第二章：控制理论的数学模型.ppt

《第二章：控制理论的数学模型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章：控制理论的数学模型.ppt（96页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第二章：控制理论的数学模型,南京工程学院 先进数控技术江苏省高校重点实验室 汪木兰 付肖燕 (E-mail：) (QQ：315136764) 2013年03月,第二章：控制理论的数学模型,一、什么叫数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、数学模型的种类？ 四、如何求数学模型？,第二章：控制理论的数学模型,一、数学模型，是指系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 二、建立数学模型，有助于对系统从理论上进行性能分析。反之，设计系统时，可以先设计数学模型，然后根据数学模型设计实际系统。,第二章：控制理论的数学模型,三、数学模型种类：

2、 1、时域的数学模型：微分方程 2、复数域数学模型：传递函数 3、结构模型：传递函数的方块图 4、频率域的数学模型：频率特性方式,第二章：控制理论的数学模型,四、数学模型的求法： 1.解析法 2.经验法 3.实验法,第二章：控制理论的数学模型,章节安排 2-1 系统的微分方程 2-2 非线性数学模型的线性化 2-3 拉氏变换与反变换 2-4 传递函数 2-5 传递函数的方块图与运算,2-1 系统的微分方程,一、线性系统微分方程的标准形式：,系统输入。,式中： 系统输出 ;,2-1 系统的微分方程,2-1 系统的微分方程,二、微分方程的列写步骤 1分析系统工作原理，找出输入、输出及中间变量的关系

3、； 2从系统输入端开始，依次列写出各元件（环节）的运动方程； 3将各运动方程构成微分方程，消去中间变量。 4.化成标准形式（输出量和输入量的各导数项按降阶排列）,2-1 系统的微分方程,三、例题 例2-1 动力滑台：质量弹簧阻尼系统,2-1 系统的微分方程,例2-2 R-L-C电路,2-1 系统的微分方程,例2-3,2-1 系统的微分方程,四、小结 1.比较例2-1至例2-4，物理本质不同的系统，可以有相似的数学模型。反之，同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 2.从控制论角度，可以抛开系统的物理属性，对系统的数学模型进行分析研究。 3.掌握系统微分方程的列些方法 4.作业：2-2,2

4、-2 非线性数学模型的线性化,非线性 现象,2-2 非线性数学模型的线性化,线性化方法 1、忽略弱的非线性因素 2、小偏差法：泰勒展开,2-3 拉氏变换与反变换,一、拉氏变换的意义 1.拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程（传递函数）。 2.有了拉氏变换，才有了传递函数，我们就可以用传递函数的零极点以及频率特性对系统进行分析。,2-3 拉氏变换与反变换,二、拉氏变换的定义 函数 在 时有定义，且 在任一有限区间上 是连续的或至少是分段连续的，则函数 的拉氏变 换定义为 ，其中 称为函数

5、的拉氏变换，记为 称为 的原函数； 称为 的象函数。,2-3 拉氏变换与反变换,三、拉氏反变换的定义 已知 ，欲求原函数 时，则称为拉氏 反变换。记为 即,2-3 拉氏变换与反变换,四、典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数,2-3 拉氏变换与反变换,2.指数函数,2-3 拉氏变换与反变换,3.正弦函数和余弦函数 正弦函数： 余弦函数：,2-3 拉氏变换与反变换,4.单位脉冲函数 5. 单位斜坡函数,2-3 拉氏变换与反变换,6.单位抛物线函数 7.幂函数,2-3 拉氏变换与反变换,五、拉氏变换主要性质（定理） 1.叠加性质 （1）齐次性 例：,2-3 拉氏变换与反变换,（2）叠加性 例：,2-

6、3 拉氏变换与反变换,2.微分定理 若 ， 则 ； 当 ， 有,2-3 拉氏变换与反变换,例：利用微分定理求 由于,2-3 拉氏变换与反变换,3.积分定理 若 ，则 例,2-3 拉氏变换与反变换,4.延迟定理（时间域的位移）,2-3 拉氏变换与反变换,例1 例2,2-3 拉氏变换与反变换,5.复数域的位移定理（位移性） 若 ，则 或 例1： 例2：,2-3 拉氏变换与反变换,6.初值定理 若 ，则 例 已知 ，求 由初值定理知：,2-3 拉氏变换与反变换,7.终值定理 当 ，且 存在时， 则 例：已知 ，求,2-3 拉氏变换与反变换,8.相似定理 若 ，则 9.卷积定理 设 、 的拉氏变换为

7、、 ，,2-3 拉氏变换与反变换,六、拉氏反变换的数学方法：部分分式法 设 1.将 化为真分式； 2.对 进行因式分解，得到 其中 称为 的极点。,2-3 拉氏变换与反变换,3.根据以下三种情况求 的各项系数； （1） 的极点为各不相同的实数时； （2） 的极点含有共轭复数时； （3） 的极点有重复时。 4.根据拉氏反变换的叠加原理求原函数。,2-3 拉氏变换与反变换,七、应用拉氏变换与反变换求解微分方程 1.对微分方程进行拉氏变换； 2.整理并得出输出变量的复数域表达式； 3.对输出变量的复数域表达式应用部分分式法进行 拉氏反变换，求得微分方程在时间域的解。,2-3 拉氏变换与反变换,小结：

8、 1.理解拉氏变换的含义及主要定理，要会应用拉氏 变换的主要定理及反变换部分分式法对微分方程进 行求解。 2.作业2-4。,2-4 传递函数,为什么要建立传递函数模型？ 1.在微分方程模型中，只能通过求解，才能对控制 系统的性能进行分析，而求解过程比较繁琐复杂； 2. 传递函数免去了求解微分方程的麻烦，可以在复 平面上画出传递函数的曲线形状，通过形状直接判 断系统性能。, 2-4 传递函数,一、传递函数的定义 1.对于线性定常系统，在零初始条件下，系统的输出 量的拉氏变换 与引起该输出的输入量的拉氏变换 之比，称为系统的传递函数 ，即 2.输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态 ，即 时

9、，输出量及其各阶导数也均为0；, 2-4 传递函数,3.设线性定常系统的微分方程为： 则零初始条件下对数学微分方程做拉氏变换： 系统的传递函数：, 2-4 传递函数,4.输出的拉氏变换： 时域中的输出：, 2-4 传递函数,二、传递函数的零极点 传递函数分子分母多项式进行因式分解： 式中 是分子多项式的零点，即传递函数的零点； 是分母多项式的零点，称为传递函数的极点（微 分方程特征根）。 传递函数的零点和极点可以是实数也可以是复数。 其中 称为传递系数或根轨迹增益。, 2-4 传递函数,三、传递函数的特点 1. 传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量 之间关系的表达式，它只取决于系统或原件

10、的结构和 参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的 任何信息。 2. 传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统 的固有特性；分子代表输入与系统的关系，而与输入 量无关，因此传递函数表达了系统本身的固有特性。, 2-4 传递函数,3. 传递函数不说明被描述系统的具体物理结构，不 同的物理系统可能具有相同的传递函数。 4. 同一个系统的输入量和输出量设定不同，传递函 数就可能不同。 5. 传递函数比微分方程简单，通过拉氏变换将时域 内复杂的微积分运算转化为简单的代数运算。, 2-4 传递函数,6. 当系统输入典型信号时，输出与输入有对应关 系。特别地，当输入是单位脉冲信号时，传递函数 就表

11、示系统的输出函数。因而，也可以把传递函数 看成单位脉冲响应的象函数。 7. 由于传递函数是经过拉氏变换导出的，而拉氏 变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念仅 适用于线性定常系统；, 2-4 传递函数,8. 传递函数是在零初始条件下定义的，因此，传递 函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规 律。 9. 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关 系，因此只适用于单输入单输出系统的描述，且系统 内部的中间变量的变化情况，传递函数无法反映。, 2-4 传递函数,四、典型环节及其传递函数, 2-4 传递函数, 2-4 传递函数,1.比例环节 特点：输出量与输入量成正比，输出不失真也不延

12、迟，而是按比例反映输入，即线性变化。 运动方程 传递函数, 2-4 传递函数,比例环节实例 微分方程 拉氏变换, 2-4 传递函数,2.积分环节 特点：动态过程中输出量的变化速度和输入量成正比 运动方程： 传递函数: 其中， , 为积分环节的时间常数,表示积分的 快慢程度。, 2-4 传递函数,积分环节实例, 2-4 传递函数,3.惯性环节 特点：有一个阻尼元件存在，当有一个输入信号时 ，不会马上达到一定值，而是需要一个缓慢上升的 过程。 运动方程： 传递函数为： 式中，K环节增益（放大系数）； T时间常数， 表征环节的惯性，和环节结构参数有关, 2-4 传递函数,惯性环节实例1 忽略质量，由

13、达朗贝尔原理可知 传递函数, 2-4 传递函数,惯性环节实例2 消去 得 传递函数, 2-4 传递函数,4.微分环节 特点：输出量正比于输入量的微分。 运动方程： 传递函数：, 2-4 传递函数, 2-4 传递函数,微分环节实例 微分方程 简化 当 时，近似为微分环节, 2-4 传递函数,5.二阶振荡环节 特点：振荡环节是由二阶微分方程描述的系统。包含 两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储 能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 运动方程为: 传递函数为:, 2-4 传递函数,二阶振荡环节实例 微分方程 传递函数, 2-4 传递函数,6.延时环节 特点：延时环节也是线性环节，有

14、输入信号后，在 间内没有任何输出，到时间后，不失真地反映输 入；延时常作为一个特性，与其他环节共同存在， 而不单独存在。 运动方程： 传递函数：, 2-4 传递函数,7.一阶微分环节 特点：输出量不仅与输入量本身有关，还与输入量 的微分相关；微分环节也不单独存在。 8.二阶微分环节 特点：输出量不仅与输入量本身及其一阶导数有 关，同时还与输入量的二阶导数相关。二阶微分环 节主要用于改善系统的动态性能。, 2-4 传递函数,比例环节： 延迟环节： 一阶微分环节： 微分环节： 二阶微分环节： 积分环节： 惯性环节： 振荡环节：, 2-4 传递函数,五、小结 1.不同物理性质的系统，可以有相同形式的

15、传递函 数。 例如：惯性环节中两个例子，一个是机械系统， 另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。 2.同一个系统，当选取不同的输入量、输出量时， 就可能得到不同形式的传递函数。 例如电容： 输入电流，输出电压，则是积分环节。 输入电压，输出电流，则为微分环节。, 2-4 传递函数,3.了解传递函数概念、零点、极点和放大系数；掌 握典型环节的传递函数。 4.作业2-11.,2-5 传递函数的方块图与运算,一、系统传递函数方框图 用传递函数方框将控制系统全部变量联系起 来，描述各环节之间的信号传递关系的图形，称为 系统传递函数方块图（或结构图）。 它是用图形表示的系统模型。它不同于物理框 图

16、，着眼于信号的传递。,2-5 传递函数的方块图与运算,1.方框图构成要素 (1) 信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直 线旁标记信号的时间函数或象函数。,2-5 传递函数的方块图与运算,(2) 信号引出点（线）/测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一 信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。,2-5 传递函数的方块图与运算,(3) 函数方块(环节) 函数方块具有运算功能,2-5 传递函数的方块图与运算,(4) 相加点（比较点、综合点） (a) 用符号“”及相应的信号箭头表示 (b) 箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号 或减去此信号,2-5 传递函数的方块图与运算,

17、2.系统方框图的建立： （1）建立系统各组成部分的微分方程； （2）对微分方程取Laplace变换，并画出相应的方 框图； （3）按照信号的传递顺序，依次将各传递函数方框 图连接起来。,2-5 传递函数的方块图与运算,例 ： R、C电路如图,2-5 传递函数的方块图与运算,二、传递函数方框图的等效变换 1环节的串联,2-5 传递函数的方块图与运算,2.环节的并联,2-5 传递函数的方块图与运算,3反馈联接 （1）信号传递关系： （2）消去 ,2-5 传递函数的方块图与运算,对于单位反馈：H(s)=1,2-5 传递函数的方块图与运算,4分支点移动规则 (1）分支点前移： 规则：分支路上串入相同的

18、传递函数方块,2-5 传递函数的方块图与运算,(2)分支点后移 规则：分支路上串入相同传递函数的倒数的方块,2-5 传递函数的方块图与运算,5相加点移动规则 （1）相加点前移 （2）相加点后移,2-5 传递函数的方块图与运算,6相加点交换规则,2-5 传递函数的方块图与运算,7相加点分离规则,2-5 传递函数的方块图与运算,8分支点移动到相加点前,2-5 传递函数的方块图与运算,9分支点移动到相加点后,2-5 传递函数的方块图与运算,10反馈方框化为单位反馈,2-5 传递函数的方块图与运算,三、方块图的简化及系统传递函数的求取 1.步骤 （1）解除方块图中的交叉联系（结构）； （2）按等效规则

19、，先环内后环外逐步使方块得到简 化； （3）求传递函数。,2-5 传递函数的方块图与运算,例1 ：,2-5 传递函数的方块图与运算,解： （1）相加点C前移（再相加点交换）,2-5 传递函数的方块图与运算,（2）内环简化,i,+,A,-,0,1 G1,H2,-,C,+,G1G2G3,1-G1G2H1,图2-32,2-5 传递函数的方块图与运算,（3）内环简化,2-5 传递函数的方块图与运算,（4）总传递函数,2-5 传递函数的方块图与运算,结论： 含有多个局部反馈的闭环系统中，当满足下面 条件时 （1）只有一条前向通道； （2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方块。 则 各局部反馈：正反馈取 ; 负反馈取+,2-5 传递函数的方块图与运算,由系统传递函数的方块图可知 1只有一条前面通道：G1G2G3 2存在三个局部反馈回路，且两两都具有公共传递 函数方块（或公共节点）。,2-5 传递函数的方块图与运算,例2 ：求下图所示系统总传递函数 解：此例不能运用上述结论 两个局部反馈回路没有公共传递函数方块,2-5 传递函数的方块图与运算,2-5 传递函数的方块图与运算,四、小结 1.掌握传递函数方框图的基本概念以及传递函数方框图的等效变换，并会应用传递函数的等效变换求取系统的传递函数 2.作业：2-12,