!:!#)!$:&)!$(6二等奖：9&:.#)!$:;)!$(6三等奖：98:&)1!-!$:!*;)!$(#四等奖：9.:&)1!-1!$+1!-1!-!$:&*!)!$(.五等奖：9#:&)1!-1!$1!$+&)1!-1!-1!$!$:8*.&)!$(8六等奖：9:&)1!-1!$1!$1!$+8)1!-1!-1!$1!$(（8)1!-1!-+&)1!-）!$:.*!-#)!$(&乐透型：乐透型有多种不同的形式如”88 选 6”方案：从$!,
6、88 个号码球中摇出 6 个基本号码，再从剩下的&个号码球中摇出一个特别号码，特别号码用来确定二、四、六等奖投注者从$!,88 个号码中任选 6 个号码组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符个数确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序；又如”8 选 +!”方案：从$!,8 号球中摇出六个基本号码，再从剩下的 8$个号码球中摇出一个特别号码，特别号码是用来确定!广西民族学院学报（自然科学版）&$&年!&!月数学专辑万方数据一、三、五、七等奖，其投注方式与”!选”方案一样#这两种方案的中奖等级如下表二：表二：乐透型选法中奖号码!选（$!）!%选%&（%&$!%）基本号码特别号码说明基本号码特别
7、号码说明一等奖!选 中（）!选 中（%&）二等奖!#选 中（%&）!选 中（%）三等奖!#选 中（%）!#选 中（(&）四等奖!#选 中（%&）!#选 中（(）五等奖!#选 中（(）!#选 中（)&）六等奖!#选 中（)&）!#选 中（)）七等奖!#选 中（)）!#选 中（!&）通过分析上面两种彩票的玩法以及各中奖等级的中奖要求，可以计算出各项奖项中奖概率#对于以上两种彩票的玩法，我们可以归纳总得出：”*选+”和”*选+&”这两种”乐透型”彩票各奖项出现的概率：*选+：!#$#$!,#$%$#$&!#$%$#&%（$）#$&!)#$%,$#&%（$）#$&!(#$%,$#,&%（$）#$&!%
8、#$%!$#,&%（$）#$&!#$%!$#!&%（$）#$&*选（+&）：!#$#$&!,#&%（$）#$&!#$%$#&%（$）#$&!)#$%$#,&%（$）#$&!数学专辑!陈仕兵，等$彩票决策的数学模型万方数据!#$%$#&%（$#）#$#&!$#$%$#%&%（$#）#$#&!&#$%$#%&%（$#）#$#&可计算出各个奖项获奖概率如下表三：表三：各个奖项获奖概率方案#%(!$&$)#*#+,#+-&.,#+-&#/.,#+-!/$#,#+-(%/(,#+-%(/#00!,#+-&*0$/(+&,#+-&(/(.!,#+-&0/(#.,#+-!/.$,#+-(/.$,#+-%(/
9、&+0,#+-%+/+0.$)#*0$/(+&,#+-&#/(+0,#+-!./(!&,#+-!./.,#+-(/,#+-%#/(.,#+-+/+#0&*%+(/0#,#+-&%/(%.,#+-$&/!$!,#+-!/$0,#+-(/%.%,#+-%/0&#,#+-%+/+$!&*%#%/.+%,#+-&/$,#+-$/#%,#+-!#/.%&,#+-(/+#,#+-%/%$.,#+-%+/+%$&*%/0&#,#+-&/+.,#+-$(/+00,#+-!#/(0&,#+-(#/&,#+-%/.&,#+-%+/+#&*%/%(#,#+-&#/$%0,#+-$(/+0$,#+-!#/0,#+-(
10、#/(&!,#+-%/(!.,#+-%+/+#.&*%(#/.!0,#+-&#/+%#,#+-$%/%.%,#+-!#/+#!,#+-(#/$0,#+-%/#!,#+-%+/+#$0&*%!#/(.&,#+-&#/+(#,#+-$/.#,#+-!./(%,#+-!#/+0$,#+-%#/.&,#+-%+/+#!&*%$#/#0.,#+-&./%.$,#+-&/%(.,#+-!&/+(,#+-!0/!+0,#+-(#/!.!,#+-%+/+#$($)#*%$#/#0.,#+-&%/(&(,#+-$/+.(,#+-!/0#.,#+-(&/0!,#+-($/!$,#+-%+/+#$(&*%&0/&#
11、%,#+-.$/&00,#+-&#/0&,#+-!/0#!,#+-!./.#,#+-(#/%.,#+-%+/+#($*(+/$+!,#+-&#/!$%,#+-$!/#!.,#+-!#/.0,#+-(/+$%,#+-%/&!#,#+-%+/+.(!*$+#/.%#,#+-&0/#!,#+-&(/0(,#+-!0/.&,#+-!/$,#+-%/$,#+-%+/+(!(从所给出的中奖概率的计算公式中，我们不能发现：对所开出的 0 种方案，一旦 1 与 2 的值取定后，则各种方案的各个中奖等级的中奖概率以及中奖的注数是唯一确定的/而低项奖的每注奖金额是给定的，故我们可以以!+3的返回情况计算出低项奖金
12、额占总奖金额的百分数，这样我们就可以估算出各自的总奖金额，同时又可以计算出高项奖的每注奖金额/而问题要求我们根据这两种类型彩票的玩法及设奖方式，建立一个检验这0 种方案合理性的数学模型，并根据实际情况设计一种更好的投注方案/%模型建立与求解彩票的购买主要受获奖动机驱使，据一个调查资料显示，购买过彩票的彩民中(+3是出于以小博大的中奖心理，%+3的人称没有什么原因，中奖与否无所谓，纯属随机行为，#(3人表示是为社会贡献一份爱心，#3的人表示主要是兴趣所至、凑热闹所至/但彩票的发行主要是针对前面两种人群，彩票奖项的中奖概率和奖项的设置与彩票的发行量成正比的；奖额越大，则吸引彩民的力度也就会越大，但
13、是又要考虑发行者的利润空间，故奖额又不能设得太高也不能太低/因此，我们以每注彩票的返回期望值为目标，建立数学模型，然后利用这个模型去估算出 0 种方案的各自期望值，以其期望值与理论返回期望值#的接近程度来反映方案的合理和优劣性/具体建立模型过程如下：456#、以平均返回率为!+3来考虑，由低项奖的奖额是固定的，1 与 2 的值取定以后，我们就可以算出低项奖总金额：低项奖总金额 7 各低项奖中奖注数,每个奖项的固定奖金额/即：8 7 9:,;:7!&:7(9:;:，（倘若其中的某一项不设奖，则 9:7+）456、由低项奖金额占总奖金额的百分比计算出奖金总额：奖金总额 7 低项奖金额*低项奖所占的
14、比例，即!广西民族学院学报（自然科学版）+年#月数学专辑万方数据!#!$%&()*、高项奖每注奖金额!高项奖金额+高项奖中奖注数!（当期销售,总奖金比例）低项奖金额,单项奖比例+高项中奖注数，也就是-.!*.!/（01 2）3.).4.%&()$、以投注者返回的期望值 5 为目标建立模型，倘若 5 与理论期望值/的接近程度来评价各个方案的合理性%则我们建立的数学模型如下：5!*.!/（01 2）3.).4.6!#!$&#)#进一步化简得：5!/1 77!*.!/（!#!$&#)#）3.6!#!$&#)#符号说明：7：低项奖的比例4.：各高项奖中奖注数8#：各低项奖中奖注数3#：各高项奖的比例)
15、#：各项奖中奖概率&#：各低项奖固定金额利用上面建立的模型对给定的 9:种方案进行检验，便可以得出各种方案的返回期望值，如下表四：表四：方案返回值方案/9*$;期望值%9%$*%/$/%*9/%*/%;:/%/方案/9/*/$/;/期望值/%9/%*/%*/%*%:$/%:;=$%:9%:9:%:$%:9方案9/999*9$9;9$/%/:%:=/%=*%:%:%:;*=/%9;=/%$通过对上表的结果分析，我们会有这样的结论；/?对”传统型”的彩票，它的返回期望值与理论上的返回期望值/相差甚远%但是由于它的一等奖的奖金就是保底金额 万元，所以还是很受彩民的青睐的%另外，它采用的是”/选*之多
16、%由于要兼顾到彩民与发行者的心理平衡，也就不能一味地追求高返回%所以，平均中奖率与一等奖占的比例是直接吸引彩民的重要因素%通过我们的模型进行检验，这 9:种方案中最好的一种是：第/种（”*/选”），它的具体情况如下表五：表五：合理方案等项一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖五等奖六等奖七等奖方案/;9;9/*/选”只是这 9:种方案中就我们所建立的模型来说是最好的一种，这是对彩民来说是具有很大的吸引力%一方面，他的平均中奖率比较高，也就是它的返回值比较好%另一方面，它的一等奖比例处于中上水平，所以!数学专辑#陈仕兵，等+$彩票决策的数学模型万方数据能吸引大量的人群加入彩民行列，这样对于彩票管理
17、部门来说，也是很另人满意的，彩民多则购买量也多，收入也就自然好!但是也许还有其它更好的方案，但也可能就是这种!为了找出这一组最优解，我们还是以原来的返回期望值为目标的基础上进行优化，找出这一组最优解!我们设计的具体优化算法如下：（）搜索低项奖金额的所有可能性：通过七等奖奖金额的出现可能值#，$，%，#这四种可能为初值，用给定的倍数组#，$，&，%逐步向四等奖搜索!这样就可以搜索出低项奖金额所有可能值!（$）搜索高项奖金额单项比例的可能性：根据$(种方案中各单项比例可能为基础，选取)*+#,，+%,，-#,，-%,，.#,；)$*#,，%,，$#,，$%,，&#,；)&*#,，%,，$#,，$%
18、,，&#,数组，在满足条件：)/)$/)&*下，筛选不合理的比例!可以得出%种可能性比例组合!（&）关于”0 选 1”的处理：同样地根据$(种方案中 0 与 1 的可能，0*$(，&#，&，&$，&，&，&%，&+，&-；1*%，+，-，.1 的选取是根据通常的选法给出，最终有#种可能组合情况，于是取定 0，1 后就可以求每注的平均中奖率!（）把搜索出来的低项奖金额的可能值与高项奖的单项可能比例及#种 0、1 的组合来进行搭配计算，计算出每一种可能性组合的返回期望值，再进行优劣比较，得到其中的最优的一组解，就做我们所给出的”更好”方案!以上的算法通过编写 2 程序（程序附后），利用计算机实现!
19、通过搜索计算得到的结果为：&+选-的方案!具体如下表六：表六：最优方案（&+选-）等项一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖五等奖六等奖七等奖方案-#,#,$#,%#%#%模型评价与推广我们所建立的模型，主要是针对返回率为%#,来寻找最优的组合方案!搜索出来的方案，无论是对于彩民还是彩票的管理部门来说，都是有很高的参考价值!但是由于购买彩票对于彩民来说有很大的主观因素，再加上彩票管理部门的心理不同，这样就会造成返回期望值与现实中的存在偏差!因此我们可以通过彩民返回期望值与彩票管理部门的收益之间的关系，即返回期望高，收益就会相对减少!对我们原来的模型进行推广，我们可以就彩民的不同心理状况来建立模型
20、，一般分为：风险爱好者、风险回避者、风险中立者!对风险爱好者，都是以小博大的，故应考虑用一等奖的奖额来吸引彩民；而对风险回避者，则要求平均中奖率大，才会有吸引力；对风险中立者，他们对中奖感兴趣，至于中大奖或低奖，他们的愿望并不是很强烈!故可考虑一般的回报即可!模型 3：确定回报率为!下，收益 4 最大，即：35)46!78!9!,模型 3$：确定相对收益率,下，使:（;）最大，即：35):（;）6!74 3,模型 3&：确定投注者对返回期望值收益的相对偏好参数#=，求：35)6*#4（4）46!7#（下转第(+页）!广西民族学院学报（自然科学版）$#$年$月数学专辑万方数据是一门艺术!课件制作
21、中创新主要体现在如下几个方面!课件的制作是制作教师对已有教材和原有教案重新审视和检讨的过程，一个全新的教案将可能由此诞生!课件的制作是教师对自身教学经验的再提炼过程，原有的教学经验将以新的方式体现在课件中!#课件的制作是教师教学积累的重新升华过程，教师丰富的教学积累是制作一个优秀课件基础!$课件的制作是制作教师不断模拟课堂教学的过程，而新的制作方案将不断在模拟中产生!$课件的制作是教师心血凝结的过程!看似简单的一个学时的课件，其制作却往往需要教师投入数倍学时甚至更多的时间和精力!一个课件从制作初期到制作基本完成，必然凝结着制作教师大量的心血和汗水!%课件的制作通常是一个集思广益、不断吸收其它教
22、师建议、经验从而迈上新台阶的过程!结束语设备是多媒体教学的硬投入，课件制作是多媒体教学的软投入!两者相比而言，软投入更需要注重持续性!课件制作的投入当然需要广大教师的主动性和积极参与!但若想鼓励教师对辅教型课件制作的持续投入，各个学校必须有相关政策的支持和保证!多媒体教学并非无所不能，对此我们应该保持清醒头脑!如何利用多媒体教学来优化课堂教学是一个长期而细致的课题，许多问题还有待于我们进一步的探索与实践!责任编辑黄祖宾责任校对苏琴（上接第#页）提供彩民的参考风采$%选&，即将发行，众多彩民翘首以待!彩票管理部门筹划已久的开奖方案$%选&将于下周一隆重推出!这种玩法充分考虑彩民的利益和我国福利事
23、业的发展所确定的一种开奖方案，目前已经引起了彩民大军的关注!一种彩票对彩民的吸引无非是中奖机会的大小，回报率的高低以及一等奖的金额大小!对于$%选&首先从回报率来看，经过多方研究，其回报率达到了!(，非常接近)，相当于*元一注的彩票能获得!(元的回报，这种回报率很适合重在参与又热心社会福利事业的广大人群!同时，由于它的一等奖占高项奖奖金总额的&)，因此对于喜欢投资彩票的人群来说也是一个不错的选择!并且$%选&的奖项分为七项，其中四、五、六、七等为固定奖金的低项奖，并且最低的七等奖也有 元奖金!随着彩市的成熟和完善，相信风采$%选&能创造骄人的业绩!参考文献+胡运权,运筹学教程-,北京：清华大学
24、出版社，*+,*钱能,./程序设计教程,北京：清华大学出版社，*,$胡炳生,彩票中的概率统计问题0,中学数学教学，*+，（1）!1 姚云飞!邱国新,摸彩决策的数学模型-,数学的实践与认识，*+，（$+：*）,郁佳敏，王浣尘,彩票的效用分析与定价,系统工程理论方法应用，+：*（*!%）!责任编辑苏琴责任校对黄祖宾!广西民族学院学报（自然科学版）*年+*!月数学专辑万方数据彩票决策的数学模型彩票决策的数学模型作者：陈仕兵，罗瑞炎，莫铿作者单位：广西民族学院,数学与计算机科学系,广西,南宁,530006刊名：广西民族学院学报(自然科学版)英文刊名：JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY FOR NATIONALITIES(NATURAL SCIENCE EDITION QUARTERLY)年，卷(期)：2002(z1)参考文献(5条)参考文献(5条)1.胡运权 运筹学教程 20012.钱能 C+程序设计教程 20003.胡炳生 彩票中的概率统计问题期刊论文-中学数学教学 2001(04)4.姚云飞.邱国新 摸彩决策的数学模型期刊论文-数学的实践与认识 2001(02)5.郁佳敏.王浣尘 彩票的效用分析与定价期刊论文-系统工程理论方法应用 2002(02)本文链接：http:/