《数学分析课件第四版华东师大研制--第18章-隐函数定理及其应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析课件第四版华东师大研制--第18章-隐函数定理及其应用.ppt（146页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.1 隐 函 数返回返回返回返回四、隐函数求导数举例 一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析 三、隐函数定理返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页方程式所确定的函数方程式所确定的函数,通常通常称为隐函数称为隐函数例如：例如：一、隐函数概念显函数：显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数例如：的函数称为显函数例如：隐函数：隐函数：自变
2、量与因变量之间的关系是由某一个自变量与因变量之间的关系是由某一个返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则成立恒等式则成立恒等式有惟一确定的有惟一确定的与之对应与之对应,能使能使 且满足方程且满足方程(1),则称由方程则称由方程(1)确定了一个定义在确定了一个定义在 ,值域含于值域含于的隐函数的隐函数.如果把此隐函数记为如果把此隐函数记为 隐函数一般定义：隐函数一般定义：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页取值范围例如由方程可确定如下两取值范围例如由方程可确定如下两 个函数：个函数：注注2 不是任一方程不是任一方程 都能确定隐函数都能确定隐函数,例如例如 显然不能确定任何隐
3、函数显然不能确定任何隐函数 注注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要 化为显函数上面把隐函数仍记为化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这，这 与它能否用显函数表示与它能否用显函数表示无关无关 注注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注5 在在2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.注注4 类似地可定义多元隐函数例如类似地可定义多元隐函数例如:由方程由方程 确定的隐函数确定的隐函数 由方程由方程 确定的隐函数确定的隐函数 等
4、等等等.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程条件时，由方程(1)能确定隐函数能确定隐函数 ,并使并使 下讨论下讨论问题问题：当函数：当函数 满足怎样一些满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等良好性质该隐函数具有连续、可微等良好性质?(a)把上述看作曲面把上述看作曲面 与坐标与坐标 平面的交线，故至少要求该交集非空，即平面的交线，故至少要求该交集非空，即 ，满足，满足 连续是合理的连续是合理的(b)为使为使 在在 连续，故要求连续，故要求 在点在点 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可见，是一个重要条件由此可见，是一个重要条件
5、点点 存在切线，而此切线是曲面存在切线，而此切线是曲面 在点在点 的切平面与的切平面与 的交线，故应要求的交线，故应要求 在在 (c)为使为使 在在 可导，即曲线在可导，即曲线在 点点 可微，且可微，且(d)在以上条件下，通过复合求导数在以上条件下，通过复合求导数,由由(1)得到得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、隐函数定理定理定理18.1(隐函数存在惟一性定理隐函数存在惟一性定理)设方程设方程(1)中中 的函数的函数 满足以下四个条件：满足以下四个条件：(i)在以在以 为内点的某区域为内点的某区域 上连续；上连续；(ii)(初始条件初始条件)；(iii)在在 内存在连续
6、的偏导数内存在连续的偏导数 ；(iv)则有如下结论成立：则有如下结论成立：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 上连续上连续惟一地确定了一个隐函数惟一地确定了一个隐函数 它满足：它满足：,且当且当 时时,使得使得 证证 首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性证明过程归结起来有以下四个步骤证明过程归结起来有以下四个步骤(见图见图181)：存在某邻域存在某邻域 ，在，在 内由方程内由方程(1)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(c)同号两边伸同号两边伸 (d)利用介值性利用介值性 (b)正、负上下分正、负上下分_+_0(a)一点正一点正,一片正一片正
7、+图图 181返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(a)“一点正一点正,一片正一片正”由条件由条件(iv),不妨设不妨设 因为因为 连续，所以根据连续，所以根据 保号性，保号性，使得使得 (a)一点正一点正,一片正一片正+返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(b)正、负上下分正、负上下分_+_0(b)“正、负上下分正、负上下分”因因 故故 把把 看作看作 的函数，它在的函数，它在 上上 严格增，且连续严格增，且连续(据条件据条件(i)特别对于函数特别对于函数 由条由条 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为 关于关于 连续，故由连续，故由 (b)的结论
8、，根据保号性，的结论，根据保号性，使得使得 (c)同号两边伸同号两边伸 (c)“同号两边伸同号两边伸”(d)“利用介值性利用介值性”因因 关于关于 连续连续,且严且严 格增，故由格增，故由(c)的结论，依据介值性定理的结论，依据介值性定理,存在惟存在惟 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(d)利用介值性利用介值性 满足满足一的一的 就证得存在惟一的隐函数就证得存在惟一的隐函数:由的任意性由的任意性,这这若记若记 则定理结论则定理结论 得证得证 下面再来证明上述隐函数的连续性下面再来证明上述隐函数的连续性:欲证上述欲证上述 在在 连续连续.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前
9、页前页类似于前面类似于前面(c)，使得使得由由 对对 严格增，而严格增，而 推知推知 .图图 182足够小，使得足够小，使得 如图如图 182 所示所示,取取返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 上处处连续上处处连续因此因此 在连续在连续.由的任意性由的任意性,便证得便证得 且当且当 时，有时，有 类似于前面类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有，由于隐函数惟一，故有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注1 定理定理 18.1 的条件的条件(i)(iv)仅是充分条件仅是充分条件,又又 是一组十分重要的条件是一组十分重要的条件.例如：例如：在点在点 虽虽 不满足条
10、件不满足条件(iv)，但仍能确定惟一的隐函数，但仍能确定惟一的隐函数 (双纽线双纽线),在在 点点 同样不满足同样不满足条件条件(iv);如图如图183 所示所示,在该点无论多在该点无论多图图 183么小的邻域内么小的邻域内,确实确实 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，的作用的作用二则是在后面的定理二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性中它们还将起到实质性 注注3 读者必须注意读者必须注意,定理定理 18.1 是一个是一个局部性局部性的隐的隐 函数存在定理例如从以上双纽线图形看出函数存
11、在定理例如从以上双纽线图形看出:除了除了 三点以外三点以外,曲线上其余各点处都曲线上其余各点处都 注注 2 条件条件(iii)、(iv)在证明中只是用来保证在邻在证明中只是用来保证在邻 域域 内内 关于为严格单调之所以采关于为严格单调之所以采 不能确定惟一的隐函数不能确定惟一的隐函数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页存在局部隐函数存在局部隐函数 (这不难用定理这不难用定理 18.1 加加 以检验，见后面第四段的例以检验，见后面第四段的例)注注4 在方程在方程 中中,与与 的地位是平等的地位是平等 的的.当条件当条件(iii)、(iv)改为改为 时，将存在局部的连续隐函数时，将存
12、在局部的连续隐函数 连续连续,且且“”返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 18.2(隐函数可微性定理隐函数可微性定理)设函数设函数 满满 足定理足定理 18.1 中的条件中的条件(i)(iv),在在 内还存在连内还存在连 续的续的 .则由方程则由方程 所确定的隐所确定的隐 函数函数 在在 I 内有连续的导函数，且内有连续的导函数，且(注注:其中其中示于定理示于定理18.1 的证明的证明(d).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页使用微分中值定理使用微分中值定理,使得使得 证证 设则设则 由条件易知由条件易知 F 可微，并有可微，并有 返回返回返回返回后页后页后
13、页后页前页前页前页前页显然也是连续函数显然也是连续函数因因 都是连续函数都是连续函数,故故 时时并有并有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(3)注注1 当当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函存在二阶连续偏导数时，所得隐函 数也二阶可导应用两次复合求导法，得数也二阶可导应用两次复合求导法，得 将将(2)式代入上式，经整理后得到式代入上式，经整理后得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注2 利用公式利用公式(2),(3)求隐函数的极值求隐函数的极值:(a)求使求使 的点的点 ,即即 的解的解(b)在点在点 处因，而使处因，而使(3)式化简为式化简为 (4)(c)由极
14、值判别法由极值判别法,当当 时时,隐函数隐函数 在在 取得极大值取得极大值(或极小值或极小值)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页设在以点设在以点 为内点的某区域为内点的某区域 上上,则存在某邻域则存在某邻域 在其内存在惟一的、连在其内存在惟一的、连 续可微的隐函数续可微的隐函数 ，且有，且有注注3 由方程由方程 (5)确定隐函数的相关定理简述如下：确定隐函数的相关定理简述如下：F 的所有一阶偏导数都连续，并满足的所有一阶偏导数都连续，并满足 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(6)更一般地，由方程更一般地，由方程 确定隐函数确定隐函数 的相关定理的相关定理,见教见教
15、 材下册材下册 p.149 上的上的定理定理18.3,这里不再详述这里不再详述.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页各点处都能确定局部的隐函数各点处都能确定局部的隐函数例例1 讨论笛卡儿叶形线讨论笛卡儿叶形线(图图184)(7)所确定的隐函数所确定的隐函数 的存在的存在 性，并求其一阶、二阶导数性，并求其一阶、二阶导数 解解 令令 先求出在曲线先求出在曲线(7)上使上使 的点为的点为 .除此两点外除此两点外,方程方程(7)在其他在其他 图图 184四、隐函数求导数举例 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页然后再算出然后再算出:为了使用公式为了使用公式(3),先算出先算出
16、:由公式由公式(2)求得求得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页平切线和垂直切线平切线和垂直切线类似于例类似于例1 的方法的方法,求出曲线上使求出曲线上使 的点为的点为 在几何上，它是两条曲线在几何上，它是两条曲线 和和的交点的交点(见图见图).容易验证容易验证 所以所以 隐函数在点隐函数在点 取得极大值取得极大值 以上讨论同时说明以上讨论同时说明,该曲线在点该曲线在点 和和 分别有水分别有水 例例2 试求由方程试求由方程 所确定的隐所确定的隐 函数函数 在点在点 处的全微分处的全微分 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前
17、页解法解法 1(形式计算法形式计算法)对方程两边微分，得对方程两边微分，得将将 代入，又得代入，又得 解法解法 2(隐函数法隐函数法)设设 由于由于 上处处连续上处处连续,而而 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此在点因此在点 P 附近能惟一地确定连续可微的隐函数附近能惟一地确定连续可微的隐函数 且可求得它的偏导数如下：且可求得它的偏导数如下：以以 代入代入,便得到便得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页,故将此两式相加便得所需结果故将此两式相加便得所需结果.例例 3 设设 是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数,其中其中 F 具有连续的二阶偏导数具有连
18、续的二阶偏导数,试证试证:证证 易知易知 于是有于是有 由此得到由此得到 再分别对再分别对 x 与与 y 求偏导数求偏导数,又得又得 因在假设条件下因在假设条件下,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1在隐函数的定义中，为什么强调必须指出在隐函数的定义中，为什么强调必须指出3设能确定连续可微的隐函数设能确定连续可微的隐函数:(由此能说明些什么由此能说明些什么?)验证：验证：2在定理在定理 18.1 对隐函数连续性进行证明时，对隐函数连续性进行证明时，复习思考题因变量的取值范围？因变量的取值范围？(结合例题加以说明结合例题加以说明.)最后为什么要用到隐函数的惟一性？最后为什么要用到隐
19、函数的惟一性？返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4.试对例试对例3 的两种解法的两种解法(形式计算法与隐函数形式计算法与隐函数 法法)作一比较作一比较,指出两者各有哪些优缺点指出两者各有哪些优缺点?返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 隐 函 数 组 隐函数组的存在性、连续性与可微性,是函数方程组求解问题的理论基础.利用隐函数组的思想,又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题.一、隐函数组概念 二、隐函数组定理 三、反函数组与坐标变换返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、隐函数组概念 设有一组方程设有一组方程 使得对于任给的使得对于任给的 足方程组足方
20、程组(1),则称由则称由(1)确定了隐函数组确定了隐函数组 有惟一的有惟一的 与之对应与之对应,且使且使满满其中函数其中函数 定义在区域定义在区域 若存在区域若存在区域 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页并有并有 关于隐函数组的一般情形关于隐函数组的一般情形(含有含有 m+n 个变量的个变量的 m 个方程所确定的个方程所确定的 n 个隐函数个隐函数)，将在第二十三，将在第二十三章采用向量函数的形式作进一步讨论章采用向量函数的形式作进一步讨论 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页首先来看看首先来看看,若由方程组若由方程组(1)能确定两个可微的隐能确定两个可微的隐 函数函
21、数 ,则函数则函数 应满应满 足何种条件呢足何种条件呢?不妨先设不妨先设 都可微都可微,由复合求导法由复合求导法,通过对通过对(1)分别求关于分别求关于 x 与与 y 的偏导数的偏导数,得到得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页能由能由(2)与与(3)惟一解出惟一解出 的充要的充要 条件是雅可比条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即行列式不等于零，即 由此可见，只要由此可见，只要 具有连续的一阶偏导数，且具有连续的一阶偏导数，且 其中其中 是满足是满足(1)的某一的某一 初始点初始点,则由保号性定理，则由保号性定理，使得在此邻域使得在此邻域 内内(4)式成立式成立 根据
22、以上分析根据以上分析,便有下述隐函数组定理便有下述隐函数组定理.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 雅可比（雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国德国 ）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 18.4(隐函数组定理隐函数组定理)设方程组设方程组(1)中的函数中的函数 F 与与 G 满足下列条件：满足下列条件：(i)在以点在以点 为内点的某区域为内点的某区域 上连续；上连续；(ii)(初始条件初始条件);(iii)在在 V 内存在连续的一阶偏导数；内存在连续的一阶偏导数；(iv)二、隐函数组定理 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前
23、页即有即有 则有如下结论成立：则有如下结论成立：且满足且满足 必定存在邻域必定存在邻域 其中其中 使得使得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 上连续上连续.在在 上存在一阶连续偏导上存在一阶连续偏导 数数,且有且有 本定理的详细证明从略本定理的详细证明从略(第二十三章有一般隐函第二十三章有一般隐函 数定理及其证明数定理及其证明),下面只作一粗略的解释下面只作一粗略的解释:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 由方程组由方程组(1)的第一式的第一式 确定隐确定隐 函数函数 将将 代入方程组代入方程组(1)的第二式的第二式,得得 再由此方程确定隐函数再由此方程确定隐
24、函数 并代回至并代回至 这样就得到了一组隐函数这样就得到了一组隐函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页通过详细计算通过详细计算,又可得出如下一些结果又可得出如下一些结果:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 设有方程组设有方程组 试讨论在点试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函的近旁能确定怎样的隐函 数组？并计算各隐函数在点数组？并计算各隐函数在点 处的导数处的导数.解解 易知点易知点 满足方程组满足方程组(5).设设 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页它们在它们在 上有连续的各阶偏导数上有连续的各阶偏导数.再考察再考察 在点在点 关于所有变量的雅可
25、比矩阵关于所有变量的雅可比矩阵 由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此由隐函数组定理可知因此由隐函数组定理可知,在点在点 近旁可以惟一近旁可以惟一 地确定隐函数组地确定隐函数组:但不能肯定但不能肯定 y,z 可否作为可否作为 x 的两个隐函数的两个隐函数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页运用定理运用定理 18.4 的结论的结论 ,可求得隐函数在点可求得隐函数在点 处处 的导数值的导数值:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*注注 通过详细计算通过详细计算,还能求得还能求得 这说明这说明 处取极大值处取极大值,从而知道从而知道 在点在点 的任意小
26、邻域内的任意小邻域内,对每一个对每一个 x 的值的值,会有会有 多个多个 y 的值与之对应的值与之对应.类似地类似地,对每一个对每一个 x 的值的值,也会有多个也会有多个 z 的值与之对应的值与之对应.所以方程组所以方程组(5)在点在点 近旁不能惟一确定以近旁不能惟一确定以 x 作为自变量的隐函数组作为自变量的隐函数组.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例 2 设函数设函数 具有连续的偏导数具有连续的偏导数,是由方程组是由方程组 所确定的隐函数组所确定的隐函数组.试求试求 解解 设设 则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此计算所需之雅可比行列式由此计算所
27、需之雅可比行列式:于是求得于是求得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 计算隐函数组的偏导数计算隐函数组的偏导数(或导数或导数)比较繁琐比较繁琐,要学懂前两例所演示的方法要学懂前两例所演示的方法(利用雅可比矩阵和利用雅可比矩阵和 雅可比行列式雅可比行列式),掌握其中的规律掌握其中的规律.这里特别需要这里特别需要 “精心精心细心细心耐心耐心”.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、反函数组与坐标变换 设有一函数组设有一函数组 它确定了一个映射它确定了一个映射(或变换或变换):写成点函数形式写成点函数形式,即为即为 并记并记 的的 象集为象集为 现在的问题是现在的问
28、题是:函数组函数组(6)满足满足 何种条件时何种条件时,存在逆变换存在逆变换 即存在即存在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页亦即存在一个函数组亦即存在一个函数组 使得满足使得满足 这样的函数组这样的函数组(7)称为函数组称为函数组(6)的的反函数组反函数组.它它 的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为此为此,首先把方程组首先把方程组(6)改写为改写为 然后将定理然后将定理 18.4 应用于应用于(8),即得下述定理即得下述定理.定理定理 18.5(反函数组定理反函数组定理)设设(6
29、)中函数在某区域中函数在某区域 上具有连续的一阶偏导数上具有连续的一阶偏导数,是是 的内点的内点,且且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则在点则在点 的某邻域的某邻域 内内,存在惟一存在惟一 此外此外,反函数组反函数组(7)在在 内存在连续的一阶内存在连续的一阶 的一组反函数的一组反函数(7),使得使得偏导数偏导数;若记若记返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则有则有 同理又有同理又有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由(9)式进一步看到式进一步看到:此式表示此式表示:互为反函数组的互为反函数组的(6)与与(7),它们的雅它们的雅 可比行列式互为倒
30、数可比行列式互为倒数.这和以前熟知的反函数求这和以前熟知的反函数求 导公式相类似导公式相类似,亦即一元函数的导数和函数组亦即一元函数的导数和函数组(6)的雅可比行列式互为对应物的雅可比行列式互为对应物.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 平面上点的直角坐标平面上点的直角坐标 与极坐标与极坐标 之之 间的坐标变换为间的坐标变换为 试讨论它的逆变换试讨论它的逆变换.解解 由于由于因此除原点因此除原点(r=0)外外,在其余一切点处在其余一切点处,T 存在存在 逆变换逆变换 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 空间
31、直角坐标空间直角坐标 与球坐标与球坐标 之间之间 的坐标变换为的坐标变换为(见右图见右图)由于由于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此在因此在 (即除去即除去 Oz 轴上的一切点轴上的一切点)时时,存在逆变换存在逆变换 例例5 设有一微分方程设有一微分方程(弦振动方程弦振动方程):其中其中 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数.试问此方程在试问此方程在 坐标变换坐标变换 之下之下,将变成何将变成何 种形式种形式?返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 据题意据题意,是要把方程是要把方程(10)变换成以变换成以 u,v 作为自作为自 变量的形式变量的形式.现在按此
32、目标计算如下现在按此目标计算如下:首先有首先有 故故 T 的逆变换存在的逆变换存在,而且又有而且又有 依据一阶微分形式不变性依据一阶微分形式不变性,得到得到 并由此推知并由此推知 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页继续求以继续求以 u,v 为自变量的为自变量的 与与 的表达式的表达式:最后得到以最后得到以 u,v 为自变量的为自变量的 微分方程为微分方程为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1.验证验证:定理定理 18.4 的结论的结论 可以写成可以写成 2.验证验证:由定理由定理 18.5 的的(9)式式(课本中为课本中为(13)式式)可以推得可以推得
33、 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 在本节中所讨论的曲线和曲面,由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的,因此 在求它们的切线或切平面时,都要用到隐函 数(组)的微分法.3 几 何 应 用一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、平面曲线的切线与法线 曲线曲线 L：条件：条件：上一点上一点,近旁近旁,F 满足满足 隐函数定理条件隐函数定理条件,可确定可微的隐函数可确定可微的隐函数:处的切线：处的切线：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页总之总之,当当 例例1 求笛卡儿叶形线求
34、笛卡儿叶形线 在点在点 处的切线与法线处的切线与法线.解解 设设 由由1 例例 2 的讨的讨 论论 近旁满足隐函数定理近旁满足隐函数定理 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的条件的条件.容易算出容易算出 于是所求的切线与法线分别为于是所求的切线与法线分别为 例例2 用数学软件画出曲线用数学软件画出曲线 的图象；并求该曲线在点的图象；并求该曲线在点处的处的 切线与法线切线与法线.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 在在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令指令窗内执行如下绘图指令:syms x,y;ezplot(x2+y-sin(x*y),-4,4,-8,1);
35、就立即得到曲线就立即得到曲线 L 的图象的图象(见本例末页见本例末页).令令 容易求出容易求出:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此得到由此得到 L 在点在点 处的切线与法线分别为：处的切线与法线分别为：若在上面的若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指指令窗里继续输入如下指 令令,便可画出上述切线与法线的图象便可画出上述切线与法线的图象(如图如图).hold on;a=(pi)(1/3);b=a2;ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b);ezplot(1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前
36、页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 设一般二次曲线为设一般二次曲线为 试证试证 L 在点在点 处的切线方程为处的切线方程为 证证 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此得到所求切线为由此得到所求切线为 利用利用 满足曲线满足曲线 L 的方程的方程,即即 整理后便得到整理后便得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、空间曲线的切线与法平面 先从参数方程表示的曲线开始讨论先从参数方程表示的曲线开始讨论.在第五章在第五章3 已学过已学过,对于平面曲线对于平面曲线若若 是其上一点是其上一点,则曲线则曲线 在点在点 处的切线为处的切线为 下面讨论空间曲
37、线下面讨论空间曲线.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(A)用参数方程表示的空间曲线用参数方程表示的空间曲线:类似于平面曲线的情形类似于平面曲线的情形,不难求得不难求得 处的切线为处的切线为 过点过点 且垂直于切线且垂直于切线 的平面的平面 ,称为曲线称为曲线 L 在点在点 处的处的法平面法平面.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为切线因为切线 的方向向量即为的方向向量即为 法平面法平面 的法向量的法向量,所以法所以法 平面的方程为平面的方程为 (B)用直角坐标方程表示的空间曲线：用直角坐标方程表示的空间曲线：设设 近旁具有连续的近旁具有连续的 一阶偏导数一阶偏导
38、数,且且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页不妨设不妨设 于是存在隐函数组于是存在隐函数组 这也就是曲线这也就是曲线 L 以以 z 作为参数的一个参数方程作为参数的一个参数方程.根据公式根据公式(2),所求切线方程为所求切线方程为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页应用隐函数组求导公式应用隐函数组求导公式,有有 于是最后求得切线方程为于是最后求得切线方程为 相应于相应于(3)式的法平面方程则为式的法平面方程则为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例 4 求空间曲线求空间曲线 在点在点 处的切线和法平面处的切线和法平面.解解 容易求得容易求得 故切向向
39、量为故切向向量为 由此得到切线方程和法平面方程分别为由此得到切线方程和法平面方程分别为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 syms t;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);ezplot3(x,y,z,-2*pi,2*pi)绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5 求曲线求曲线 在点在点 处的切线与法平面处的切线与法平面.解解 曲线曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线是一球面与一圆锥面的交线.令令 根据公式根据公式
40、(5)与与(6),需先求出切向向量需先求出切向向量.为此计算为此计算 F,G 在点在点 处的雅可比矩阵处的雅可比矩阵:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此得到所需的雅可比行列式由此得到所需的雅可比行列式:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页故切向向量为故切向向量为 据此求得据此求得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 三、曲面的切平面与法线 以前知道以前知道,当当 f 为可微函数时为可微函数时,曲面曲面 z=f(x,y)在点在点 处的切平面为处的切平面为 现在的新问题是现在的新问题是:曲面曲面 由方程由方程 给出给出.若点若点 近旁近旁 具有连续的一阶
41、偏导数具有连续的一阶偏导数,而且而且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页不妨设不妨设 则由方程则由方程(7)在点在点 近旁惟一近旁惟一 地确定了连续可微的隐函数地确定了连续可微的隐函数 因为因为 所以所以 在在 处的切平面为处的切平面为 又因又因(8)式中非零元素的不指定性式中非零元素的不指定性,故切平面方程故切平面方程 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一般应写成一般应写成 随之又得到所求的法线方程为随之又得到所求的法线方程为 回顾回顾 1 现在知道现在知道,函数函数 在点在点 P 的梯度的梯度 其实就是等值面其实就是等值面 在点在点 P 的法向量的法向量:返回返
42、回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页回顾回顾 2 若把用方程组若把用方程组(4)表示的空间曲线表示的空间曲线 L 看作看作 曲面曲面 的交线的交线,则则 L 在在 点点 的切线与此二曲的切线与此二曲 面在面在 的法线都相垂的法线都相垂 直直.而这两条法线的而这两条法线的 方向向量分别是方向向量分别是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页故曲线故曲线(4)的切向向量可取的切向向量可取 的向量积的向量积:这比前面导出这比前面导出(5),(6)两式的过程更为直观两式的过程更为直观,也容也容 易记得住易记得住.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 求旋转抛物面求旋转
43、抛物面 在点在点 解解 令令 则曲面的法向量为则曲面的法向量为 处的切平面和法线处的切平面和法线.从而由从而由(9),(10)分别得到切平面为分别得到切平面为 法线为法线为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页()例例7 证明证明:曲面曲面 的任一切平的任一切平 面都过某个定点面都过某个定点(这里这里 f 是连续可微函数是连续可微函数).()证证 令令 则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页()于是曲面在其上任一点于是曲面在其上任一点 处的法向量处的法向量 可取为可取为 由此得到切平面方程由此得到切平面方程:将点将点 代入上式代入上式,得一恒等式得一恒等式:返回返
44、回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这说明点这说明点 恒在任一切平面上恒在任一切平面上.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、用参数方程表示的曲面 曲面也可以用如下双参数方程来表示曲面也可以用如下双参数方程来表示:这种曲面可看作由一族曲线所构成这种曲面可看作由一族曲线所构成:每给定每给定 v 的一的一 个值个值,(11)就表示一条以就表示一条以 u 为参数的曲线为参数的曲线;当当 v 取取 某个区间上的一切值时某个区间上的一切值时,这许多曲线的集合构成了这许多曲线的集合构成了一个曲面一个曲面.现在要来求出这种曲面的切平面和法线现在要来求出这种曲面的切平面和法线的方程的方程.
45、为此假设为此假设且且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(11)式中三个函数在式中三个函数在 近旁都存在连续的一阶偏近旁都存在连续的一阶偏 导数导数.因为因为 在在 处的法线必垂直于处的法线必垂直于 上过上过 的的 任意两条曲线在任意两条曲线在 的切线的切线,所以只需在所以只需在 上取两条特上取两条特 殊的曲线殊的曲线(见图见图):它们的切向量分别为它们的切向量分别为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则所求的法向量为则所求的法向量为 至此至此,不难写出切平面方程和法线方程分别为不难写出切平面方程和法线方程分别为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解
46、 先计算在点先计算在点 处的法向处的法向 例例8 设曲面的参数方程为设曲面的参数方程为 试对此曲面的切平面作出讨论试对此曲面的切平面作出讨论.量量:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此看到由此看到,当当 时时 说明在曲面说明在曲面(12)而当而当 时时,法向量可取法向量可取 上存在着一条曲线上存在着一条曲线,其方程为其方程为 在此曲线上各点处在此曲线上各点处,曲面不存在切平面曲面不存在切平面,我们称这我们称这 种曲线为该曲面上的一条种曲线为该曲面上的一条奇线奇线.与之对应的切平面则为与之对应的切平面则为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页法线则为法线则为当动点当动
47、点 趋于奇线趋于奇线(13)上上的点的点 时时,法向量法向量 存在极限存在极限:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页此点处此点处 不存在法不存在法 此时切平面存在极限位置此时切平面存在极限位置:有时需要用此有时需要用此“极限切平面极限切平面”来补充定义奇线上的来补充定义奇线上的 切平面切平面.注注 曲面上的曲面上的孤立奇点孤立奇点往往是曲面的尖点往往是曲面的尖点,如圆锥如圆锥 面面的顶点的顶点 在在 线和切平面线和切平面.而曲面上的而曲面上的奇线奇线,则往往是该曲面的则往往是该曲面的 “摺线摺线”、“边界线边界线”或是曲面自身的或是曲面自身的“交叉线交叉线”.返回返回返回返回后页后
48、页后页后页前页前页前页前页曲面曲面(12)及其奇线及其奇线(边界线边界线)的图象如下的图象如下:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义 若若 存在连续的一阶偏导数存在连续的一阶偏导数,且满足且满足 则称曲面则称曲面 为为 一一光滑曲面光滑曲面.对于用双参数方程对于用双参数方程(11)表示的曲面表示的曲面,应如何定义应如何定义 它为光滑曲面它为光滑曲面?请读者自行考虑请读者自行考虑.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1.模仿例模仿例2、例、例4,使用数学软件使用数学软件(例如例如 MATLAB)分别绘出例分别绘出例1 中的曲线和例中的曲线和例8 中的曲
49、面中的曲面.自几何对象的计算公式也不同自几何对象的计算公式也不同.试考虑怎样才能较试考虑怎样才能较2.曲线或曲面由于它们表示形式的不同曲线或曲面由于它们表示形式的不同,导致各导致各 容易地记住这许多公式容易地记住这许多公式?3.光滑曲面有怎样的几何特征光滑曲面有怎样的几何特征?对于用参数方程对于用参数方程 (11)表示的曲面表示的曲面,应如何定义它为光滑曲面应如何定义它为光滑曲面?返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为什么说是一条边界线为什么说是一条边界线?4.例例8 所讨论的曲面上所讨论的曲面上,对应于对应于 的那条奇线的那条奇线返回返回后页后页前页前页4 条 件 极 值 条件极
50、值问题的特点是:极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制.解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法.条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证明或建立不等式.一、问 题 引 入二、拉格朗日乘数法 三、应 用 举 例返回返回后页后页前页前页一、问 题 引 入 很多极值问题很多极值问题,目标函数的自变量不能在其定义目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化域上自由变化,而是要受到某些条件的约束而是要受到某些条件的约束.例例1 要设计一个容积为要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱的长方形无盖水箱,试试 问长、宽、高各等于多少时问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到可使得表面积达到 最小最小?