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1、1三角函数三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1 1任意角任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角按终边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角x第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk终边在轴上的角的集合为x180,kk
2、终边在轴上的角的集合为y18090,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90,kk(2)终边与角 相同的角可写成 k360(kZ)终边与角相同的角的集合为360,kk(3)弧度制1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角弧度与角度的换算：3602 弧度；180 弧度半径为 的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是rllr若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，为弧度制rlCSlr，2Crl21122Slrr 2 2任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离为，那么角 的正弦、余弦、22r
3、rxy正切分别是：sin ，cos ，tan （三角函数（三角函数值值在各象限的符号在各象限的符号规规律概括律概括为为：一全正、二正弦、三正切、：一全正、二正弦、三正切、yrxryx四余弦）四余弦）3 3特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值2角度函数030456090120135150180270360角 a 的弧度0/6/4/3/22/33/45/63/22sina01/22/23/213/22/21/20-10cosa13/22/21/20-1/2-2/2-3/2-101tana03/313-3-1-3/300二、同角三角函数的基本关系与诱导公式二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.A.
4、基础梳理1 1同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：tan.（3）倒数关系：sin cos 1cottan2 2诱导公式诱导公式公式一：sin(2k)sin，cos(2k)cos_，其中 kZ.tan)2tan(k公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan.公式三：sin()sin，cos()cos_，tantan 公式四：sin()sin_，cos()cos_，.tantan 公式五：sincos_，cossin.(2)(2)公式六：sincos_，c
5、ossin_.(2)(2)诱导公式可概括为k 的各三角函数值的化简公式口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指的奇22数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把 看成锐角时，根据k 在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后2作为结果符号B.B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan 化成正、余弦sin cos(2)和积转换法：利用(sin cos)212sin c
6、os 的关系进行变形、转化（、三个式子知一可求二）cossincossincossin3(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2=sintan24（4）齐次式化切法：已知，则ktannmkbaknmbanmbatantancossincossin三、三角函数的图像与性质三、三角函数的图像与性质学习目标：学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。xysinxycos3 会判断三角函数奇偶性4 会求三角函数单调区间5 知道三角函数图像的对称中心，对称轴6 知道，的简单性质sin()yAxcos()yAxtan()yAx（一）（一）知识
7、要点梳理知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别sinyxcosyx为 0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。3,2221-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx2 2、正弦函数、正弦函数、余弦函数、余弦函数的性质的性质：sin()yx xRcos()yx xR（1 1）定义域）定义域：都是 R。（2 2）值域）值域：都是，1,1对，当时，取最
8、大值 1；当时，取最小值1；sinyx22xkkZy322xkkZy对，当时，取最大值 1，当时，取最小值1。cosyx2xkkZy2xkkZy（3 3）周期性周期性：，的最小正周期都是 2；sinyxcosyx（4 4）奇偶性与对称性奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；sin()yx xR,0kkZ2xkkZ余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线；（正(余)弦cos()yx xR,02kkZxkkZ型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。xx（5 5）单调性单调性：4上单调递增，在单调递减；sin2,222yxkkkZ在32,
9、222kkkZ在上单调递增,在上单调递减。特别提醒特别提醒，别忘了！cosyx2,2kkkZ2,2kkkZkZ3 3、正切函数、正切函数的图象和性质的图象和性质：tanyx（1）定义域：。|,2x xkkZ（2）值域是 R，无最大值也无最小值；（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一,02kkZ类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。xx（4）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性要注意在整个定义域上不具有单调性。,22kkkZ4、正弦、余弦、正切函数的
10、图像和性质、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当时，22xkk；当 max1y22xk时，kmin1y 当时，2xkk；当max1y2xk时，kmin1y 既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk上是增函数；在k32,222kk上是减函数k在上是2,2kkk增函数；在2,2kk上是减函数k在,22kk上是增函数k函数性质5对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴5 5、研究函数、研究函数性质的方法：类比于研究性质的方法：类比于研
11、究的性质的性质，只需将中的看sin()yAxsinyxsin()yAxx成中的。sinyxx函数函数 yAsin（x）（A0，0）的性质。）的性质。（1）定义域：R （2）值域：-A,A （3）周期性：2|T和的最小正周期都是。()sin()f xAx()cos()f xAx2|T的最小正周期都是。()tan()f xAx|T（4）单调性：函数 yAsin（x）（A0，0）的单调增区间可由 2kx2k，kz 解得；22单调减区间可由 2kx2k，kz 解得。232在求求的单调区间时，要特别注意的单调区间时，要特别注意 A A 和和的符号，通过诱导公式先将的符号，通过诱导公式先将化正。化正。si
12、n()yAx如如函数的递减区间是_23ysin(x)（答：解析：解析：y=，所以求，所以求 y 的递减区间即是求的递减区间即是求的递增区间，由的递增区间，由得得 ，所以 y 的递减区间是四、函数四、函数的图像和三角函数模型的简单应用的图像和三角函数模型的简单应用sinyAx 一、知识要点1 1、几个物理量几个物理量：振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：A2 12fx2 2、函数函数表达式的确定表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.sin()yAx函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则sinyx A1xxminy2xxmaxy，maxmin12yyA max
13、min12yy 21122xxxx6y=sinxy=sinxXXXxxx 横坐标伸（缩）倍1左（右）平移纵坐标伸（缩）A 倍sinyxsinyxxAysiny=sinx左（右）平移 纵坐标伸（缩）A倍 横坐标伸（缩）倍1左（右）平移xAysinxAysin 横坐标伸（缩）倍 横坐标伸（缩）倍1sinyAx 纵坐标伸（缩）A倍横坐标伸(缩)倍1xysinxAysinxysinsinyAx 纵坐标伸（缩）A倍左（右）平移左（右）平移 纵坐标伸（缩）A倍3 3、函数、函数图象的画法图象的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，sin()yAxXxX3,222x计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象
14、变换法：这是作函数简图常用方法。4 4、函数 ysinx 的图象经变换可得到的图象sinyAx 05 5、函数、函数的图象与的图象与图象间的关系图象间的关系：函数的图象向左（0）或向右sin()yAxbsinyxsinyx（0）平移个单位得的图象；函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，|sinyxsinyx1得到函数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数sinyxsinyx的图象；函数图象向上（）或向下（）平移个单位，得到sin()yAxsin()yAx0b 0b|b的图象。sinyAxb要特别注意特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，sinyxs
15、inyx|如如要得到函数 ysin(2x)的图象，只需将函数 ysin2x 的图象()3(A)向左平移 个单位(B)向右平移 个单位33(C)向左平移 个单位(D)向右平移 个单位666 6、函数 yAcos（x）和 y=Atan（x）的性质和图象的变换与 yAsin（x）类似。三角恒等变换三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：；coscoscossinsincoscoscossinsin；sinsincoscossinsinsincoscossin （）；tantantan1 tantantantantan1 tantan7 （）tantantan1tantantantantan
16、1tantan如 ；（答案：）oooo40tan20tan340tan20tan32、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin1如 cos2cos2coscos的值等于 ；（答案：）5121251212542222cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式221 cos22cos,1 cos22sin降幂公式，21 cos2cos221 cos2sin2 22tantan21tan3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：，其中22sincossinababtanba4、三角变换时运算化简的过程中运用较多
17、的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法常用的方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；242224；问：；1545306045ooooo12sin12cos；等等.)()4(24)4()4()()(2如1 .（答案：）21tan,tan,tan5444则3222若 cos()，cos()，且，2，则 cos2_，cos2_.4545232（答案：，1）7253已知 则 ；（答案：sincos21
18、,tan,1 cos23 tan2）18（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一）。如 ；)10tan31(50sinoo132cos10sin102sin 301022cos103sin102sin40 cos40sin80=sin50sin50sin501cos10cos10cos10cos10cos10cos10oooooooooooooooooo解析：原式（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：8 221sincossin90tan45
19、oo（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。有时需要升幂，常用升幂公式有：；.如对无理式常用升幂化为有理式.cos1（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：；coscossinsin=_sincoscossin=_；_tantan_tantan1；_tantan_tantan1；sincos_2sincos22_2222cossin_ 2cos1_ 2sin1_ ；cos1cos1 ；tan22tan1 ；（其中 ；）sincosabtan（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。