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1、 1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1.1.2 2余弦定理余弦定理永胜县第一中学永胜县第一中学-杨枝仙杨枝仙实际应用问题实际应用问题:隧道工程设计，经常需隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当术人员先在地面上选一适当位置位置A A，量出，量出A A到山脚到山脚B B，C C的的距离，再利用经纬仪（测角距离，再利用经纬仪（测角仪）测出仪）测出A A对山脚对山脚BCBC的张角，的张角，最后通过计算求出山脚的长最后通过计算求出山脚的长度度BCBC。BCA问题引入问题引入转化为数学问题转化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。已知三角形
2、的两边及它们的夹角，求第三边。问题引入问题引入BCAa.当当 时，已时，已知知 的长，我们的长，我们应该如何计算应该如何计算BC的长的长？由勾股定理得由勾股定理得问题引入问题引入BCAb.当当 时，已知时，已知 的长，以及角的长，以及角A的度数，那么我们又应的度数，那么我们又应该如何计算该如何计算BC的长？的长？定理探究定理探究探究：探究：在在ABC中中AB，BC，CA的长分别为的长分别为 ，根据图形探究下列问题：，根据图形探究下列问题：BAC 三角形的三边和其中一个角之间有什么样三角形的三边和其中一个角之间有什么样的关系？的关系？向量的数量积向量的数量积：向量的减法法则：向量的减法法则：知识
3、回顾知识回顾BAC 起点相同，连终点，起点相同，连终点，差向量指向被减向量差向量指向被减向量.定理探究定理探究 三角形的三边和其中一个角之间有什么样三角形的三边和其中一个角之间有什么样的关系？的关系？BAC定理探究定理探究BAC定理探究定理探究类似可证：类似可证：概念引入概念引入余弦定理：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍积的两倍.即：即：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广勾股定理的推广.问题问题2：公式的结构特征怎
4、样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;剖剖 析析 定定 理理（2）每个等式中有同一个三角形中的四）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）问题问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？定理分析定理分析例题讲解例题讲解BCAb.当当 时，已知时，已知 的长，以及角的长，以及角A的的度数，那么我们又应该如何度数，那么我们又应该如何计算计算BC的长？的长？(不妨假设不妨假设AB=6，AC=3，A=600)例：例：在三角形在三角形ABC中，已知中，已知b=3，c=6，A=600求求a的值。的值。例题讲
5、解例题讲解解：解：例：例：在三角形在三角形ABC中，已知中，已知b=3，c=6，A=600求求a的值。的值。BCA课堂练习课堂练习练习练习1：在在 中，中，已知已知a=8，b=3，C=600求求c的值的值.解：解：BAC课堂练习课堂练习练习练习2：在在 中中,已知已知 求：求：解：解：思考余弦定理可以解决什么样的问题？余弦定理可以解决已知三角形的两边及它余弦定理可以解决已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边的问题们的夹角，求第三边的问题.思考：思考：如果已知三角形的三边应如何求三角如果已知三角形的三边应如何求三角形的三角呢？形的三角呢？课堂小结课堂小结余弦定理：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍积的两倍.即：即：课后作业课后作业作业作业1：在在 中，已知中，已知a=8，b=3，C=600求求c的值的值.作业作业2：在在 中，已知中，已知b=4，c=3,A=1200求求a的值的值.思考：思考：如果已知三角形的三边应如何求三角如果已知三角形的三边应如何求三角形的三角呢？形的三角呢？谢谢！谢谢！