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1、2 0 1 4 年3 月命题感悟在运动中分析，在变化中求解2 0 1 3 年中考数学动点型压轴题归类例析浙江省嵊州市博济中学张肖在初中数学中，与“运动、变化”有关的问题一般都是教学中的难点，但这类问题对培养学生的思维品质和各种数学能力都有很大的促进作用新课程实施以来，降低了平面几何论证的要求，以纯几何论证为背景的中考压轴题很少见了，而以动点几何为背景的压轴题，是近年来中考压轴题中的一种重要题型这类试题能将代数与几何的众多知识有效整合，能有效考查学生分析问题和解决问题的能力，较好渗透了分类讨论、数形结合、化归等数学思想这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，
2、要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件下为定值时，进行相关的几何计算和综合解答解答这类题目，一般要根据点的运动、图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，突出了数学本质本文以2 0 1 3 年全国各地的中考动点型压轴题为例进行分析，供九年级师生复习参考之用一、动点使平面几何题具有新意和活力通过动点的设置，使静止的几何图形动起来，这样不仅使试题具有新意，而且更具有活力，在考查学生基础知识的同时，增加了思维量和开放性这类试题是对传统平面几何的继承和发展，不仅拓宽了学生的思维空间，而且能有效地把方程、坐标、函数等代数知识整合在一起，使几何试题更具有综合性，更有效考查学生的数学知识和数学能力
3、例1(2 0 1 3 年杭州市)如图1，已知正方形A 曰c D的边长为4，对称中心为点J P，点助曰C 边上一个动点，点E 在A 日边上，且满足条件E P 阽4 5 0，图中两块阴影部分图形关于直线A C 成轴对称，设它们的面积之和为s(1)求证：厶4 咫=c 肥罔l(2)设四边形c 肘阿韵面积为s z，c 陶，y=妥求y 关于z 的函数解析式和自变量戈的取值范围，并求出y 的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点尸成中心对称时，求y 的值例2(2 0 1 3 年重庆市)如图2，在平行四边形A B c D中，A 曰=1 2，B C=6，A DJ-日D A以A D 为斜边在平行四边形曰图2CA B
4、 C D 的内部作R t A E D，E A D=3 0。，A E D=9 0o(1)求A 肋的周长(2)若A 肋以每秒2 个长度单位的速度沿D C 向右平行移动，得到A。E。D o，当4。D o 与曰c 重合时停止移动设移动时间为秒，A 拉o D。与曰D C 重叠部分的面积为J s，请直接写出S 与f 之间的函数关系式，并写出f 的取值范围(3)如图3，在(2)中，当A E D 停止移动后得初中版中?擞?l万方数据命题感悟2 叭4 年3 月(1)请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；(2)如图4，在R t A 日C 中，心咿，t a 甜=孚求证AA B C 是“好玩三角形”(3)如图5，已知菱
5、形A B C D的边长为，厶4 曰C=率，点P、p 从点4 同时出发，以相同速度分别沿折线A 曰B C 和A D D c 向终点廿C 运动，记P 所经过的路程为s 当卢=4 5。时，若A 即是“好玩三角形”，试求旦的值图4AC图5在P、Q 的运动过程中，有且只有一个A 尸p 能成为“好玩三角形”，请直接写出t a 邮的取值范围(4)依据(3)中的条件，提出一个关于“在P、p 的运动过程中，t a 印的取值范围与A 叼是好玩三角形的个数关系”的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)评析：本题以动点和几何图形为背景，通过新概念的定义增加了本试题的新意，本例(3)中以双动点为问题形式，构造“好玩
6、三角形”在运动变化的过程中对“好玩三角形”进行分类求解特别是选做题中的问题(4)更具有挑战性，开放性和综合性更强，难度更大分类讨论在数学中应用比较广泛它对考查学生全面分析问题考虑问题可能产生的多种情况的能力有独特的作用例4(2 0 1 3 年长春市)如图6，在酬占c D 中，A B=1 3，B C=5 0，B C 边上的高为1 2 点P 从点B 出发，沿B 卅一B 车j。D _ A 运动，沿B 卅运动时的速度为每秒1 3 个单位长度，沿A D _ A 运动时的速度为每秒8 个单位长度点p 从点B 出发，沿曰C 方向运动，速度为每秒5 个单位长度P、p 两点同时出发，当点Q 到达点C 时，P、Q
7、 两点同时停止运动设点P 自勺运动时间为(秒)连接加(1)当点船A D-A 运动时，求A P 的长(用含t 的代数式表示)(2)连接A p，在点船B-A D 运动过程中，当点P 与点B、点A 不重合时，记A 尸p 的面积为s 求s 与f 之间的函数关系式(3)过点Q 作Q R A 曰，门交AD 于点尺，连接曰尺，如厂刀广_ 广图7 在点P 沿B-A D 运动，。么过程中，求线段P Q 扫过的V网7。图形(阴影部分)被线段曩暖十。?敷7 初中版日尺分成面积相等的两部分时f 的值(4)设点C、D 关于直线加的对称点分别为C、D，直接写出C7 D 曰c 时f 的值评析：本题是动点与平行四边形相结合的
8、试题通过设置两个动点形成动点三角形和动直线与方程、函数等代数知识有机结合本例(3)中随着线段即的移动，它扫过的图形(阴影部分)的面积也随之改变关键是要对不同情况进行分类求解解答此类题目要求学生仔细审题，根据条件，分类考虑不同情况，通过观察、比较，分析变化中的知识之间的内在联系这种以动点为背景的中考压轴题具有较强的探索性和综合性对学生的能力要求较高二、动点使解析几何题具有综合性和开放性以平面直角坐标系为背景，以动点为元素，构造动态型几何图形，结合点的坐标、函数图像的性质，来设置动态问题解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决此类问题较多地关注学生对函数性质的理解，用动态的观点去看待
9、一般函数和图形结合问题，具有较强的综合性例5(2 0 1 3 年湖州市)如图8，在刨D B c 中，s i n A D B：导，反比例函数y：生(七 o，戈 o)的图像经过点A，与曰C 交于点F图8(1)若0 A=1 0，求反比例函数的解析式(2)若点助B C 的中点，且|s 纠萨1 2，求似的长和点C的坐标(3)在(2)的条件下，过点F 作E F?o B。交o A 亍点E(如图9)，点助直线E 肚的一个动点，连接朋、P D 是否存在这样的点P，使以尸、0、A为顶点的三角形是直角三角图9形?若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由例6(2 0 1 3 年海南省)如图1 0，二次
10、函数的图像与x 轴相交于点A(一3，0)、B(一1，0)，与y 轴相交于点C(O，3)，点P是该图像上的动点；一次函数，=h 一4 后(矗0)的图像过点P 交z 轴于点p J J P川7 c澍慈。A 白DMQ、；(1)求该二次函数的解析式图1 0万方数据2 0 1 4 年3 月(2)当点P 的坐标为(一4，m)时，求证：O P c=A Q C(3)点肘、，v 分别在线段4Q、c Q 上，点M 以每秒3 个单位长度的速度从点A 向点9 运动，同时，点，v 以每秒1 个单位长度的速度从点C 向点p 运动，当点肘、中有一点到达p 点时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒连接A，当A M，v 的面积
11、最大时，求f 的值；直线P p 能否垂直平分线段肘?若能，请求出此时点尸白勺坐标；若不能，请说明你的理由评析：上述两题都以函数图像为背景，以动点为问题的研究对象，把函数、方程、直线、三角形、平行四边形、相似三角形、锐角三角形等众多知识整合在一起例5 通过点的运动需要对直角三角形的不同情况进行分类讨论例6(3)中，需要注意在自变量取值区间上求最大值而不能机械地套用公式解这类题要求学生必须牢固掌握各个领域的数学知识，要求学生拥有较强的数形结合思想去探索解题的思路例7(2 0 1 3 年温州市)如图1 1，在平面直角坐标系中，直线A 曰与z轴、y 轴分别交于点A(6，0)，B(0，8)点G 的坐标为
12、(0，m)，过点C 作C E 上A B 于点E 点D 为z 轴上一动点，连接C D、D E，坟C D、D E 为边作口C D E F(1)当O m 0)问：是否存在某一时刻，将加B 绕命题感悟某点旋转1 8 0。后，三个对应顶点恰好都落在抛物线上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由评析：上述两题以点在直线上运动为背景，以动点为问题的研究对象例7 通过点D 在直线上的运动变化，使得平行四边形C D E F 的形状发生变化，从而进行分类讨论解决例8 是一个双动点问题，通过两个动点尸、p 分别在两条直线上运动对直角三角形的存在情况，需分类求解这类试题是集代数、几何于一体的综合题，构思新颖开放性较
13、强。涉及特殊三角形的性质、矩形的性质与判定、三角形全等的判定、三角形相似的判定与性质、勾股定理、平行线、分类讨论思想、方程思想、化归思想例9(2 0 1 3 年金华、丽水市)如图1 3，点4 是戈轴正半轴上的动点，点B 的坐标为(0，4)，M是线段AB 的中点将点肘绕点A顺时针方向旋转9 0。得到点c，过图1 3点c 作祷由的垂线，垂足为F，过点B 作y 轴的垂线与直线C 肼耳交于点E，点D 是点A 关于直线c F 的对称点连接A c、B C、c D、设点A 的横坐标为f(1)当-2 时，求C 朋勺长(2)当为何值时，点c 落在线段日D 上；设B c E 的面积为s，求s 与f 之间的函数关系
14、式(3)如图1 4，当点C与点E 重合时，将C D F沿戈轴左右平移得到C D F，再将以A、B、C、D 为顶点的四边形图1 4沿C 尸剪开，得到两个图形用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形请直接写出所有符合上述条件的点C 的坐标评析：本题是动点和平移、旋转相结合的综合性压轴题，试题具有较强的综合性和灵活性，如(3)中要动手操作拼图并对动态中的拼图进行分类讨论本题所涉及的相似三角形、一元二次方程等众多知识，有一定的难度这类试题能有效考查学生运用已学知识分析问题和解决问题的能力随着新课程的实施和中考的改革，中考试题更符合新课程标准的基本理念，有利于学生能力的培养和终身发展动点问题是近年来中考试题中的一个热点，动点问题通过几年来的发展，现已形成一类形式多样，层次分明，立意新颖的新题型这类试题能有效地把代数中的方程、坐标和函数有机地结合，使几何问题更具新意，更能有效地考查学生的数学知识和数学能力，有效区分不同考生的数学学习水平，为高一级学校的选拔创造一定的条件因田初中版十。?毒I：7 l万方数据