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1、3.1随机过程的随机过程的基本概念基本概念3.2平稳随机过程平稳随机过程3.3高斯随机过程高斯随机过程3.4平稳平稳随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统3.5窄带随机过程窄带随机过程3.6正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 3.7高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声第第 3 章章 随机过程随机过程作业作业P613-33-53-83-93-143.1随机过程的随机过程的基本概念基本概念 自自然然界界中中事事物物的的变变化化过过程程可可以以大大致致分分成成为为两两类类：一一类类是是其其变变化化过过程程具具有有确确定定的的形形式式，用用数数学学语语言言来来说说，其其变变化化过过程程
2、可可以以用用一一个个或或几几个个时时间间t的的确确定定函函数数来描述，这类过程称为来描述，这类过程称为确定性过程确定性过程。另另一一类类过过程程没没有有确确定定的的变变化化形形式式，也也就就是是说说，每每次次对对它它的的测测量量结结果果没没有有一一个个确确定定的的变变化化规规律律，用用数数学学语语言言来来说说，这这类类事事物物变变化化的的过过程程不不可可能能用用一一个个或或几几个个时时间间t的的确确定定函函数数来来描描述述，这这类类过过程程称称为为随随机机过过程程。图 3-1样本函数的总体 由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：每每一一次次试试验验都都
3、有有一一条条时时间间波波形形（称称为为样样本本函函数数或实现），或实现），记作记作xi(t)；所所有有可可能能出出现现的的结结果果的的总总体体x1(t),x2(t)，,xn(t)，就构成一就构成一随机过程，随机过程，记作记作(t)。简简言言之之，无无穷穷多多个个样样本本函函数数的的总总体体叫叫做做随随机机过过程。程。在纵向：在纵向：是是随机变量，随机变量，是样本。是样本。随机过程随机过程看作是在时间进程中处于不同看作是在时间进程中处于不同时刻的时刻的随机变量随机变量的集合。的集合。无穷多个无穷多个样本函数样本函数的总体叫做的总体叫做随机过程。随机过程。在横向：在横向：仅仅是一个实现，或者说是样
4、本函数。是一个实现，或者说是样本函数。设设(t)表表示示一一个个随随机机过过程程，在在任任意意给给定定的的时时刻刻t1T，其其取取值值(t1)是是一一个个一一维维随随机机变变量量。而而随随机机变变量量的的统统计计特特性性可可以以用用分分布布函函数数或或概概率率密密度度函函数数来来描描述述。我我们们把把随随机变量机变量(t1)小于或等于某一数值小于或等于某一数值x1的概率的概率 P(t1)x1，简记为，简记为F1(x1,t1)，即即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 (3.1-1)式式(3.1-1)称为随机过程称为随机过程(t)的一的一维分布函数维分布函数。如果如果F1(x1,t1)对对x1的
5、偏导数存在，即有的偏导数存在，即有3.1.1 随机过程的分布函数随机过程的分布函数 则称则称f1(x1,t1)为为(t)的的一维概率密度函数一维概率密度函数。显显然然，随随机机过过程程的的一一维维分分布布函函数数或或一一维维概概率率密密度度函函数数仅仅仅仅描描述述了了随随机机过过程程在在各各个个孤孤立立时时刻刻的的统统计计特特性性，而而没没有有说说明明随随机机过过程程在在不不同同时时刻刻取取值值之之间间的的内内在在联联系系，为此需要进一步引入二维分布函数。为此需要进一步引入二维分布函数。任任给给两两个个时时刻刻t1,t2T，则则随随机机变变量量(t1)和和(t2)构构成一个二元随机变量成一个二
6、元随机变量(t1),(t2)，称，称 F2(x1,x2;t1,t2)=P(t1)x1,(t2)x2 (3.1-3)为随机过程为随机过程(t)的的二维分布函数二维分布函数。如果存在如果存在 则称则称f2(x1,x2;t1,t2)为为(t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数。同理，任给同理，任给t1,t2,tnT,则则(t)的的n维分布函数维分布函数被定义为被定义为 Fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2,(tn)xn 若若 则则称称fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)为为(t)的的n维维概概率率密密度度函函数数。显显然然，n越越大大，对对随随机机过过程程
7、统统计计特特性性的的描描述述就就越越充充分分，但但问问题题的的复复杂杂性性也也随随之之增增加加。在在一一般般实实际际问问题题中中，掌掌握握二二维维分分布函数就已经足够了。布函数就已经足够了。3.1.2随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分分布布函函数数或或概概率率密密度度函函数数虽虽然然能能够够较较全全面面地地描描述述随随机机过过程程的的统统计计特特性性,但但在在实实际际工工作作中中，有有时时不不易易或或不不需需求求出出分分布布函函数数和和概概率率密密度度函函数数，而而它它的的某某些些数数字字特特征征却却比比较较容容易易估估算算出出来来，并并且且在在许许多多实实际际问问题题中中只只需要知道这
8、些数字特征就可以了。需要知道这些数字特征就可以了。1.数学期望数学期望 随机过程随机过程(t)的数学期望为的数学期望为 a(t)是是时时间间t的的函函数数，它它表表示示随随机机过过程程的的n个个样本函数曲线的摆动中心。样本函数曲线的摆动中心。2.方差方差 D(t)常常记记为为2(t)，它它表表示示样样本本偏偏离离均均值值的的程度程度。称称E2(t)为为均方值均方值。称称方方差差的的平平方方根根(t)为为标标准准差差、均均方方差差或或均均方方根根差差。3.自相关函数和自协方差函数自相关函数和自协方差函数 均均值值和和方方差差都都只只与与随随机机过过程程的的一一维维概概率率密密度度函函数数有有关关
9、，因因而而它它们们描描述述了了随随机机过过程程在在各各个个孤立时刻孤立时刻的特征。的特征。为为了了描描述述随随机机过过程程在在两两个个不不同同时时刻刻状状态态之之间间的的联联系系，还还需需利利用用二二维维概概率率密密度度引引入入新新的数字特征的数字特征。衡衡量量同同一一随随机机过过程程在在任任意意两两个个时时刻刻获获得得的的随随机机变变量量之之间间的的关关联联程程度度时时，常常用用协协方方差差函数函数B(t1,t2)和和相关函数相关函数R(t1,t2)来表示。来表示。自协方差函数自协方差函数定义为定义为式中，式中，t1与与t2是任取的两个时刻；是任取的两个时刻；a(t1)与与a(t2)为在为在
10、t1及及t2时刻得到的数学期望；时刻得到的数学期望；f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。为二维概率密度函数。特例：当特例：当t1=t2=t时，时，B(t1,t2)=D(t)用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。相关。自相关函数自相关函数定义为定义为二者的关系二者的关系:B(t1,t2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)用途：用途：a a 用来判断广义平稳；用来判断广义平稳；b b 用来求解平稳随机过程的功率谱密度及平均功率。用来求解平稳随机过程的功率谱密度及平均功率。B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)
11、-a(t2)B(t1,t2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)若若 a(t1)=0或或a(t2)=0，则，则B(t1,t2)=R(t1,t2)若若 t2t1，并令，并令t2=t1+，则则 R(t1,t2)可表示为可表示为R(t1,t1+)。这这说说明明，相相关关函函数数依依赖赖于于起起始始时时刻刻t1及及t2与与t1之之间间的的时间间隔时间间隔,即相关函数是即相关函数是t1和和的函数。的函数。由由于于B(t1,t2)和和R(t1,t2)是是衡衡量量同同一一过过程程的的相相关关程程度度的的，因因此此，它它们们又又常常分分别别称称为为自自协协方方差差函函数数和和自自相相关关函函数数。对对于于
12、两两个个或或更更多多个个随随机机过过程程，可可引引入入互互协协方方差差及互相关函数。及互相关函数。设设(t)和和(t)分别表示两个随机过程，则分别表示两个随机过程，则互协方差函数互协方差函数定义为定义为B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2)互相关函数互相关函数定义为定义为 R(t1,t2)=E(t1)(t2)3.2 平稳随机过程平稳随机过程3.2.1 定义定义 设设随随机机过过程程(t)，tT,若若对对于于任任意意n和和任任意意选选定定t1t2tn,tkT，k=1,2,n，以以及及为为任任意意值值，且且x1,x2,xnR，有：，有：fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn
13、)=fn(x1,x2,xn;t1+,t2+,tn+)(3.2-1)则称则称(t)是是严平稳随机过程严平稳随机过程或或狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程。该该定定义义说说明明，平平稳稳随随机机过过程程的的概概率率密密度度函函数数并并不不随随着着时时间间的的推推移移而而变变化化，即即狭狭义义平平稳稳随随机机过过程程是是统计特性与时间起点无关的随机过程统计特性与时间起点无关的随机过程。具体到它的一维分布和二维分布：具体到它的一维分布和二维分布：f1(x1,t1)=f1(x1,t1+)=f1(x1)(3.2-2)即一维分布与时间即一维分布与时间t无关无关 f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2
14、;t1+,t2+)=f2(x1,x2;)(3.2-3)二维分布只与时间间隔二维分布只与时间间隔有关有关数字特征：数字特征：可见可见 （1）其均值与）其均值与t无关，为常数无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。对于随机过程对于随机过程(t)，若满足，若满足 (1)a(t)=a (2)R(t1,t1+)=R()则则(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。可见狭义平稳必定是广义平稳，广义平稳不一定狭可见狭义平稳必定是广义平稳，广义平稳不一定狭义平稳。义平稳。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平通信系统中所遇到的
15、信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。程。3.2.2 各态历经性各态历经性 平平稳稳随随机机过过程程在在满满足足一一定定条条件件下下，有有“各各态态历历经经性性”这这种种平平稳稳随随机机过过程程，它它的的数数字字特特征征（均均为为统统计计平平均均）完完全全可可由由随随机机过过程程中中的的任任一一实实现现的的数数字字特特征征（均均为为时时间间平均平均）来替代。）来替代。假假设设x(t)是是平平稳稳随随机机过过程程(
16、t)的的任任意意一一个个实实现现，它它的的时间均值时间均值和和时间相关函数时间相关函数分别为分别为如果平稳随机过程以概率如果平稳随机过程以概率1使下式成立：使下式成立：则称该平稳随机过程具有则称该平稳随机过程具有各态历经性各态历经性。“各态历经各态历经”的含义：的含义：随随机机过过程程中中的的任任一一实实现现都都经经历历了了随随机机过过程程的的所所有有可可能状态，任一实现都能代表整个随机过程。能状态，任一实现都能代表整个随机过程。因因此此，我我们们无无需需（实实际际中中也也不不可可能能）获获得得大大量量用用来来计计算算统统计计平平均均的的样样本本函函数数，而而只只需需从从任任意意一一个个随随机
17、机过过程程的的样样本本函函数数中中就就可可获获得得它它的的所所有有的的数数字字特特征征，从从而而使使“统统计计平平均均”化化为为“时时间间平平均均”，使使实实际际测测量量和和计计算的问题大为简化。算的问题大为简化。注注意意：具具有有各各态态历历经经性性的的随随机机过过程程必必定定是是平平稳稳随随机机过过程程，但但平平稳稳随随机机过过程程不不一一定定是是各各态态历历经经的的。在在通通信信系系统统中中所所遇遇到到的的随随机机信信号号和和噪噪声声，一一般般均均能能满足各态历经条件。满足各态历经条件。3.2.3平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数 设设(t)为为实平稳随机过程实平稳随机过程
18、，则它的自相关函数则它的自相关函数 R()=E(t)(t+)具有下列主要性质：具有下列主要性质：(1)R(0)=E2(t)=S ，(t)的的平均功率平均功率尽尽管管平平稳稳随随机机过过程程的的总总能能量量是是无无穷穷的的，但但平平均均功功率率为有限值。为有限值。(2)R()=E2(t)，(t)的的直流功率直流功率 (3)R(0)-R()=2 ，方差，方差，(t)的的交流功率交流功率 当均值为当均值为0时，有时，有R(0)=2。(4)|R()|R(0)，R()的上界的上界R(0)自己和自己相关值最大，因此自己和自己相关值最大，因此0 的相关值小于的相关值小于R(0)。(5)R()=R(-)，的偶
19、函数的偶函数 R(-)=E(t)(t-)=E(t+)(t)=R()平稳过程的自相关函数只与时间间隔有关平稳过程的自相关函数只与时间间隔有关,|间隔。间隔。3.2.4 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度 随随机机过过程程中中的的任任一一实实现现是是一一个个确确定定的的功功率率型型信信号号。因因此此随随机机过过程程的的频频谱谱特特性性是是用用它它的的功功率率谱谱密密度度来来表表述述的的。而而对对于于任任意意的的确确定定功功率率信信号号f(t)，它它的的功功率率谱谱密密度度为为 FT()是是f(t)的的截短函数截短函数fT(t)所对应的频谱函数。所对应的频谱函数。我们可以把我们可以把f(t)看
20、成是平稳随机过程看成是平稳随机过程(t)中的任一中的任一实现，实现，过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均的统计平均，即，即(t)的平均功率的平均功率S则可表示成则可表示成 虽虽然然上上式式给给出出了了平平稳稳随随机机过过程程(t)的的功功率率谱谱密密度度P()，但我们很难直接用它来计算功率谱。，但我们很难直接用它来计算功率谱。那那么么，如如何何方方便便地地求求功功率率谱谱P()呢呢？我我们们知知道道，确确知知的的周周期期功功率率信信号号的的自自相相关关函函数数与与其其谱谱密密度度是是一一对对傅傅氏氏变变换换关关系系。对对于于平平稳稳随随机机
21、过过程程，也也有有类类似似的的关关系系:称为维纳称为维纳辛钦公式。辛钦公式。或或（2）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。R(0)表表示示随随机机过过程程的的平平均均功功率率，它它应应等等于于功功率率谱谱密度曲线下的面积。密度曲线下的面积。（3）功率谱密度）功率谱密度P (f)具有非负性和实偶性，即有具有非负性和实偶性，即有 （1）P()0，非负性；，非负性；（2）P(-)=P()，
22、偶函数，偶函数 （3）例例 31/32：某某随随机机相相位位余余弦弦波波(t)=Acos(ct+)，其其中中A和和c均为常数，均为常数，是在是在(0,2)内均匀分布的随机变量。内均匀分布的随机变量。（1）求求(t)的自相关函数与功率谱密度；的自相关函数与功率谱密度；（2）求）求(t)的平均功率；的平均功率；（3）讨论讨论(t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。(t)的数学期望为：的数学期望为：解：解：(1)先考察先考察(t)是否广义平稳。是否广义平稳。(t)的自相关函数为的自相关函数为可见可见(t)的数学期望为常数，的数学期望为常数，而自相关函数只与时间而自相关函数只与时间间隔间隔有关，
23、有关，所以所以(t)为广义平稳随机过程。为广义平稳随机过程。根根据据平平稳稳随随机机过过程程的的相相关关函函数数与与功功率率谱谱密密度度是是一一对对傅里叶变换，即：傅里叶变换，即：而而所以，功率谱密度为所以，功率谱密度为（2）功率？）功率？方法一：方法一：方法二：方法二：统统计计平平均均=时时间间平平均均，因因此此，随随机机相相位位余余弦弦波波是是各各态态历经的。历经的。(3)(t)的时间平均的时间平均3.3 高斯随机过程高斯随机过程 3.3.1定义定义 若若随随机机过过程程(t)的的任任意意n维维（n=1,2,）分分布布都都是是正态分布正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。，则称它为高斯
24、随机过程或正态过程。式式中中,ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为为归归一一化化协方差矩阵的行列式，即协方差矩阵的行列式，即其其n维正态概率密度函数表示如下：维正态概率密度函数表示如下：1 b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1|B|jk为行列式为行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子的代数余因子 bjk为归一化协方差函数为归一化协方差函数3.3.2 重要性质重要性质 （1）由由上上式式可可以以看看出出,高高斯斯过过程程的的n维维分分布布完完全全由由n个个随随机机变变量量的的数数学学期期望望、方方差差和和两两两两之之间间的的归归一一化化协协方方差差函函数数所所决
25、决定定。因因此此，对对于于高高斯斯过过程程，只只要要研研究究它它的的数数字特征就可以了。字特征就可以了。（2）如如果果高高斯斯过过程程是是广广义义平平稳稳的的，则则它它的的均均值值与与时时间间无无关关，协协方方差差函函数数只只与与时时间间间间隔隔有有关关，而而与与时时间间起起点点无无关关，由由性性质质(1)知知，它它的的n维维分分布布与与时时间间起起点点无无关关。所所以，以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。（3）如如果果高高斯斯过过程程在在不不同同时时刻刻的的取取值值是是不不相相关关的的，即对所有即对所有jk有有bjk=0，这时上式为，这时上式为 =f(x1
26、,t1)f(x2,t2)f(xn,tn)结论：如果高斯过程在不同时刻的取值是结论：如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关不相关的，的，那么它们也是那么它们也是统计独立统计独立的。的。（4）高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过）高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。即若程。即若线性系统线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。是高斯过程。a为高斯随机变量的数学期望，为高斯随机变量的数学期望，2为方差。为方差。3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其斯随机变量，
27、其一维概率密度函数一维概率密度函数可表示为：可表示为：图图3-3 正态分布的概率正态分布的概率(3)且有且有f(x)具有如下特性：具有如下特性：(1)f(x)对称于对称于x=a这条这条直线。直线。f(a+x)=f(a-x)(2)x，f(x)0，在点，在点a处达到极大值处达到极大值（4）a表表示示分分布布中中心心，表表示示偏偏离离的的程程度度，f(x)图图形形将将随随着着a的的变变化化左左右右平平移移；随随着着的的减减小小而而变变高高和和变变窄；窄；一维正态概率密度函数一维正态概率密度函数（5）当）当a=0，=1时，时，称称f(x)为标准正态分布的密度为标准正态分布的密度函数，函数，N(0,1)
28、：概率分布函数（正态分布函数）：概率分布函数（正态分布函数）：这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式与可以在数学手册上查出积分值的特殊个积分式与可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数：函数联系起来，一般常用以下特殊函数：（1 1）误差函数）误差函数:它是自变量的递增函数；它是自变量的递增函数；erf(0)=0，erf()=1，erf(-x)=-erf(x)。它是自变量的递减函数；它是自变量的递减函数；erfc(0)=1，erfc()=0；erfc(-x)=2-erfc(x)，实际应用中只要，实际应用中只要x2即可
29、近似有即可近似有（2 2）补误差函数）补误差函数:（3 3）Q Q函数函数:（4 4）概率分布函数）概率分布函数 3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 通通信信系系统统中中的的信信号号或或噪噪声声一一般般都都是是随随机机的的，对对于于平平稳稳随随机机过过程程通通过过线线性性系系统统，其其输输出出过过程程类类似于确知信号通过线性系统，即：似于确知信号通过线性系统，即：（3.4-2）若若 vo(t)Vo(),vi(t)Vi(),h(t)H()，则有则有 Vo()=H()Vi()（3.4-3）如如果果把把vi(t)看看作作是是输输入入随随机机过过程程的的一一个个样样本本，则则vo
30、(t)可看作是输出随机过程的一个样本。可看作是输出随机过程的一个样本。显显然然，输输入入过过程程i(t)的的每每个个样样本本与与输输出出过过程程o(t)的的相相应应样样本本之之间间都都满满足足式式(3.4-2)的的关关系系。就就整整个过程而言，便有个过程而言，便有（3.4-4）假定输入假定输入i(t)是平稳随机过程，是平稳随机过程，Ei(t)=a(常数常数)，自相关函数为，自相关函数为Ri()，系统的输出过程，系统的输出过程o(t)的统计特的统计特性：性：1.输出过程输出过程o(t)的数学期望：的数学期望：求得求得直流传递函数直流传递函数所以所以 输输出出过过程程的的数数学学期期望望等等于于输
31、输入入过过程程的的数数学学期期望望与直流传递函数与直流传递函数H(0)的乘积，且的乘积，且Eo(t)与与t无关。无关。2.输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数 可可见见,o(t)的的自自相相关关函函数数只只依依赖赖时时间间间间隔隔而而与与时时间起点间起点t1无关。无关。由由以以上上输输出出过过程程的的数数学学期期望望和和自自相相关关函函数数证证明明，若若线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是平平稳稳的的，那那么么输输出出过过程程也也是是平稳的。平稳的。而而则则 3.输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度 令令则有则有即即 可可见见，系系统统输输出出功功率率谱谱密密度度是
32、是输输入入功功率率谱谱密密度度Pi()与与系系统统功功率率传传输输函函数数|H()|2的的乘积。乘积。这是一个很重要的公式。这是一个很重要的公式。当当我我们们想想得得到到输输出出过过程程的的自自相相关关函函数数Ro()时时，比比较较简简单单的的方方法法是是先先计计算算出出功功率率谱谱密密度度Po()，然然后后求求其其反反变变换换，这这比比直直接接计算计算Ro()要简便得多。要简便得多。4.4.和和 的互相关函数与互功率谱密度的互相关函数与互功率谱密度5.输出过程输出过程o(t)的概率分布：的概率分布：一一个个线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是高高斯斯型型的的，则则系系统统的输出过程也是高
33、斯型的。的输出过程也是高斯型的。总结：高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。总结：高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。与输入正态过程相比，输出过程的数字特征改变了。与输入正态过程相比，输出过程的数字特征改变了。例例2 带带限限白白噪噪声声。试试求求功功率率谱谱密密度度为为n0/2的的白白噪噪声声通通过过理理想想矩矩形形的的低低通通滤滤波波器器后后的的功功率率谱谱密密度度、自自相相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为解解:输出功率谱密度输出功率谱密度 可可见见，输输出出噪噪声声的的功功率率谱谱密密度度在在|H内内是是均均匀匀的的，在在此此范范围围
34、外外则则为为零零，如如图图所所示示，通通常常把把这样的噪声称为这样的噪声称为带限白噪声带限白噪声。（a)(b)带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声的功率谱和自相关函数其自相关函数为：其自相关函数为：式式中中，H=2fH。由由此此可可见见，带带限限白白噪噪声声只只有有在在=k/2fH(k=1,2,3,)上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。噪声平均功率噪声平均功率 带带限限白白噪噪声声的的自自相相关关函函数数Ro()在在=0 处处有有最最大大值值，这就是带限白噪声的平均功率这就是带限白噪声的平均功率:（1）（2）（3）互功率谱密度）互功率谱密度例例3：已知：已知(t)的自相关函
35、数的自相关函数R()，求，求(t)和和 的相关函数和功率谱？的相关函数和功率谱？奇函数奇函数3.5 窄带随机过程窄带随机过程 窄窄带带系系统统，是是指指其其通通带带宽宽度度ffc，且且fc远离零频率的系统。远离零频率的系统。实实际际中中，大大多多数数通通信信系系统统都都是是窄窄带带型型的的，通通过过窄窄带带系系统统的的信信号号或或噪噪声声必必是是窄窄带带的的，如如果果这这时时的的信信号号或或噪噪声声又又是是随随机机的的，则则称称它它们们为为窄窄带带随机过程。随机过程。图图3-4 窄带过程的窄带过程的频谱频谱和波形示意和波形示意P(f)x(t)窄带随机过程窄带随机过程(t)可用下式表示：可用下式
36、表示：表示方法表示方法表示方法表示方法1 1 (t)=a(t)cosct+(t),a(t)0 (3.5-1)表示方法表示方法表示方法表示方法2 2 (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (3.5-2)其中：其中：c(t)=a(t)cos(t)(3.5-3)s(t)=a(t)sin(t)(3.5-4)式中式中,a(t)及及(t)分别是分别是(t)的的随机包络随机包络和和随机相位随机相位，c(t)及及s(t)分别称为分别称为(t)的的同相分量同相分量和和正交分量正交分量，它们它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosct的的变化要缓慢得多。变化
37、要缓慢得多。3.5.1 同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 前提：前提：设窄带过程设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且均是平稳高斯窄带过程，且均值为值为0，方差为，方差为2。将证明：将证明：它的同相分量它的同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)也是零也是零均值的平稳高斯过程，而且与均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。具有相同的方差。E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct=0 (3.5-5)则则：Ec(t)=0 Es(t)=0 (3.5-6)E(t)=Ec(t)=Es(t)=0 1.数学期望数学期望 2.自相自相关关函函数数R(t,t+)=E(t)
38、(t+)=Ec(t)cosct-s(t)sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t+)=Rc(t,t+)cosct cosc(t+)-Rc s(t,t+)cosctsinc(t+)-Rs c(t,t+)sinc tcosc(t+)+R s(t,t+)sinc tsinc(t+)=R()(3.5-7)令令 t=0，则式，则式(3.5-7)应变为应变为(3.5-8)这时，显然应有这时，显然应有则式（则式（3.5-8）变为）变为(3.5-9)再取使再取使t=/2c，同理可求得，同理可求得(3.5-10)Rs(t,t+)=Rs()Rsc(t,t+)=Rsc()由以上的数学期望和自相
39、关函数分析可知，由以上的数学期望和自相关函数分析可知，如果窄带过程如果窄带过程(t)是平稳的，则是平稳的，则c(t)与与s(t)也必将也必将是平稳的。是平稳的。故有故有 R c()=R s()(3.5-11)Rc s()=-Rs c()(3.5-12)同相分量同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。具有相同的自相关函数。(3.5-9)(3.5-10)式（式（3.5-9）和式（）和式（3.5-10）应同时成立，即）应同时成立，即 R(0)=R c(0)=R s(0)(平平均均功功率率)(3.5-16)则则 2=2 c=2 s (3.5-17)这这表表明明(t)、c(t)
40、和和s(t)具具有有相相同同的的平平均均功功率率或或方方差差（因因为均值为为均值为0）。）。将上式代入式（将上式代入式（3.5-12），可得），可得 R s c(-)=-R s c()(3.5-13)同理可推得同理可推得 R c s(-)=-R c s()(3.5-14)即即c(t)、s(t)的的互互相相关关函函数数Rs c()、Rc s()都都是是的的奇奇函数，在函数，在=0时时 R s c(0)=R c s(0)=0 (3.5-15)即即c(t)、s(t)在同一时刻的取值互不相关。在同一时刻的取值互不相关。R c s()=R s c(-)根据互相关函数的性质，应有：根据互相关函数的性质，应
41、有：c(t)、s(t)也也是是高高斯斯随随机机过过程程，同同一一时时刻刻不不相相关关=统统计计独立独立。总结：一个均值为零的窄带平稳高斯过程总结：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)：同同相相分分量量c(t)和和正正交交分分量量s(t)均均值值都都为为零零，方方差差相相同同,同相分量同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)也是平稳高斯过程。也是平稳高斯过程。同同相相分分量量c(t)和和正正交交分分量量s(t)具具有有相相同同的的自自相相关关函函数数，且在同一时刻上得到的且在同一时刻上得到的c和和s是互不相关的或统计独立的。是互不相关的或统计独立的。取取t=t1=0,(t1)=c(t1)取取
42、t=t2=/2c,(t2)=-s(t2)例例4：求平稳随机过程：求平稳随机过程 同向分量同向分量 和正交分量和正交分量 的自相关函数及功率谱密度表达式。已知：的自相关函数及功率谱密度表达式。已知：Pn(f)ffc-fcn0/2BBPnc(f)=Pns(f)fn00-B/2B/2带通低通带宽平均功率 3.5.2 包络和相位的统计特性包络和相位的统计特性 由于由于c和和s统计独立，联合概率密度函数为统计独立，联合概率密度函数为 设设a,的的联联合合概概率率密密度度函函数数为为f(a,)，则则利利用概率论知识，有用概率论知识，有 而而 得到得到 于是于是 注意，这里注意，这里a0,而而在在(0，2)
43、内取值。内取值。再再利利用用概概率率论论中中边边缘缘概概率率密密度度知知识识将将f(a,)对对积分，积分，可求得包络可求得包络a的一维概率密度函数为的一维概率密度函数为 可见，可见，a服从瑞利分布服从瑞利分布。同同理理，f(a,)对对a积积分分可可求求得得相相位位的的一一维维概概率密度函数为率密度函数为可见，可见，服从均匀分布服从均匀分布。且有：且有：f(a,)=f(a)f()综综上上所所述述，我我们们又又得得到到一一个个重重要要结结论论：一一个个均均值值为为零零，方方差差为为2的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程(t)：其包络其包络a(t)的一维分布是瑞利分布；的一维分布是瑞利分布；相位相位
44、(t)的一维分布是均匀分布；的一维分布是均匀分布；就就一一维维分分布布而而言言，a(t)与与(t)是是统统计计独独立立的，即有下式成立的，即有下式成立 f(a,)=f(a)f()(3.5-22)窄带随机过程结结论论：一一个个均均值值为为零零的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程，其其同同相相分分量量和和正正交交分分量量同同样样是是平平稳稳高高斯斯过过程程，而而且且均均值值都都为为零零，方方差差也也相相同同；在在同同一一时时刻刻上上的的同同相相分分量量与与正正交交分分量量是是不不相相关关的的或或统统计计独独立立的的。其其包包络络的的一一维维分分布布是是瑞瑞利利分分布布，而而其其相相位位的的一一维维
45、分分布布是是均均匀匀分分布布，并并且且就就一一维维分分布而言，包络和相位是统计独立的。布而言，包络和相位是统计独立的。3.6 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 信信号号经经过过信信道道传传输输后后总总会会受受到到噪噪声声的的干干扰扰，为为了了减减少少噪噪声声的的影影响响，通通常常在在接接收收机机前前端端设设置置一一个个带带通通滤滤波器波器，以滤除信号频带以外的噪声。，以滤除信号频带以外的噪声。因因此此，带带通通滤滤波波器器的的输输出出是是信信号号与与窄窄带带噪噪声声的的混混合合波波形形。最最常常见见的的是是正正弦弦波波加加窄窄带带高高斯斯噪噪声声的的合合成成波波，这这是是通通信信系系统
46、统中中常常会会遇遇到到的的一一种种情情况况，所所以以有有必必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。要了解合成信号的包络和相位的统计特性。设合成信号为设合成信号为 r(t)=A cos(ct+)+n(t)(3.6-1)式中式中,n(t)=nc(t)cosct-ns(t)sinct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为2n；正弦信号的正弦信号的A,c均为常数，均为常数，是在是在(0,2)上均匀分布上均匀分布的随机变量。的随机变量。于是于是 r(t)=Acos+nc(t)cosct-Asin+ns(t)sinct =zc(t)cosct-zs(t)sinct =z(t)
47、cosct+(t)(3.6-2)式中式中 zc(t)=A cos+nc(t)=z(t)cos(t)(3.6-3)zs(t)=Asin+ns(t)=z(t)sin(t)(3.6-4)表示方法表示方法表示方法表示方法1 1 1 1表示方法表示方法表示方法表示方法2 2 2 2合成信号合成信号r(t)的包络和相位为的包络和相位为 利利用用上上一一节节的的结结果果，如如果果值值已已给给定定，则则zc、zs是是相相互独立的高斯随机变量，且有互独立的高斯随机变量，且有zc(t)=Acos+nc(t)zs(t)=Asin+ns(t)所所以以，在在给给定定相相位位的的条条件件下下的的zc和和zs的的联联合合概
48、概率密度函数为率密度函数为 利利用用上上一一节节相相似似的的方方法法，根根据据式式(3.6-3)、(3.6-4)可可以以求求得得在在给给定定相相位位的的条条件件下下的的z和和的的联联合合概概率率密度函数为：密度函数为：求条件边际分布，有求条件边际分布，有由于由于故有故有 式式中中，I0(x)为为零零阶阶修修正正贝贝塞塞尔尔函函数数。当当x0时时，I0(x)是单调上升函数，且有是单调上升函数，且有I0(0)=1。这这个个概概率率密密度度函函数数称称为为广广义义瑞瑞利利分分布布，也也称称莱莱斯斯（Rice）密度函数。）密度函数。上式存在两种极限情况：上式存在两种极限情况：故正弦波加窄带高斯过程的包
49、络概率密度函数为：故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为：（1）当信号很小，当信号很小，A0，即信号功率与噪声功，即信号功率与噪声功率之比：率之比：x值很小，有值很小，有I0(x)=1，这时上述过程的包络概率，这时上述过程的包络概率密度函数由密度函数由莱斯分布退化为瑞利分布莱斯分布退化为瑞利分布。（2）当信噪比）当信噪比r很大时，有很大时，有I0(x)这时在这时在zA附近，附近，f(z)近似于高斯分布，即近似于高斯分布，即 由由此此可可见见，信信号号加加噪噪声声的的合合成成波波包包络络分分布布与与信信噪噪比有关：比有关：小信噪比时，它接近于瑞利分布；小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时
50、，它接近于高斯分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布在一般情况下它是莱斯分布。图图 3 5 正弦波加窄带高斯过程的正弦波加窄带高斯过程的包络包络分布分布 3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声1.白噪声白噪声 信号在信道中传输时，信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即：它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即：这种噪声被称为这种噪声被称为白噪声。它是一个理想的宽带随白噪声。它是一个理想的宽带随机过程。机过程。这种称呼来源于光学，因为光学中将包括全部可这种称呼来源于光学，因为光学中将包括全部