《数学分析课件第四版华东师大研制--第1章-实数集与函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析课件第四版华东师大研制--第1章-实数集与函数.ppt（80页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 实数 数学分析研究的是实 数集上定义的函数,因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质.返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页五、实数的稠密性六、实数与数轴上的点一一对应七、实数的绝对值与三角形不等式三、实数的四则运算四、实数的阿基米德性一、实数的十进制小数表示二、实数的大小返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 记号与术语返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1.任何一个实数都可以用十进制小数表示任何一个实数都可以用十进制小数表示.若若其中其中2.有限小数有限小数又可表示为又可表示为
2、一、实数的十进制小数表示返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.即即:若若则则用无限小数表示实数，称为用无限小数表示实数，称为正规表示正规表示.x 可用循环十进制小数表示，可用循环十进制小数表示，3.表示有理数集表示有理数集.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4.无理数为无限不循环小数无理数为无限不循环小数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、实数的大小定义定义1 若若是正规的十进制小数表示是正规的十进制小数表示,规定规定返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页实数的
3、大小关系有以下性质实数的大小关系有以下性质:三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立.即大小关系具有传递性即大小关系具有传递性.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、实数的四则运算实数集实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是）亦是有理数集有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除（除数不为 0）是）是实数的四则运算与大小关系实数的四则运算与大小关系,还满足还满足:封闭的封闭的.封闭的封闭的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、实数的阿基米德性 实数具有阿基米德性实数具有阿基米
4、德性:理由如下：设理由如下：设 为第一个不为零的正整数为第一个不为零的正整数,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 证证阿基米德阿基米德(Archimedes,287B.C.212B.C.,希腊希腊 )返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页五、实数的稠密性数又有无理数数又有无理数.证证 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2证证的无理数的无理数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页六、实数与数轴上的点一一对应实数集实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系与数轴上的点可建立一一对应关系.1.这种对应关系，粗略地可这样描述：这种对应关系，粗略
5、地可这样描述：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页反之反之,任何一实数也对应数轴上一点任何一实数也对应数轴上一点.2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的完备性完备性.我们将在后面有关章节中作进一步讨论我们将在后面有关章节中作进一步讨论.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页七、实数的绝对值与三角形不等式2.实数的绝对值性质实数的绝对值性质:定义为定义为:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(三角形不等式三角形不等式).的证明：的证明：3.三角形不等式三角形不等式返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复
6、习思考题循环节不超过循环节不超过 q 的循环小数？的循环小数？2.为什么为什么 1 和和 0.99 表示同一个数表示同一个数?在在 R 中稠密中稠密.3.如何定义数集如何定义数集 在在 中稠密中稠密?按你的定义证明按你的定义证明返回返回后页后页前页前页2 2 数集数集 确界原理确界原理 一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点.返回返回返回返回返回返回后页后页前页前页记号与术语返回返回后页后页前页前页一、有界集定义定义1 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页因此因此 S 无上界无上界.证证 故故 S 有下界有下界
7、.取取 L=1,例例1例例2 2证证返回返回后页后页前页前页二、确界定义定义2若数集若数集 S 有上界有上界,则必有无穷多个上界则必有无穷多个上界,而其而其中最小的一个具有重要的作用中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为最小的上界称为上确界上确界.同样同样,若若S 有下界有下界,则最大的下界称为下则最大的下界称为下确界确界.返回返回后页后页前页前页点击上图动画演示点击上图动画演示注注2 2注注1 1 条件条件(i)说明说明 是是 的一个上界的一个上界,条件条件(ii)说明说明比比 小的数都不是小的数都不是 的上界的上界,从而从而 是最小的上是最小的上界界,即上确界是最小的上界即上确界是最小
8、的上界.返回返回后页后页前页前页定义定义3注注2 2注注1 1 由定义由定义,下确界是最大的下界下确界是最大的下界.返回返回后页后页前页前页证证 先证先证 sup S=1.例例2 返回返回后页后页前页前页以下确界原理也可作公理以下确界原理也可作公理,不予证明不予证明.虽然我们定义了上确界虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的但并没有证明上确界的存在性存在性,这是由于上界集是无限集这是由于上界集是无限集,而无限数集而无限数集不一定有最小值不一定有最小值,例如例如(0,)无最小值无最小值.返回返回后页后页前页前页三、确界存在性定理证法一证法一 设设 S 是有上界的非空集合是有上界的非空集合.为
9、叙述方便起为叙述方便起见见,不妨设不妨设 S 含有非负数含有非负数.定理定理1.1 (确界原理确界原理)返回返回后页后页前页前页证明分以下四步证明分以下四步:返回返回后页后页前页前页1.S 是有上界的集合是有上界的集合,从而从而 S+也是有上界的集合也是有上界的集合,返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页是正规小数表示是正规小数表示.返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页证法二证法二 不妨设不妨设返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页事实上事实上,返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页例例3 3证明：证明：数集数集 A 有上确界，
10、数集有上确界，数集 B 有下确界，有下确界，由定义由定义,上确界上确界 sup A 是最小的上界是最小的上界,因此因此,任意任意证证 由假设由假设,B 中任一数中任一数 y 都是都是 A 的上界的上界,A 中的任中的任一数一数 x 都是都是 B 的下界的下界.因此由确界原理因此由确界原理,A 有上确有上确界界,B 有下确界有下确界.返回返回后页后页前页前页例例4 4y B;sup A y.这样这样,sup A 又是又是 B 的一个下界的一个下界,而而 inf B 是最大的下界是最大的下界,因此因此 sup A inf B.返回返回后页后页前页前页证证必有必有于是于是使使从而从而且且因此因此返回
11、返回后页后页前页前页其中其中必有必有于是于是则存在则存在使使因此因此这就证明了这就证明了返回返回后页后页前页前页四、非正常确界2.推广的确界原理推广的确界原理:非空数集必有上、下确界非空数集必有上、下确界.例例2 设数集设数集 求证求证:返回返回后页后页前页前页证证 设设于是于是因此因此反之反之,若若返回返回后页后页前页前页2.1.数集数集 S 有上界，则有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否的所有上界组成的集合是否复习思考题3.在上确界的定义中，在上确界的定义中，能否改为能否改为或改为或改为返回返回后页后页前页前页3 函 数 概 念一、函数的定义二、函数的四则运算三、复合函数四、反函数五、
12、初等函数 函数的概念,在中学数学中我们已有了初步的了解.本节将作进一步的讨论.返回返回返回返回返回返回后页后页前页前页一、函数的定义称为称为 f 的值域的值域;D 称为称为 f 的定义域的定义域;定义定义1 D与与M是是R中非空数集中非空数集,若有对若有对应法则应法则 f,使使D内每一个数内每一个数 x,都有惟一的一个数都有惟一的一个数 y M 与它与它相相对应对应,则称则称 f 是定义是定义在在 D上的函数上的函数,记作记作返回返回后页后页前页前页称为称为 f 的图象的图象.注注1 函数由定义域函数由定义域 D 和对应法则和对应法则 f 二要素二要素完全完全决定，因此若给出函数的定决定，因此
13、若给出函数的定义域和对应法则义域和对应法则,也也就确定了函数就确定了函数.它与自变量与应变量的符号无关它与自变量与应变量的符号无关.注注2 表示函数有多种方法，常见的有解析法、列表示函数有多种方法，常见的有解析法、列表法和图象法表法和图象法.解析法表示函数时解析法表示函数时,若没有特别指若没有特别指明其定义域明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体有意义的自变量的全体(即存在域即存在域).).返回返回后页后页前页前页例例2 狄利克雷函数狄利克雷函数例例1 符号函数符号函数返回返回后页后页前页前页狄利克雷狄利克雷(Dirichlet,P.G.L
14、.18051859,德国德国)黎曼黎曼(Riemann,B.18261866,德国德国)返回返回后页后页前页前页例例3 黎曼函数黎曼函数O0.20.40.60.810.20.40.6返回返回后页后页前页前页二、函数的四则运算返回返回后页后页前页前页三、复合函数例例4返回返回后页后页前页前页例例5返回返回后页后页前页前页四、反函数注注因变量因变量.由于函数与自变量、因变量记号无关，由于函数与自变量、因变量记号无关，返回返回后页后页前页前页例例6返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页定义定义1 以下六类函数称为基本初等函数以下六类函数称为基本初等函数五、初等函数返回返回后页后页前页前页定
15、义定义2定义定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算和复由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得合运算所得到的函数到的函数,称为初等函数称为初等函数.狄利克雷函数与黎曼函数狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数是非初等函数.返回返回后页后页前页前页2.f(x)和和 g(x)定义在定义在a,b上上,是否一定存在某个区间是否一定存在某个区间复习思考题1.函数函数 f(x)定义在定义在 a,b上，上，f(a)=0,f(b)=1,0,1是否一定都在是否一定都在 f 的值域的值域 f(a,b)之中之中返回返回后页后页前页前页4 具有某些特性的函数 一、有界函数 本节将着重讨论函数的有界性、单调性、奇偶
16、性与周期性.四、周期函数三、奇函数与偶函数二、单调函数返回返回返回返回返回返回后页后页前页前页一、有界函数定义定义1 设设 f 定义在定义在D上上.返回返回后页后页前页前页例例1证证返回返回后页后页前页前页证证例例2返回返回后页后页前页前页例例3 证证因此因此返回返回后页后页前页前页二、单调函数定义定义2返回返回后页后页前页前页证证 例例4由归纳法由归纳法,若已证若已证返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页例例5增增.返回返回后页后页前页前页定理定理1.2证证只有一个只有一个返回返回后页后页前页前页例例6返回返回后页后页前页前页例例7证证返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前
17、页三、奇函数和偶函数定义定义3返回返回后页后页前页前页也是奇函也是奇函 数数.返回返回后页后页前页前页四、周期函数定义定义4见后图见后图.返回返回后页后页前页前页注注1 周期函数的定义域不一定是周期函数的定义域不一定是R.例如：例如：例例8-3-2-1O1231注注2 周期函数不一定有最小周期周期函数不一定有最小周期.例如狄利克雷函例如狄利克雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小周期数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.返回返回后页后页前页前页例例9 任意正有理数是狄利克雷函数任意正有理数是狄利克雷函数 的周期的周期.证证 设设因此因此,返回返回后页后页前页前页复习思考题1.f(x)在在a,b上上定定义义，是是否否一一定定存存在在某某个个区区间间 上上 是是 单单 调调 函函 数数?2.构构 造造 在在0,1上上定定义义的的函函数数f(x),使使其其在在任任何何3.用肯定语句叙述下列概念用肯定语句叙述下列概念:(1)(1)非周期函数；（非周期函数；（2 2）非奇函数；）非奇函数；(3)(3)非单调增函数非单调增函数.