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1、应力分析与应变分析第1页，共38页，编辑于2022年，星期六1.1 应力与点的应力状态外力(load)与内力(internal force)外力P：施加在变形体 上的外部载荷。内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。第2页，共38页，编辑于2022年，星期六应力（stress）应力S 是内力的集度 内力和应力均为矢量 应力的单位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2 1MPa=106 N/m2应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。第3页，共38页，编辑于2022年，星期六应力可以进行分解
2、Sn n、n（nnormal,法向）某截面（外法线方向为n）上的应力：或者 （求和约定的缩写形式）全应力全应力(stress)正应力正应力(normal sress)剪应力剪应力(shear stress)第4页，共38页，编辑于2022年，星期六一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有 截面上的应力的有无、大小、方向等情况。一点的应力状态的描述：数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2）张量表达：(i,j=x,y,z)（对称张量，9个分量，6个独立分量。）一点的应力状态及应力张量第5页，共38页，编辑于2022年，星期六u 应力分
3、量图示图图1-2 平行于坐标面上应力示意图平行于坐标面上应力示意图 第6页，共38页，编辑于2022年，星期六 应力的分量表示及正负符号的规定 ij xx、xz （便于计算机应用）i应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外 法线方向平行的坐标轴)j应力分量本身作用的方向 当 i=j 时为正应力 i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）当 ij 时为剪应力 i、j同号为正，异号为负 第7页，共38页，编辑于2022年，星期六应力的坐标变换（例题讲解）*实际应用：晶体取向、织构分析等应力莫尔圆*：二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）第8页，共38页，编辑于
4、2022年，星期六1.2 点的应力状态分析1.2.1 1.2.1 主应力及应力张量不变量1.2.2 1.2.2 主剪应力和最大剪应力1.2.3 1.2.3 八面体应力与等效应力第9页，共38页，编辑于2022年，星期六1.2.1 主应力及应力张量不变量 设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力均为零）的存在，可得应力特征方程：第10页，共38页，编辑于2022年，星期六u 应力不变量式中式中第11页，共38页，编辑于2022年，星期六 讨论讨论：1.可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；2.三个主平面是相互正交的；3.三个主应力均为实根，不可能为虚根；4.应力特征方程的解是唯一的；5.
5、对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性；6.应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程 度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。7.应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。第12页，共38页，编辑于2022年，星期六主应力的求解（略，见彭大暑金属塑性加工力学教材）主应力的图示 第13页，共38页，编辑于2022年，星期六1.2.2 主剪应力和最大剪应力主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零）平面上作用的剪应力。主应力空间的110面族。最大剪应力(maximun shear stress)：通常规定：通常规定：则有最大剪应
6、力则有最大剪应力：或者：或者：其中：其中：且有且有：第14页，共38页，编辑于2022年，星期六1.2.3 八面体应力与等效应力 即主应力空间的111等倾面上的应力。这组截面的方向余弦为：正应力 剪应力 总应力 八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有 关。第15页，共38页，编辑于2022年，星期六u 八面体应力的求解思路：因为因为第16页，共38页，编辑于2022年，星期六等效应力讨论：1.等效的实质？是（弹性）应变能等效（相当于）。2.什么与什么等效？复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3.如何等效？等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。4.等效的意义
7、？屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。第17页，共38页，编辑于2022年，星期六1.3 应力张量的分解与几何表示 (i,j=x,y,z)(i,j=x,y,z)其中其中 即平均应力，即平均应力，为柯氏符号。为柯氏符号。即即 第18页，共38页，编辑于2022年，星期六u 讨论讨论：分分解解的的依依据据：静静水水压压力力实实验验证证实实，静静水水压压力力不不会会引引起起变变形形体体形形状状的的改改变变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。为为引引起起形形状状改改变变的的偏偏应应力力张张量量(deviatoric(deviatoric stress
8、stress tensor)tensor)，为为引引起起体积改变的球张量体积改变的球张量(spherical stress tensor)(spherical stress tensor)（静水压力）。（静水压力）。与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：（体现变形体形状改变的程度）（体现变形体形状改变的程度）第19页，共38页，编辑于2022年，星期六1.4 应力平衡微分方程 直角坐标下的应力平衡微分方程*即 （不计体力）物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。第20页，共38页，编辑于2022
9、年，星期六 推导原理：静力平衡条件：静力矩平衡条件：泰勒级数展开：第21页，共38页，编辑于2022年，星期六圆柱坐标下的应力平衡微分方程球坐标下的应力平衡微分方程？第22页，共38页，编辑于2022年，星期六1.5 应变与位移关系方程1.5.1 几何方程1.5.2 变形连续方程第23页，共38页，编辑于2022年，星期六 1.5.1 几何方程 第24页，共38页，编辑于2022年，星期六u 讨论：1.物理意义：表示位移(displacement)与应变(strain)之间的关系；2.位移包含变形体内质点的相对位移 （产生应变）和变形体的刚性位移 （平动和转动）；3.工程剪应变 理论剪应变：第
10、25页，共38页，编辑于2022年，星期六4.应变符号规定：正应变或线应变()：伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（）：夹角减小为正，增大为负；5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。第26页，共38页，编辑于2022年，星期六1.5.2 变形连续方程第27页，共38页，编辑于2022年，星期六讨论：讨论：1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可以确定；3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的
11、应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。第28页，共38页，编辑于2022年，星期六1.6 点的应变状态 指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角的变化情况。可表示为张量形式：应变张量（strain tensor）也可进行与应力张量类似的分析。(i,j=x,y,z)第29页，共38页，编辑于2022年，星期六1.7 应变增量全量应变与增量应变的概念前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程终了时的变形大小，称作全量应变增量应变张量第30页，共38页，编辑于2022年，星期六1.8 应变速度张量 设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量dUi，则
12、应有dUi=Vidt。其中Vi为相应位移速度。代入增量应变张量，有：令 即为应变速率张量第31页，共38页，编辑于2022年，星期六1.9 主应变图与变形程度表示主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主变形图只可能有三种形式第32页，共38页，编辑于2022年，星期六主应力、主应变图示：主应力9种；主应变3种 但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力学图），为什么？第33页，共38页，编辑于2022年，星期六变形程度表示绝对变形量 指工件变形前后主轴方向上尺寸 的变化量相对变形 指绝对变形量与原始尺寸的比值，常称为形变率真实变形量 即变形前后尺寸比值的自然对数第34页，共38页，编辑于2
13、022年，星期六应力应变分析的相似性与差异性相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似 第35页，共38页，编辑于2022年，星期六 差异性：v概念：应力 研究面元ds 上力的集度 应变 研究线元dl 的变化情况v内部关系：应力应力平衡微分方程 应变应变连续（协调）方程 弹性变形：相容方程 塑性变形：体积不变条件 第36页，共38页，编辑于2022年，星期六等效关系：v等效应力弹性变形和塑性变形表达式相同v等效应变弹性变形和塑性变形表达式不相同 对于弹性变形：（泊松比）对于塑性变形：第37页，共38页，编辑于2022年，星期六u 真实应力和真实应变含义：表示某瞬时的应力值表示某瞬时的应力值表示对某瞬时之前的应变的积分表示对某瞬时之前的应变的积分第38页，共38页，编辑于2022年，星期六