《数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限.ppt（73页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 数列极限是整个数学分析最重要的基础1 数列极限的概念 一、数列的定义五、再论“-N”说法四、按定义验证极限三、收敛数列的定义备知识.为今后学习级数理论提供了极为丰富的准之一,它不仅与函数极限密切相关，而且返回返回返回返回二、一个经典的例子 六、一些例子 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为数列为数列.因为因为N+的所有元素可以从小到大排列出来的所有元素可以从小到大排列出来,则称则称若函数若函数 f 的定义域为全体正整数的集合的定义域为全体正整数的集合 或简记为或简记为 an.这里这里 an 所以我们也将数列所以我们也将数列写成写成
2、称为数列称为数列 an 的通项的通项.一、数列的定义返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、一个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去样的过程可以无限制地进行下去.我我们们把把每每天天截截下下部部分分(或或剩剩下下部部分分)的的长长度度列列出出：第一天截下第一天截下 第二天截下第二天截下第第n天截下天截下这样就得到一个数列这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的古代哲学家庄周所著的庄子庄子 天下篇天下篇引用了引用了一句话一句话:“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.它的它的意思是意思是:一根长为一尺的木棒一根长为一尺的木棒,每天截下一半每天截下一半,这这返回返回
3、返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页容易看出容易看出:数列数列随着随着 n 的无的无限增限增大而无限趋于大而无限趋于 0 0.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、收敛数列的定义下面给出严格的数学定义下面给出严格的数学定义.定义定义1为一个数列为一个数列,a 为一个常数为一个常数,若对于若对于任意的正数任意的正数 ,总存在正整数总存在正整数 N,使当使当 n N 时时,则称数列则称数列收敛于收敛于a,又称又称 a 为数列为数列 的极限的极限,一般地说一般地说,对于数列对于数列 ,若当若当 n 充分变大时充分变大时,an能无限地接近某个常数能无限地接近某个常数 a,则称则称 收
4、敛于收敛于 a.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页记作记作若若 不收敛不收敛,则称则称 为为发散数发散数列列.注注 定义定义1 这种陈述方式，俗称为这种陈述方式，俗称为“-N”说法说法.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、按定义验证极限以说明以说明,希望大家对希望大家对“-N”说法能说法能有正确的认有正确的认识识.例例1 1 用定义验证用定义验证:分析分析 对于任意正数对于任意正数要使要使只要只要证证 对于任意的正数对于任意的正数 ,所以所以为了加深对数列收敛定义的了解为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加下面结合例题加返回返回返回返回后页后页后页后页前页前
5、页前页前页例例2 用定义验证用定义验证分析分析 对于任意的正数对于任意的正数 ,要使要使 只要只要这就证明了这就证明了证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页只要只要 即可即可.例例3 用定义验证用定义验证分析分析故要使故要使成立成立,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 对于任意的正数对于任意的正数 ,取取即得即得注意注意 解这个不等式是在解这个不等式是在 的条件下进行的的条件下进行的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以例例4用定义验证用定义验证因此证得因此证得证证 这里只验证这里只验证的情形（的情形（时自证）时自证）.故对于任意正数故对于任
6、意正数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页五、再论“-N”说法从从定义定义及上面的例题我们可以看出及上面的例题我们可以看出:此外，又因此外，又因 是是任意正数任意正数,所以所以 1.的任意性的任意性:定义中的定义中的 用来用来刻画数列刻画数列 an 的通的通项与定数项与定数 a 的接近程度的接近程度.显然正数显然正数 愈小愈小,表示表示 a n与与 a 接近的程度愈高；接近的程度愈高；是任意的是任意的,这就表示这就表示 an与与 a 可以任意接近可以任意接近.要注意，要注意，一一旦旦给出，在接下给出，在接下来计算来计算 N 的过程中，的过程中，它它暂时看作是确定不变的暂时看作是确
7、定不变的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页可以用可以用(K 为某一正常数为某一正常数)来代替来代替.定义定义 1,那么对那么对 1 自然也可以验证成立自然也可以验证成立.均可看作任意正数均可看作任意正数,故定义故定义 1 中的不等式中的不等式2.N 的相对性的相对性:从定义从定义1 中中又又可看出可看出,随随着着 的取值的取值不同不同,N 当然也会不同当然也会不同.但这并不意味着但这并不意味着 N 是由是由 再有再有,我们还可以限定我们还可以限定 小于某一个正数小于某一个正数(比如比如 1 ).事实上事实上,对对 0 N1=2N 时时,对于同样的对于同样的 ,更应有更应有 惟一
8、确定惟一确定.例如例如,当当 n N 时时,有有求求 N 的的“最佳性最佳性”.也就是说也就是说,在这里只是强调在这里只是强调 N 的存在性的存在性,而不追而不追返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3.极限的几何意义极限的几何意义示当示当 n N 时时,从几何上看从几何上看,实际上就是实际上就是时有时有所有下标大于所有下标大于 N 的的 an 全都落在全都落在邻邻域域 之内，之内，而在而在 之外之外,an 至多只有有限项至多只有有限项(N 项项).反过来反过来,如果对于任意正数如果对于任意正数 ,落在落在 之外至之外至多只有有限项多只有有限项,设这些项的最大下标为设这些项的最大下标
9、为 N,这就表这就表返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 an 的有限多项的有限多项,则称数列则称数列 an 收敛于收敛于a.这样这样,an 不以不以 a 为极限的定义也可陈述为为极限的定义也可陈述为:存在存在之外含有之外含有 an 中的无限多中的无限多不以任何实数不以任何实数 a 为极限为极限.以上是定义以上是定义 1 的等价说法的等价说法,写成定义就是写成定义就是:定义定义1 任给任给,若在若在 之外至多只有之外至多只有项项.注注 an 无极限（即发散）的等价定义为无极限（即发散）的等价定义为:an 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页以下定理显然成立以下定理显然成
10、立,请读者自证请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列无穷小数列和无穷大数列返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页六、一些例子为了更好地理解为了更好地理解定义定义,再举一些例题再举一些例题.例例5 证明证明发散发散.又因又因 a 是任意的是任意的,所以所以 发散发散.a 为极限为极限.证证 对于任意实数对于任意实数 a,取取之外有无限多之外有无限多所所以以由由定定义义1,不以不以个偶数项（奇数项）个偶数项（奇数项）.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 证明证明解解当当时，时，从而从而返回返回返回返回后页后页后页后页前页
11、前页前页前页证证 我们用两种方法来证明我们用两种方法来证明.例例7 证明证明 1)任给正数任给正数有项都能使不等式有项都能使不等式 成立即可成立即可.注注 这里我们将这里我们将 N 取为正数取为正数,而非正整数而非正整数.实际上实际上N 只是表示某个时刻只是表示某个时刻,保证从这一时刻以后的所保证从这一时刻以后的所返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页没有定义没有定义.2)任给正数任给正数,限制限制 由由可知只需取可知只需取注注 这里假定这里假定 0 0,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当当 n N 时时(1),(2)同时成同时成立立,从而有从而有返回返回返回返回后页
12、后页后页后页前页前页前页前页二、有界性即存在即存在证证对于正数对于正数若令若令则对一切则对一切正整数正整数 n,都有都有定理定理 2.3 若数列若数列返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页件件.注注 数列数列是有界的是有界的,但却不收敛但却不收敛.这就说这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、保号性定理定理 2.4对对于于任任意意两两个个实实数数 b,c,证证注注我们可取我们可取这也是为什么称该定理为保号性定理的原因这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.,则存在则存在 N,当当 n
13、 N 时时,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 证明证明证证 对任意正数对任意正数 ,所以由所以由 这就证明了这就证明了定理定理 2.4,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、保不等式性定理定理 2.5均为收敛数列均为收敛数列,如果存在正如果存在正证证所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页是严格不等式是严格不等式.注注 若将定理若将定理 2.5 中的条件中的条件 改为改为这就是说这就是说,即使条件是严格不等式即使条件是严格不等式,结论却不一定结论却不一定也只能得到也只能得到例如例如,虽然虽然返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页五、
14、迫敛性(夹逼原理)定理定理 2.6 设数列设数列都以都以 a 为极限为极限,证证 对任意正数对任意正数 所以分所以分这就证得这就证得满足满足:存在存在则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 求数列求数列的极限的极限.所以由迫敛性，求得所以由迫敛性，求得又因又因解解有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页六、四则运算法则定理定理2.7则则(1)(2)当当为常数为常数 c 时时,(3)也都是收敛数列也都是收敛数列,且有且有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以的任意性的任意性,得到得到证明证明(2)对于任意对于任意证明证明(1)返回返回返回返回后页
15、后页后页后页前页前页前页前页的任意性的任意性,证得证得 证明证明(3)由由(2),只只要要证证明明据保号性据保号性,于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又因为又因为即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页七、一些例子例例3 用四则运算法则计算用四则运算法则计算(1)当当 m=k 时时,有有分别得出分别得出:解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(2)当当 m N 时时,有有又因为又因为所以由极限的迫所以由极限的迫敛性敛性,证得证得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 解解所以由极限四则所以由极限四则运算法则运算法则,得得故得故得返
16、回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例7 为为 m 个正数个正数,证明证明证证由由以及极限的迫敛性以及极限的迫敛性,可得可得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1 1注注返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 2.8证证注注返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8 证证(必要性必要性)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例9解解因此因此,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1.1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.2
17、.仿效例题仿效例题5 5的证法的证法,证明：证明：复习思考题返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 学过数列极限概念后，自然会产生两个3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题,介绍两个重要定理.二、柯西收敛准则理论中占有非常重要的地位.极限?其中,判断数列是否收敛,这在极限即极限的存在性问题;二是如何计算数列的问题：一是怎么知道一个数列是收敛的?返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、单调有界定理定理定理 2.7 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.证证 该命题的几何意义是十分明显的该命题的几何意义是十分明显的.单调增，有上界单
18、调增，有上界.由确界定理，存在由确界定理，存在由上确界的定义，对于任意的由上确界的定义，对于任意的使使存在存在()返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 设设求求解解这就证明了这就证明了返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此得到由此得到有上界有上界 2,由极限的不等式性由极限的不等式性,知道知道 ,所以所以下面再来证明此数列有上界下面再来证明此数列有上界.于是由于是由可得可得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 下面的叙述错在哪儿？下面的叙述错在哪儿？因为显然有因为显然有从而得出从而得出返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页是最基本的是
19、最基本的,而教材上的证法技巧性较强而教材上的证法技巧性较强.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此得由此得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*例例3证证证明证明:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、柯西收敛准则
20、定理定理 2.8 数列数列收敛的充要条件是收敛的充要条件是:柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为：柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为：满足上述条件的数列称为满足上述条件的数列称为柯西列柯西列.对任意对任意均有均有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页时时,有有证证此这里仅给出必要性的证明此这里仅给出必要性的证明.由此推得由此推得 柯西柯西(Cauchy,A.L.17891857,法国法国 )由于该定理充分性的证明需要进一步的知识，因由于该定理充分性的证明需要进一步的知识，因 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由柯西收敛准则的否定陈述由柯西收敛准则的否定陈述,可知可
21、知 发散发散.发散发散.证明证明例例5 5证证 取取使得使得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6求证求证证证 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例7证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页论上特别有用论上特别有用,大家将会逐渐体会到它的重要性大家将会逐渐体会到它的重要性.2.试给出试给出 an 不是柯西列的正面陈述不是柯西列的正面陈述.1.对于数列是否收敛的各种判别法加以总结对于数列是否收敛的各种判别法加以总结.复习思考题注注 柯西收敛准则的意义在于柯西收敛准则的意义在于:可以根据数列通可以根据数列通 项本身的特征来判断该数列是否收敛项本身的特征来判断该数列是否收敛,而不必依而不必依 赖于极限定义中的那个极限值赖于极限定义中的那个极限值 A.这一特点在理这一特点在理