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1、应力与应变间的关系第1页，共30页，编辑于2022年，星期六二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系或或G G 为剪切弹性模量，单位为为剪切弹性模量，单位为N/mN/m2 2.第2页，共30页，编辑于2022年，星期六（1）符号规定）符号规定xyzo上面右侧面前面 x y z x y y z z x x y z x y y z z x 1 1、各向同性材料的广义胡克定律、各向同性材料的广义胡克定律(a)(a)三个正应力分量三个正应力分量三个正应力分量三个正应力分量：拉应力为正拉应力为正 压应力为负。压应力为负。三、复杂应力状态下应力与应变的关系三、复杂应力状态下
2、应力与应变的关系第3页，共30页，编辑于2022年，星期六xyzo上面右侧面前面(b)(b)三个剪应力分量三个剪应力分量三个剪应力分量三个剪应力分量:若正面若正面(外法线与坐标轴外法线与坐标轴正向一致的平面正向一致的平面)上剪应力矢上剪应力矢的指向与坐标轴正向一致的指向与坐标轴正向一致,或或负面负面(外法线与坐标轴负向一外法线与坐标轴负向一致的平面致的平面)上剪应力矢的指向上剪应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该剪与坐标轴负向一致，则该剪应力为正应力为正,反之为负。反之为负。图中表示的均为正方向图中表示的均为正方向图中表示的均为正方向图中表示的均为正方向第4页，共30页，编辑于2022年，星期六
3、 线应变线应变线应变线应变:以伸长为正以伸长为正,缩短为负。缩短为负。剪应变剪应变剪应变剪应变:使直角减小者为正使直角减小者为正,增大者为负。增大者为负。xOy yOz zox。xyzO上面右侧面前面第5页，共30页，编辑于2022年，星期六 在在 x y z 分别单独存在时分别单独存在时,x 方向的方向的线应变线应变 x 依次为依次为:2、各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律(1)线应变的推导线应变的推导第6页，共30页，编辑于2022年，星期六在在 x y z同时存在时同时存在时,x方向的线应变方向的线应变 x为为在在 x y z同时存在时同时存在时,y,z方向的线应变为方
4、向的线应变为第7页，共30页，编辑于2022年，星期六剪应变剪应变 xy,yz ,zx与剪应力与剪应力 xy,yz ,zx之间的关系为之间的关系为公式的适用范围公式的适用范围公式的适用范围公式的适用范围:在线弹性范围内在线弹性范围内,小变形条件下小变形条件下,各向同性材料。各向同性材料。(2)剪应变的推导剪应变的推导第8页，共30页，编辑于2022年，星期六 公式的适用范围公式的适用范围公式的适用范围公式的适用范围:在线弹性范围内在线弹性范围内,小小 变形条件下变形条件下,各向同性材各向同性材料。料。第9页，共30页，编辑于2022年，星期六3、特例特例 （1 1）平面应力状态下）平面应力状态
5、下(假设假设 Z Z=0)=0)第10页，共30页，编辑于2022年，星期六（2）广义胡克定律用主应力和主应变表示时广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：三向应力状态下：(7-7-6)第11页，共30页，编辑于2022年，星期六平面应力状态下平面应力状态下 设设 3=0,则则第12页，共30页，编辑于2022年，星期六材料的三个弹性常数材料的三个弹性常数材料的三个弹性常数材料的三个弹性常数E,G,E,G,间存在如下关系间存在如下关系间存在如下关系间存在如下关系:第13页，共30页，编辑于2022年，星期六例题例题7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为已知一受力构件自由表
6、面上的两主应变数值为。构件材料为。构件材料为Q235钢，其弹钢，其弹性模量性模量E=210GPa，泊松比，泊松比=0。3。求该点处的主应力值，。求该点处的主应力值，并求该点处另一并求该点处另一主应变主应变 2的的数值和方向。数值和方向。第14页，共30页，编辑于2022年，星期六解：解：一，一对应。一，一对应。由于构件自由表面，所以主应力由于构件自由表面，所以主应力 2=0。所以该点为平面应力状态。所以该点为平面应力状态。由由解得解得第15页，共30页，编辑于2022年，星期六该点处另一该点处另一主应变主应变 2的的数值为数值为 2是缩短的主应变，其方向必与是缩短的主应变，其方向必与 1和和
7、3垂直，即沿构件的垂直，即沿构件的外法线方向。外法线方向。第16页，共30页，编辑于2022年，星期六四、各向同性材料的体积应变四、各向同性材料的体积应变（2）各向同性材料在空间应力状态下的）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变体积应变（1）概念）概念:构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化,称为称为 体体积应变用积应变用 表示。表示。第17页，共30页，编辑于2022年，星期六公式推导公式推导 设单元体的三对平面为主平面设单元体的三对平面为主平面,其其三个边长为三个边长为d x,d y,d z 变形后的边变形后的边长分别为长分别为 d x(1+,d y(1+2 ,d z(1+3
8、 ,因此变形后单元体的体因此变形后单元体的体积为积为:2 1 3dxd yd z第18页，共30页，编辑于2022年，星期六体积应变为体积应变为体积应变为体积应变为第19页，共30页，编辑于2022年，星期六将广义胡克定律广义胡克定律代入得第20页，共30页，编辑于2022年，星期六 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变线应变x，y，z有关。仿照上述推导有有关。仿照上述推导有 在任意形式的应力状态下在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正体积应变与通过该
9、点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比应力之和成正比,而与剪应力无关。而与剪应力无关。第21页，共30页，编辑于2022年，星期六特例特例在平面纯剪切应力状态下在平面纯剪切应力状态下在平面纯剪切应力状态下在平面纯剪切应力状态下：代入得 可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。不引起各向同性材料的体积改变。第22页，共30页，编辑于2022年，星期六例题例题7-7 边长边长 a=0.1m 的铜立方块的铜立方块,无间隙地放入体积较无间隙地放入体积较大大,变形可略去不计的钢凹槽中变形可略去不计的钢凹槽中,如
10、图如图 所示。所示。已知铜的弹已知铜的弹性模量性模量 E=100GPa,泊松比泊松比 =0.34,当受到当受到P=300kN 的均布的均布压力作用时压力作用时,求该铜块的主应力求该铜块的主应力.体积应变以及最大剪应力。体积应变以及最大剪应力。aaaPyxz第23页，共30页，编辑于2022年，星期六解：铜块上截面上的压应力为解：铜块上截面上的压应力为y yZx z x(b)由由由由第24页，共30页，编辑于2022年，星期六解得解得铜块的主应力为铜块的主应力为第25页，共30页，编辑于2022年，星期六体积应变和最大剪应力分别为体积应变和最大剪应力分别为第26页，共30页，编辑于2022年，星
11、期六例题例题9-8 壁厚壁厚 t=10mm,外径外径 D=60mm 的薄壁圆筒的薄壁圆筒,在表面上在表面上 k 点点处与其轴线成处与其轴线成 45和和135 角即角即 x,y 两方向分别贴上应变片两方向分别贴上应变片,然后在然后在圆筒两端作用矩为圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶的扭转力偶,如图如图 所示已知圆筒材料的弹性模所示已知圆筒材料的弹性模量为量为 E=200GPa 和和 =0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内若该圆筒的变形在弹性范围内,且且 max=80MPa,试求试求k点处的线应变点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。以及变形后的筒壁厚度。Dtymkx第27页，共30页，编辑于
12、2022年，星期六Dtxymkxyk可求得可求得:解解:从圆筒表面从圆筒表面 k 点处取出单元体点处取出单元体,其各面上的应力分量其各面上的应力分量如图如图 所示所示第28页，共30页，编辑于2022年，星期六k点处的线应变点处的线应变 x ,y 为为第29页，共30页，编辑于2022年，星期六圆筒表面上圆筒表面上k点处沿径向点处沿径向(z轴轴)的应变为的应变为 同理可得同理可得,圆筒中任一点圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为该点到圆筒横截面中心的距离为)处处的径向应变为的径向应变为因此因此,该圆筒变形后的厚度并无变化该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为仍然为 t=10mm.第30页，共30页，编辑于2022年，星期六