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1、问题情境问题情境1:问题问题 1.从南京到上海，有从南京到上海，有3条公路条公路,2条铁路条铁路,那那么从南京到上海共有多少种不同的方法么从南京到上海共有多少种不同的方法?上海宁波问题问题2、增加杭州游，从南京到杭州的路有、增加杭州游，从南京到杭州的路有三条，由杭州到上海的路有两条。问：从南三条，由杭州到上海的路有两条。问：从南京经杭州到上海有多少种不同的方法？京经杭州到上海有多少种不同的方法？上海宁波杭州例例1:某班共有男生某班共有男生35名名,女生女生21名名,从该班选出学生代表参从该班选出学生代表参加校学代会加校学代会.(1)若学校分配给该班若学校分配给该班1名代表名代表,有有多少种不同
2、的选法多少种不同的选法?(2)若学校分配给该班若学校分配给该班2名代表名代表,且且男女生代表各男女生代表各1名名,有多少种不有多少种不同的选法同的选法?例例2:(1)在图在图(1)的电路中的电路中,只合上只合上一只开关以接通电路一只开关以接通电路,有多少种不同的有多少种不同的方法方法?(2)在图在图(2)的电路中的电路中,合上两只合上两只开关以接通电路开关以接通电路,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?.ABABm1m1m2m2mnmn例例3:为了确保电子信箱的安全为了确保电子信箱的安全,在注册时通常在注册时通常要设置电子信箱密码要设置电子信箱密码.在网站设置的信箱中在网站设置的信箱中,1)
3、密码为密码为4位位,每位均为每位均为0到到9这这10个数字中的一个数字中的一个数字个数字,这样的这样的 密码共有多少个密码共有多少个?2)密码为密码为4位位,每位是每位是0到到9这这10个数字中的一个个数字中的一个,或是从或是从A到到Z这这26个英文字母中的个英文字母中的1个个,这样这样的密码共有多少个的密码共有多少个?3)3)密码为密码为46位位,每位均为每位均为0到到9这这10个数字个数字中的一个数字中的一个数字,这样的这样的 密码共有多少个密码共有多少个?1)密码为密码为4位位,每位均为每位均为0到到9这这10个数个数字中的一个数字字中的一个数字,这样的这样的 密码共有密码共有多少个多少
4、个?解解:(1)设置四位密码设置四位密码,每一位每一位上都可以从上都可以从0到到9这这10个数字中个数字中取一个取一个,有有10种取法种取法,根据分步根据分步计数原理计数原理,四位密码的个数是四位密码的个数是 10101010100002)密码为密码为4位位,每位是每位是0到到9这这10个数字个数字中的一个中的一个,或是从或是从A到到Z这这26个英文个英文字母中的字母中的1个个,这样的密码共有多少这样的密码共有多少个个?(2)设置四位密码设置四位密码,每一位上都可以每一位上都可以从从0到到9这这10个数字或从个数字或从A到到Z这这26个个英文字母中的英文字母中的1个中取一个个中取一个,共有共有
5、10+26=36种取法种取法.根据分步计数原理根据分步计数原理,四位密码的个数四位密码的个数是是 3636363616796163)密码为密码为46位位,每位均为每位均为0到到9这这10个数字中的一个数字个数字中的一个数字,这样这样的的 密码共有多少个密码共有多少个?(3)设置一个由设置一个由0到到9这这10个数字组成的个数字组成的46位密码位密码,有有3类方式类方式,其中设置其中设置4位密码位密码、5位密码、位密码、6位密码的个数位密码的个数 分别为分别为104，105，106,根据分类计数原理根据分类计数原理,设置由设置由0到到9这这10个数字组成的个数字组成的46位密码个数是位密码个数是
6、 104+105+106=1110000 完成一件事完成一件事,有有n类方式类方式,在第一在第一类方式类方式,中有中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类方式在第二类方式,中有中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类方式类方式,中中有有mn种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法。种不同的方法。完成一件事完成一件事,需要分成需要分成n个步骤，个步骤，做第做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不种不同的方法，同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法种不同的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2
7、mn种不同的方法种不同的方法。注注:本原理又称本原理又称加法原理加法原理.注注:本原理又称本原理又称乘法原理乘法原理.分步计数原理分步计数原理分类计数原理分类计数原理N=m1+m2+m n 应用:书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取一本书,有多少种不同的取法?分析:分类问题加法原理加法原理 (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法?分析:分步问题 乘法原理乘法原理4+3+2=9432=24练习练习:1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域
8、必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3 种,第二步,m2=2 种,第三步,m3=1 种,第四步,m4=1 种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理 3.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解:从总体上看,由甲到丙有三类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以 m1=23=6 种不同的走法;第二类,由甲直接到
9、丙地,有2种不同方法.第三类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以 m2=42=8 种不同的走法;分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理所以从甲地到丙地共有N=(23)+(2)+(42)=16种不同的走法。合理分类准确分步课堂小结课堂小结1.分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础较复杂的排列、组合问题的基础.2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是键是“分类分类”还是还是“分步分步”，也
10、就是说，也就是说“分类分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而直接完成这件事，而“分步分步”时，各步中的方法时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事才能完成这件事.课堂小结课堂小结.ABABm1m1m2m2mnmn点评点评:我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:1.本节课学习了那些主要内容？答答:加法原理和乘法原理。2.加法原
11、理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？答答:共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法。不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,加法原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。乘法原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理(小结小结)请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:3.何时用加法原理、乘法原理里呢?答答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用加法原
12、理。完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理4.“合理分类合理分类”,“准确分步准确分步”要注意什么呢要注意什么呢?“准确分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致标准必须一致,还要多做一些题目,并仔细体会总结,才能保证不重复、不遗漏。“合理分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交集为空集,n类的并为全集。