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1、微分几何第一节第1页，共27页，编辑于2022年，星期六一、教学要求一、教学要求48学时，共3学分，教学周213周，15周考试。成绩认定：平时成绩50%，期末试卷50%。期末考试，闭卷，考核基本知识和基本技能90%95%，其他10%5%。第2页，共27页，编辑于2022年，星期六考勤占总评成绩的3%即3分：签名考勤表，要与班上学委或信息员记载信息一致或者测验时，收作业时，或者点名时候都可以作为考勤记录；作业等占总评成绩24%，即24分:合计10节,少1节扣2分.作业：抄袭、字迹不清楚、题量没有按规定去完成酌情扣分。对于题目做的正确还是错误属于正常现象不扣分。第3页，共27页，编辑于2022年，
2、星期六随堂测验占总评成绩的15%，即15分，至少3次.课堂5分钟分组报告占总评成绩的3%，即3分：由学委或指定学生负责分组，上报名单。各组长把握好时间和内容。在每次课的第2小节开始5分钟进行。由现场匿名打分，取平均分，交由任课老师。随堂提问或课堂讨论或做题告占总评成绩的5%，即5分；没有叫到的不扣分。第4页，共27页，编辑于2022年，星期六使用教材使用教材 微分几何配套习题集微分几何配套习题集 梅向明梅向明 编著编著 第四版第四版微分几何讲义微分几何讲义作者：丘成桐，孙理察丘成桐，孙理察出版社：高等教育出版社高等教育出版社出版日期：2004-12ISBN：9787040161427版次：1页
3、数：478字数：490开本：16开包装：平装第5页，共27页，编辑于2022年，星期六内容简介内容简介本书是在作者一系列演讲的讲稿基础上整理而成的，已成为整体微本书是在作者一系列演讲的讲稿基础上整理而成的，已成为整体微分几何方面的一本经典著作。它以拓扑、代数几何为基础，以分析分几何方面的一本经典著作。它以拓扑、代数几何为基础，以分析为主要工具，论述了几何学中的某些线性和非线性问题。本书内容为主要工具，论述了几何学中的某些线性和非线性问题。本书内容包括：比较定理与梯度估计、负曲率流形上的调和函数、包括：比较定理与梯度估计、负曲率流形上的调和函数、ReimannReimann流流形上的特征值问题、
4、形上的特征值问题、ReImannReImann流形上的热核、纯量曲率的共形形变、流形上的热核、纯量曲率的共形形变、局部共形平坦流形等。书中还包括了丘成桐教授撰写的几何中的非线性局部共形平坦流形等。书中还包括了丘成桐教授撰写的几何中的非线性分析、几何中未解决的问题、几何学未来的发展、几何与分析回顾、复分析、几何中未解决的问题、几何学未来的发展、几何与分析回顾、复几何的历史及前景等综合性论述与演讲辞，宏观和精辟地描述了几何学几何的历史及前景等综合性论述与演讲辞，宏观和精辟地描述了几何学中的重要问题，展示了该学科的历史和未来发展前景。本书可供高中的重要问题，展示了该学科的历史和未来发展前景。本书可供
5、高等院校数学系高年级学生、研究生作教学用书，也可供现代几何和分析等院校数学系高年级学生、研究生作教学用书，也可供现代几何和分析方面的教师及研究人员参考。方面的教师及研究人员参考。第6页，共27页，编辑于2022年，星期六课课 程程 介介 绍绍微分几何历史简介微分几何历史简介 微分几何是数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支和理微分几何是数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科，成为推动这些理论发展的一项重要工具。论物理等学科，成为推动这些理论发展的一项重要工具。经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质，在微积分
6、发明的同时，就开始了平面曲线微分几何的研究，而的性质，在微积分发明的同时，就开始了平面曲线微分几何的研究，而第一个作出重要贡献的是第一个作出重要贡献的是Euler(17071783).Euler(17071783).他在他在17361736年引进了平年引进了平面曲线的内在坐标，即曲线弧长这一概念，从而开始了内在几面曲线的内在坐标，即曲线弧长这一概念，从而开始了内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是EulerEuler的工作。的工作。他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在测地线方面他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在测
7、地线方面的一些工作，最早把测地线描述为某些微分方程组的解。的一些工作，最早把测地线描述为某些微分方程组的解。第7页，共27页，编辑于2022年，星期六又在物理问题的推动下，又在物理问题的推动下，17361736年他证明了：在无外力作用的情况年他证明了：在无外力作用的情况下，一个质点如约束在一曲面上运动，它必定是沿测地线运动。下，一个质点如约束在一曲面上运动，它必定是沿测地线运动。另一个历史人物是另一个历史人物是G.Monge(17461818)G.Monge(17461818)，在筑城垒，在筑城垒这个实际问题的推动下，他这个实际问题的推动下，他17711771年开始写了关于空间曲线论年开始写了
8、关于空间曲线论的论文，发表于的论文，发表于17851785年，他用的是几何方法，并反映了他对偏年，他用的是几何方法，并反映了他对偏微分方程的兴趣。微分方程的兴趣。MongeMonge写了第一本微分几何课本，写了第一本微分几何课本，18071807年出年出版，这课本共印了五版，一直发行到版，这课本共印了五版，一直发行到MongeMonge逝世后三十年，逝世后三十年，足见该书在当时的重要作用。足见该书在当时的重要作用。F.Frenet(18161868)F.Frenet(18161868)与与J.Serret(18191885)J.Serret(18191885)分别分别于于18471847年和年
9、和18511851年独立地得出现在通称的年独立地得出现在通称的Frenet-SerretFrenet-Serret方程方程（或（或FrenetFrenet方程）后，空间曲线论才最后统一起来。方程）后，空间曲线论才最后统一起来。第8页，共27页，编辑于2022年，星期六 G.F.GaussG.F.Gauss（1777185517771855）的贡献见于）的贡献见于18271827年他的年他的“弯曲曲面弯曲曲面的一般研究的一般研究”一文。他在微分几何方面的重要贡献，不仅在一文。他在微分几何方面的重要贡献，不仅在于他证明了许多惊人的新结果，更重要的是他致力于微分于他证明了许多惊人的新结果，更重要的是
10、他致力于微分几何全新的探讨，具有非凡的洞察力，抓住了微分几何中几何全新的探讨，具有非凡的洞察力，抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容。在微分几何发展经历了最重要的概念和带根本性的内容。在微分几何发展经历了150150年历史之久，年历史之久，GaussGauss建立了由第一基本形式所决定的曲建立了由第一基本形式所决定的曲面的内在几何，这是有深远的意义的。面的内在几何，这是有深远的意义的。GaussGauss的内在几何以的内在几何以惊人的步伐将微分几何向前推进，但那时并未被人们所认识。惊人的步伐将微分几何向前推进，但那时并未被人们所认识。直到直到R.RiemannR.Riemann（182
11、6186618261866）才进一步发展了）才进一步发展了GaussGauss的内在几何学，的内在几何学，18541854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几何两者之间的差别。示了空间与几何两者之间的差别。RiemannRiemann将曲面本身看成一将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个个独立的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，从而他认识到二次几何实体，从而他认识到二次 第9页，共27页，编辑于2022年，星期六微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形上去的一个结构，因此微分形式（现称为黎曼测度）是加到流
12、形上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。在同一流形上可以有众多的黎曼测度。RiemannRiemann意识到这件事意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加的黎曼测度两者区分开是非凡的重要，把诱导测度与外加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰出的贡献。其后，来，从而开创了黎曼几何，作出了杰出的贡献。其后，Levi-CivitaLevi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几何。等人进一步丰富了经典的黎曼几何。二十世纪二、三十年代二十世纪二、三十年代E.CartanE.Cartan开创并发展了外微分开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联
13、系，从而为微形式与活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远。分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远。从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维从理论的发从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本身研究中所产生的研究问题外，展过程可以看到，除了微分几何本身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。我们特其他数学学科及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。我们特别在这里强调一下理论物理与微分几何的相互影响，黎曼几何与广别在这里强调一下理论
14、物理与微分几何的相互影响，黎曼几何与广义相对论的义相对论的第10页，共27页，编辑于2022年，星期六 相互推进，既发展了引力理论，也促使微分几何本身进一步发展。相互推进，既发展了引力理论，也促使微分几何本身进一步发展。近年来，整体黎曼流形的研究也被用到引力理论的研究中去。随着近年来，整体黎曼流形的研究也被用到引力理论的研究中去。随着高能物理学的发展，规范场的重要性日益显著，纤维丛几何是规范高能物理学的发展，规范场的重要性日益显著，纤维丛几何是规范场研究的一项有力的数学工具，微分几何中一些深入的内容如陈省场研究的一项有力的数学工具，微分几何中一些深入的内容如陈省身示性类、身示性类、Atiyah
15、AtiyahSingerSinger指标定理等都在研究中起了突出的指标定理等都在研究中起了突出的作用。总之，微分几何在理论物理中的作用愈来愈显示出其重作用。总之，微分几何在理论物理中的作用愈来愈显示出其重要意义，这是一个值得注意的动向，它进一步推进微分几何的要意义，这是一个值得注意的动向，它进一步推进微分几何的向前发展。向前发展。第11页，共27页，编辑于2022年，星期六有个这样的比喻，如果我们把几何空间的推广和人类穿衣服的过程相对有个这样的比喻，如果我们把几何空间的推广和人类穿衣服的过程相对照，那么一开始的欧几里得几何，便好比人在原始社会中没有穿衣服，照，那么一开始的欧几里得几何，便好比人
16、在原始社会中没有穿衣服，是裸体的；然后笛卡儿把坐标的概念加入了是裸体的；然后笛卡儿把坐标的概念加入了“赤裸赤裸”的空间，就好比的空间，就好比人类开始穿衣服；而到了流形的阶段，就好比现代人，不只穿一件衣服，人类开始穿衣服；而到了流形的阶段，就好比现代人，不只穿一件衣服，还要常常换。也许有些人不太能接受这样还要常常换。也许有些人不太能接受这样“奇装异服奇装异服”式的换坐标，式的换坐标，但是没有关系，爱因斯坦花了七年的时间，才终于接受坐标可以转但是没有关系，爱因斯坦花了七年的时间，才终于接受坐标可以转换的概念，而能从狭义相对论进展到广义相对论。空间中有不同的换的概念，而能从狭义相对论进展到广义相对论
17、。空间中有不同的坐标系，那么麻烦就来了，因为几何的性质是和坐标系的选取有关，坐标系，那么麻烦就来了，因为几何的性质是和坐标系的选取有关，不过不要紧，只要能控制坐标变换的性质，使在变换前即有的性质，不过不要紧，只要能控制坐标变换的性质，使在变换前即有的性质，经过变换之后仍为我们所控制，那么换坐标就没关系了，这也正是经过变换之后仍为我们所控制，那么换坐标就没关系了，这也正是近代几何学比较困难的地方。近代几何学比较困难的地方。第12页，共27页，编辑于2022年，星期六随着拓朴学随着拓朴学(topology)(topology)的发展，纤维丛的发展，纤维丛(vector(vector bundles
18、)bundles)，示性类（，示性类（Characteristic ClassCharacteristic Class）等新概念）等新概念的出现，微分几何又得到了迅猛发展，到了整体微分的出现，微分几何又得到了迅猛发展，到了整体微分几何的时代。这期间，我国著名数学家陈省身先生的几何的时代。这期间，我国著名数学家陈省身先生的工作可以说是具有划时代的意义。直到今天，微分几工作可以说是具有划时代的意义。直到今天，微分几何的进展依然离不开这些新兴数学概念的拓展与应用。何的进展依然离不开这些新兴数学概念的拓展与应用。第13页，共27页，编辑于2022年，星期六在现代物理（从量子力学到量子场论与量子统计）中
19、。物理体系在现代物理（从量子力学到量子场论与量子统计）中。物理体系整体大范围性质愈演愈突出，局域性质也往往与整体性质有关，整体大范围性质愈演愈突出，局域性质也往往与整体性质有关，受整体性质的约束，近年来。量子场论由定域局部微扰向整体大受整体性质的约束，近年来。量子场论由定域局部微扰向整体大范围非线性深入发展，使得微分几何这一数学武器愈来愈重要。范围非线性深入发展，使得微分几何这一数学武器愈来愈重要。微分几何中联络、曲率、示性类等概念渗透到现代理论物理的各微分几何中联络、曲率、示性类等概念渗透到现代理论物理的各方面，而不是只限于引力理论，电磁规范理论、及其推广方面，而不是只限于引力理论，电磁规范
20、理论、及其推广Yang-Yang-Mills Mills 场论。现代物理学家需要利用微分几何，尤其是大范围场论。现代物理学家需要利用微分几何，尤其是大范围微分几何的成就来推动物理学的发展，大范围微分几何中一些微分几何的成就来推动物理学的发展，大范围微分几何中一些成就，例如成就，例如Atiyah-SingerAtiyah-Singer指标定理，将场论的解析性质与场位指标定理，将场论的解析性质与场位型的拓扑性质联系起来，在现代量子场论与量子统计中得到重型的拓扑性质联系起来，在现代量子场论与量子统计中得到重要应用，各方面各种物理模型，例如超对称场论模型也验证了要应用，各方面各种物理模型，例如超对称场
21、论模型也验证了Atiyah-SingerAtiyah-Singer指标定理的正确性。这些都说明现代物理学与现代微分指标定理的正确性。这些都说明现代物理学与现代微分几何学的紧密关系。几何学的紧密关系。第14页，共27页，编辑于2022年，星期六微分几何未来的发展，引用当代微分几何大师陈省身先生的一段话作为这个问题的回答他说：“讲到微分几何的未来，当然预测是很困难的。19世纪的深刻的结果多半是单元的。本世纪内高维流形的发展史是辉煌的。但整个宝藏发掘还未十一，可以发展的方向多不胜数。数学的前途无量是可以预卜的。”第15页，共27页，编辑于2022年，星期六课程的主要内容课程的主要内容 本课程主要讲授
22、三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论，本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论，（1 1）曲线论。包括曲线的弧长，曲线的曲率和）曲线论。包括曲线的弧长，曲线的曲率和FrenetFrenet标架，标架，挠率与挠率与FrenetFrenet公式，曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，公式，曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，平面曲线。平面曲线。（2 2）曲面论。包括切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上）曲面论。包括切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基正交参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基本
23、形式，法曲率，本形式，法曲率，GaussGauss映射与映射与WeingartenWeingarten映射，主曲率和主方向的映射，主曲率和主方向的计算，计算，DupinDupin标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。面论基本定理。（3 3）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测地线，测地）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测地线，测地坐标系，常曲率曲面，坐标系，常曲率曲面，Gauss-BonnetGauss-Bonnet公式。公式。第16页，共27页，编辑于2022年，星期六课程的教学目的和要求课程的教学目的和要求微分几
24、何是用微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统。微分几何课程是高等院校数学与应用数学专业的必修课。通过这门课程的学习，使学生掌握这门课程的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生应用微积分和线性代数处理几何问题的能力，培养几何直观和图形想象能力，从具体到抽象的能力，为进一步学习现代微分几何打下扎实的基础。第17页，共27页，编辑于2022年，星期六几所高校开设微分几何课程情况见WORD文档等。第18页，共27页，编辑于2022年，星期六作者：作者：孟雅琴孟雅琴出版社：出版社：上海交通大学出版社上海交通大学出版社出版日期：出版日期：2010-03ISBN：
25、9787313061645版次：版次：1 页数：页数：135 字数：字数：开本：开本：16开开包装：平装包装：平装第19页，共27页，编辑于2022年，星期六对可展曲面的构造与插值作了深入的探索和研究。对可展曲面的构造与插值作了深入的探索和研究。CADCADCAGDCAGD在产在产品的设计和制造中发挥着越来越重要的作用。而可展曲面作为工程常品的设计和制造中发挥着越来越重要的作用。而可展曲面作为工程常用曲面，其设计方法与技术研究是用曲面，其设计方法与技术研究是CAGDCAGD中的一个关键的研究课题，中的一个关键的研究课题，在机械工程和先进产品的逆向工程中有着十分重要的应用价值。在机械工程和先进产
26、品的逆向工程中有着十分重要的应用价值。首先对曲面造型技术做了综述，总结了函数曲面造型技术、首先对曲面造型技术做了综述，总结了函数曲面造型技术、隐式曲面造型技术、参数曲面造型技术以及近些年新发展起来的隐式曲面造型技术、参数曲面造型技术以及近些年新发展起来的变形造型技术、细分曲面造型方法，以及基于物理模型和形状混变形造型技术、细分曲面造型方法，以及基于物理模型和形状混合的造型方法的发展现状。其次对可展曲面设计理论、方法和技合的造型方法的发展现状。其次对可展曲面设计理论、方法和技术的研究发展状况作了详细的分析与总结。可展曲面的两类有代术的研究发展状况作了详细的分析与总结。可展曲面的两类有代表性的构造
27、和表示方法是以表性的构造和表示方法是以AumannAumann方法为代表的点几何表示的可方法为代表的点几何表示的可展曲面和以展曲面和以HoscheckHoscheck、PottmannPottmann和和BodduluriBodduluri为代表的基于线几何和为代表的基于线几何和面几何的对偶表示方法。面几何的对偶表示方法。可展曲面的构造与插值研究可展曲面的构造与插值研究适合应用数学专业学生和研究适合应用数学专业学生和研究生及其他有兴趣的读者阅读和参考生及其他有兴趣的读者阅读和参考 第20页，共27页，编辑于2022年，星期六第21页，共27页，编辑于2022年，星期六第22页，共27页，编辑于2022年，星期六http:/