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1、第第 四四 章章第四章第四章 机械振动机械振动4.1 简谐振动简谐振动4.2 谐振动的能量谐振动的能量4.3 谐振动的旋转矢量投影表示法谐振动的旋转矢量投影表示法4.4 谐振动的合成谐振动的合成4.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动：物体在一定位置附近作来回往复的运动什么是机械振动？什么是机械振动？机械振动最显著的机械振动最显著的两个特点两个特点：(1)(1)有平衡点有平衡点；(2)(2)具有重复性，是周期性振动。具有重复性，是周期性振动。特点特点：具有重复性，即周期性。具有重复性，即周期性。振动：振动：指任何一个物理量（指任何
2、一个物理量（）在某）在某一确定值附近的反复变化过程。一确定值附近的反复变化过程。例如例如:一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等原子的振动等.机械振动的分类机械振动的分类按产生振动原因分：按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。自由、受迫、自激、参变振动。按振动规律分：按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。简谐、非简谐、随机振动。按自由度分：按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。单自由度系统、多自由度系统振动。按振动位移分：按振动位移分：角振动、线振动。角振动、线振动。按系统参数特征分：按系统参数特征分：线性、非线性振动。线
3、性、非线性振动。简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。什么是简谐振动？什么是简谐振动？4 4-1-1 简谐振动简谐振动物体所受回复力的大小与位移成正比，而方向相反的物体所受回复力的大小与位移成正比，而方向相反的运动称运动称“简谐振动简谐振动”。谐振子：做谐振子：做“简谐振动简谐振动”的物体称为谐振子。的物体称为谐振子。谐振系统：谐振子谐振系统：谐振子+施力物体。施力物体。平衡位置平衡位置xo弹簧振子弹簧振子一、简谐振动的特征方程一、简谐振动的特征方程以弹簧振子为例！
4、以弹簧振子为例！1.1.1.1.动力学特征方程动力学特征方程动力学特征方程动力学特征方程注意：不能仅局限于虎克定律上。注意：不能仅局限于虎克定律上。如钟摆：如钟摆：mg合外力合外力简谐振动运动学特征方程：简谐振动运动学特征方程：由牛顿第二定律由牛顿第二定律:一、简谐振动的特征方程一、简谐振动的特征方程平衡位置平衡位置xo2.2.2.2.运动学特征方程运动学特征方程运动学特征方程运动学特征方程3.3.3.3.简谐振动的运动方程（振动方程）简谐振动的运动方程（振动方程）简谐振动的运动方程（振动方程）简谐振动的运动方程（振动方程）A、为积分常数，由初始条件确定为积分常数，由初始条件确定 一、简谐振动
5、的特征方程一、简谐振动的特征方程2.2.2.2.运动学特征方程运动学特征方程运动学特征方程运动学特征方程1.1.1.1.动力学特征方程动力学特征方程动力学特征方程动力学特征方程速度、加速度与时速度、加速度与时间的函数关系为间的函数关系为:二、简谐振动的速度和加速度二、简谐振动的速度和加速度A、为积分常数，由初始条件确定为积分常数，由初始条件确定 图图图图图图取取三、描述简谐振动的物理量三、描述简谐振动的物理量振幅、频率和周期、相位和初相振幅、频率和周期、相位和初相 (1)(1)振幅振幅A：离开平衡位置的最大位移的绝对值。离开平衡位置的最大位移的绝对值。(2)(2)频率和周期频率和周期 周期周期
6、T T ：完成一次全振动所需的时间完成一次全振动所需的时间 频率频率 ：单位时间内全振动的次数。：单位时间内全振动的次数。角频率角频率 ：注意注意三、描述简谐振动的物理量三、描述简谐振动的物理量(3)(3)相位和初相位相位和初相位 存在一一对应的关系存在一一对应的关系;初相位初相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态.相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态；相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同.（周期性）（周期性）图图(3)(3)相位和初相位相位和初相位相位相位(t+)：决定谐振子运动状态决定谐振子运动状态在一次全振动中，
7、谐振子有不同的运动状态，分在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态，分别与别与02 内的一个相位值对应。内的一个相位值对应。初相位初相位 ：t=0时的相位。时的相位。三、描述简谐振动的物理量三、描述简谐振动的物理量(1)(1)振幅振幅A A：离开平衡位置的最大位移的绝对值。离开平衡位置的最大位移的绝对值。(2)(2)频率和周期频率和周期 图图四、决定四、决定 的因素的因素1.1.决定于振动系统本身，与振动方式无关决定于振动系统本身，与振动方式无关2.决定于初始条件决定于初始条件（t=0）：x0，v0a.a.公式法公式法b.b.分析法分析法例例1:1:某物体作谐振动，振动方程为：某物体作谐振动，振
8、动方程为：则该物体振动的振幅、圆频率、频率、周期、则该物体振动的振幅、圆频率、频率、周期、初相以及初始时刻的位移、速度、加速度各是初相以及初始时刻的位移、速度、加速度各是多少？多少？例例2:一个轻弹簧竖直悬挂，下端挂一质量一个轻弹簧竖直悬挂，下端挂一质量m的物体，的物体，平衡时可使弹簧伸长平衡时可使弹簧伸长b。今用手托起物体使弹。今用手托起物体使弹簧处于原长，由静止释放。试证物体作简谐运簧处于原长，由静止释放。试证物体作简谐运动，并写出运动表达式。动，并写出运动表达式。xob例例3:3:已已知知某某质质点点作作简简谐谐运运动动，振振动动曲曲线线如如图图，试试根根据据图图中中数据写出振动表达式。
9、数据写出振动表达式。由图可见，由图可见，A=2m当当t=1s时，有时，有解：解：4-2 简谐振动的能量简谐振动的能量 简谐振动的动能简谐振动的动能 简谐振动的势能简谐振动的势能 简谐振动的总能量简谐振动的总能量一、简谐振动的一、简谐振动的(瞬时瞬时)能量能量q 弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。不随时间变化。q 动能和势能都随时间作周期性变化，其周期是动能和势能都随时间作周期性变化，其周期是简谐振动简谐振动x(t)的周期的的周期的1/2能量特征能量特征 简谐振动的动能简谐振动的动能 简谐振动的势能简谐振动的势能 简谐振动的总能量简谐振动的
10、总能量 平均平均动能动能 平均平均势能势能二、一个周期内的平均能量二、一个周期内的平均能量 简谐振动的动能简谐振动的动能 简谐振动的势能简谐振动的势能例例4 4：一物体沿一物体沿x x轴作简谐振动轴作简谐振动,振幅为振幅为周期周期 ,位移为位移为6cm6cm且向且向x x正方向运动，正方向运动，求：求：1)1)初位相及振动方程；初位相及振动方程；2)2)时，物体的位置、速度和加速度；时，物体的位置、速度和加速度；3)3)处，向处，向x x轴负方向运动时，物体的轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的最短时间；所需的最短时间；4
11、-3 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 当一矢量当一矢量A绕其一端点以角速度绕其一端点以角速度 旋转时，另一旋转时，另一端点在端点在x轴或轴或y 轴上的投影点上将作简谐振动。轴上的投影点上将作简谐振动。设设t=0时，时，A与与x轴夹角为轴夹角为 ，t 时刻，时刻，A转过转过 t角，角，则矢量端点在则矢量端点在x轴上投影轴上投影点坐标为点坐标为x=Asin（t+）x演示程序：旋转矢量表示法演示程序：旋转矢量表示法 例例题题4 4 一水平一水平弹弹簧振子，振幅簧振子，振幅A=2.0=2.0 1010 2 2m m，周期周期T=0.5s。当当t=0时，（时，（1 1）质点过）质点过x
12、=1.0=1.0 1010 2 2m m处，向处，向负方向运动；（负方向运动；（2 2）质点过）质点过x=1.0102m处，向正处，向正方向运动。分别写出两种情况谐振动的运动方程。方向运动。分别写出两种情况谐振动的运动方程。解解 （1 1）根据题意，）根据题意，t t=0=0时，时，x0=A/2，且且v00，可得旋转矢可得旋转矢量的初始位置（如图）。由题量的初始位置（如图）。由题图可得谐振动的初相图可得谐振动的初相=2/T=4 radS1，A=2.0102m谐振动运动方程为谐振动运动方程为（2 2）xA(1)o(2)几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动 单摆单摆在角位移很小的时候，单摆的振动是
13、简在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率、振动的周期分别为：谐振动。角频率、振动的周期分别为：结论当当 时时l演示程序：单摆演示程序：单摆 T T 复摆复摆任意形状的刚体悬挂后绕通过任意形状的刚体悬挂后绕通过O O点点的一固定轴作小角度摆动的一固定轴作小角度摆动 J0为刚体绕为刚体绕O O 轴的转动惯量，轴的转动惯量，h为为刚体重心到刚体重心到O O点的距离点的距离 例如：一长度为例如：一长度为l匀质细长杆悬挂其一端作小角度匀质细长杆悬挂其一端作小角度摆动，摆动，h=l/2 无阻尼无阻尼LC电磁振荡电磁振荡 由电感由电感L和电容和电容C组成的无阻尼电磁振荡电路中，组成的无阻尼电磁振荡
14、电路中，C中电场和中电场和L中磁场相互转化，电路中电流中磁场相互转化，电路中电流i和电和电容极板上电量容极板上电量q将作周期性变化，任一时刻，将作周期性变化，任一时刻，L L上上电压均等于电压均等于C两端电压，两端电压，例题例题5 5 如图所示，一匀质细棒如图所示，一匀质细棒AB AB 的两端，用长的两端，用长度都为度都为l且不计质量的细线悬挂起来，当棒以微小且不计质量的细线悬挂起来，当棒以微小角度绕中心轴角度绕中心轴OO 扭动时，求证其运动周期为扭动时，求证其运动周期为 ooRlAB证证 设棒长为设棒长为2R，质量为质量为m，设细棒转离平衡设细棒转离平衡位置位置 角时，细线和直线的夹角为角时
15、，细线和直线的夹角为 ，则有，则有l =R。在细棒扭动时，其质心沿轴在细棒扭动时，其质心沿轴oooo 上上下运动。下运动。质心相对于平衡位置的高度质心相对于平衡位置的高度 hc=l(1 cos)质心速度质心速度 杆的平动动能杆的平动动能 系统绕质心的转动动能系统绕质心的转动动能 系统势能系统势能 由于细棒扭动角度很小，由于细棒扭动角度很小，2 2为二级小量，故为二级小量，故E Ekckc可可忽略不计忽略不计 不计阻力时，系统机械能守恒不计阻力时，系统机械能守恒 ooRlAB微小角度振动微小角度振动 系统的振动周期系统的振动周期 对时间对时间t t求导求导 小小 结结1 简谐振动的基本方程简谐振动的基本方程2 简谐振动的特征量简谐振动的特征量3 简谐振动的能量简谐振动的能量4 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 5 常见的简谐振动常见的简谐振动