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1、新马国际学校新马国际学校 数学备课组数学备课组1.2.1.2.余弦定理余弦定理 （1 1）一、问题提出一、问题提出在三角形中在三角形中,已知两角及一边已知两角及一边,或已或已知两边及其中一边的对角知两边及其中一边的对角,可以利可以利用正弦定理求其他的边和角用正弦定理求其他的边和角,那么那么,已知两边及其夹角已知两边及其夹角,怎么求出此角怎么求出此角的对边呢的对边呢?已知三边已知三边,又怎么求出它又怎么求出它的三个角呢的三个角呢?二、二、分析理解分析理解即即同理可证同理可证如图所示，根据向量的数量积，可以得到cabBAC思考：回顾正弦定理的证明你还有没思考：回顾正弦定理的证明你还有没 有其它的证
2、明方法？有其它的证明方法？（1）坐标法）坐标法（2）直角三角形的边角关系）直角三角形的边角关系（3）正弦定理（三角变换）正弦定理（三角变换）三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理余弦定理公式变形公式变形例例1.如图，在如图，在ABC中，已知中，已知a=5，b=4，C=120，求，求c.解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得因此因此三、典型例题三、典型例题变式训练：变式训练：变式训练：变式训练：总结：总结：利用余弦定理，可以解决以下两利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角
3、形的问题：类解斜三角形的问题：(1).(1).已知三边，求三个角已知三边，求三个角(2).(2).已知两边和它们的夹角，已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角求第三边和其它两个角变式训练：变式训练：例例2.利用余弦定理证明，利用余弦定理证明，在在ABC中，中，变式训练：变式训练：例例3.求证：求证：在在ABC中，中，证明：由余弦定理，得证明：由余弦定理，得同理可证，其余两式。同理可证，其余两式。注：此关系式也叫注：此关系式也叫射影定理射影定理例例4.如图如图2-10所示，有两条直线所示，有两条直线AB和和CD 相交成相交成80 角，交点角，交点是是O，甲、乙两人同时从点，甲、乙两人同时从点
4、O分别沿分别沿OA，OC方向出发，速方向出发，速度分别是度分别是4km/h，4.5km/h。3时后两人相距多远（精确到时后两人相距多远（精确到0.1km）？）？ODAQCBP80解解 经过3时后，甲到达点P，OP=43=12（km），乙到达点Q，OQ=4.53=13.5（km）。依余弦定理，知PQA A变式训练：变式训练：A AB BC CD D1.1.余弦定理余弦定理课堂小结课堂小结3.3.解决的问题：解决的问题：2.2.公式变形：公式变形：(1).(1).已知三边，求三个角已知三边，求三个角(2).(2).已知两边和它们的夹角，已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角求第三边和其它两个角再再见见，谢谢谢谢！