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1、第二章第二章随机信号分析随机信号分析内容结构内容结构n引言引言；n随机过程的一般描述随机过程的一般描述；n平稳随机过程平稳随机过程；n高斯过程（正态随机过程）高斯过程（正态随机过程）；n窄带随机过程窄带随机过程；n正弦波加窄带随机过程正弦波加窄带随机过程；n随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统；引言引言n随机信号：随机信号：某个或某几个参量不能被预知或某个或某几个参量不能被预知或不能完全被预知的信号。不能完全被预知的信号。n随机噪声：随机噪声：不能被预测的噪声。不能被预测的噪声。随机过程的一般描述随机过程的一般描述n随机过程的基本概念随机过程的基本概念：随时间变化的随机变量的全体；随时间变
2、化的随机变量的全体；兼有时间函数与随机变量的特点。兼有时间函数与随机变量的特点。n随机过程的统计特性：随机过程的统计特性：分布函数与概率密度函数分布函数与概率密度函数；数字特征：数字特征：数学期望（均值）数学期望（均值）、方差方差、自相关函数自相关函数、自协方差函数自协方差函数；第第3章章 随机过程随机过程【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 n样本函数i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。n随机过程：(t)=1(t),2(t),n(t)是全部样本函数的集合。随机过程的基本概念随机过程的基本概念n在观察区间内，随机过程是时间的在观察区间内，随机过程是时间的函数，每
3、次观察结果（即每次实现）函数，每次观察结果（即每次实现）均可视为一个样本，无数次的结果均可视为一个样本，无数次的结果亦即无数个样本构成了随机过程的亦即无数个样本构成了随机过程的样本空间；样本空间；n在任一时刻上观察到的样值是不确在任一时刻上观察到的样值是不确定的，是一个随机变量；定的，是一个随机变量；第第3章章 随机过程随机过程n角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。n在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i(t)都是一个确定的数值i(t1)，但是每个i(t1)都是不可预知的。n在一个固定时刻t1上，不同样本的取值i(t1),i=1,2,n是一个随机变量，记为(t1)。n换句话说，随机过程在任意
4、时刻的值是一个随机变量。n因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。n这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。随机过程的基本概念随机过程的基本概念n随机变量与随机过程二者最大的区随机变量与随机过程二者最大的区别在于：别在于：随机变量的样本空间是一随机变量的样本空间是一个实数集合，而随机过程的样本空个实数集合，而随机过程的样本空间是一个时间函数的集合。间是一个时间函数的集合。分布函数与概率密度函数分布函数与概率密度函数n随机过程随机过程 的一维分布函数：的一维分布函数：n随机过程随机过程 的一维概率密度函数：的一维概率密度函数：第第3章章 随机过程随机过程
5、n随机过程(t)的二维分布函数：n随机过程(t)的二维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。n随机过程(t)的n维分布函数：n随机过程(t)的n维概率密度函数：分布函数与概率密度函数分布函数与概率密度函数n随机过程随机过程 的的n维分布函数：维分布函数：n随机过程随机过程 的的n维概率密度函数：维概率密度函数：nn越大，对随机过程的描述越充分。越大，对随机过程的描述越充分。n3.1.2 随机过程的数字特征n均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值式中 f(x1,t1)(t1)的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t，x1改为x，这样上式就变为
6、第第3章章 随机过程随机过程 (t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:a(t)随机过程的数学期望（均值）随机过程的数学期望（均值）n反映了随机过程各个时刻的数学期望反映了随机过程各个时刻的数学期望（均值）随时间的变化情况；（均值）随时间的变化情况；n本质上就是随机过程所有样本函数的统本质上就是随机过程所有样本函数的统计平均函数；计平均函数；n它由随机过程的一维概率分布决定；它由随机过程的一维概率分布决定；n表征了随机信号的直流分量；表征了随机信号的直流分量；n方差方差常记为 2(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为所以，方差等于均方值与
7、均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a(t)的偏离程度。均方值均值平方随机过程的方差随机过程的方差n反映了随机过程在时刻反映了随机过程在时刻 t 相对于均相对于均 值的偏离程度；值的偏离程度；n它由随机过程的一维概率分布决定它由随机过程的一维概率分布决定；n表征了随机信号的交流平均功率；表征了随机信号的交流平均功率；n随机过程的数学期望（均值）和方差仅随机过程的数学期望（均值）和方差仅描述了各孤立时刻的统计特性，无法反描述了各孤立时刻的统计特性，无法反映不同时刻之间的联系，为此我们引入映不同时刻之间的联系，为此我们引入了了自相关函数和自协方差函数，自相关函数和自协方差函数，用来衡用
8、来衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性机变量的统计相关特性；n相关函数 式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。n协方差函数式中 a(t1)a(t2)在t1和t2时刻得到的(t)的均值 f2(x1,x2;t1,t2)(t)的二维概率密度函数。n相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1)=a(t2)，则B(t1,t2)=R(t1,t2)n互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。平稳随机过程平稳随机过程n狭义平稳
9、（或严平稳）随机过程狭义平稳（或严平稳）随机过程；n广义平稳（或宽平稳）随机过程广义平稳（或宽平稳）随机过程；n平稳随机过程的平稳随机过程的“各态历经性各态历经性”；n平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数；n平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度；狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程n平稳随机过程的统计特性将不随时平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而发生变化，即其任何间的推移而发生变化，即其任何n维维分布函数或概率密度函数与时间起分布函数或概率密度函数与时间起点无关，亦即对于任意的正整数点无关，亦即对于任意的正整数n和和任意的实数任意的实数 ，平稳随机，平稳随机过程过程
10、的的n维概率密度函数满足：维概率密度函数满足：狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程n平稳随机过程的一维分布与时间平稳随机过程的一维分布与时间 t 无关，二维分布仅与时间间隔无关，二维分布仅与时间间隔 有关，即：有关，即：广义平稳随机过程广义平稳随机过程n平稳随机过程的数学期望与时间平稳随机过程的数学期望与时间 t 无关，自相关函数仅与时间间无关，自相关函数仅与时间间 隔隔 有关，即：有关，即：n除特别声明，本课程所讨论的均除特别声明，本课程所讨论的均 为广义平稳随机过程。为广义平稳随机过程。平稳随机过程的平稳随机过程的“各态历经性各态历经性”n只有平稳随机过程才具有各态历经只有平稳随机过程才具有各
11、态历经性，即平稳随机过程的任一实现均性，即平稳随机过程的任一实现均经历了随机过程的所有可能状态，经历了随机过程的所有可能状态，因而我们可以用任一实现的统计特因而我们可以用任一实现的统计特性来描述平稳随机过程的统计特性，性来描述平稳随机过程的统计特性，进而通过任一实现的时间平均特性进而通过任一实现的时间平均特性得到平稳随机过程的统计平均特性。得到平稳随机过程的统计平均特性。平稳随机过程的平稳随机过程的“各态历经性各态历经性”n 例例3-1 设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期
12、望自相关函数令t2 t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。(2)求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。n3.2.3 平稳过程的自相关函数n平稳过程自相关函数的定义：同前n平稳过程自相关函数的性质n (t)的平均功率n 的偶函数n R()的上界即自相关函数R()在=0有最大值。n (t)的直流功率n 表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0)=2 。n3.2.4 平稳过程的功率谱密度n定义：n对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为式中，FT(f)是f(t
13、)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数第第3章章 随机过程随机过程n对于平稳随机过程(t)，可以把f(t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故(t)的功率谱密度可以定义为第第3章章 随机过程随机过程n功率谱密度的计算n维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳维纳-辛钦辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。n在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以
14、得到以下结论：n对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。n各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即 两边取傅里叶变换：即式中 n功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即有和这与R()的实偶性相对应。n例例3-2 求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。【解解】在例例3-1中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是
15、一对傅里叶变换，即有 以及由于有所以，功率谱密度为平均功率为 高斯过程（正态随机过程）高斯过程（正态随机过程）n高斯过程（正态随机过程）的性质高斯过程（正态随机过程）的性质；n高斯过程（正态随机过程）的一维高斯过程（正态随机过程）的一维分布：分布：一维概率密度函数一维概率密度函数；一维分布函数一维分布函数；高斯过程的性质高斯过程的性质n对高斯过程对高斯过程 在在 时刻观时刻观 察得到的一组随机变量察得到的一组随机变量 ，其其n 维联合概率密度维联合概率密度函数仅由各随函数仅由各随 机变量的数学期望、方差和两两之机变量的数学期望、方差和两两之 间的归一化协方差函数决定。间的归一化协方差函数决定。
16、n高斯过程宽平稳亦即严平稳。高斯过程宽平稳亦即严平稳。n若高斯过程中的各随机变量两两之若高斯过程中的各随机变量两两之高斯过程的性质高斯过程的性质 间互不相关，则它们之间也是相互间互不相关，则它们之间也是相互统计独立的，即：统计独立的，即：高斯过程的一维概率密度函数高斯过程的一维概率密度函数高斯过程的一维概率密度函数高斯过程的一维概率密度函数n 关于关于 对称，即：对称，即：n 在在 内单调上升，在内单调上升，在 内单调下降，在内单调下降，在 处有最大值处有最大值 ，当，当 时，时，；n ，且有：，且有：高斯过程的一维概率密度函数高斯过程的一维概率密度函数n对不同的对不同的 （固定固定 ），表现
17、为），表现为 的图形左右平移；对不同的的图形左右平移；对不同的 （固固定定 ），），的图形将随的图形将随 的减小的减小变高变窄。变高变窄。n当当 时，即正态分布的标时，即正态分布的标准化：准化：高斯过程的一维分布函数高斯过程的一维分布函数 其中：其中：为误差函数；为误差函数；高斯过程的一维分布函数高斯过程的一维分布函数 为互补误差函数；为互补误差函数；n误差函数与互补误差函数的性质误差函数与互补误差函数的性质；误差函数与互补误差函数的性质误差函数与互补误差函数的性质n 在在 内单调上升；内单调上升；n 是奇函数，即：是奇函数，即：且且n 在在 内单调下降；内单调下降；n 且且窄带随机过程窄带随
18、机过程n窄带随机过程及其描述窄带随机过程及其描述；n零均值平稳窄带高斯过程零均值平稳窄带高斯过程；n白噪声与带限白噪声白噪声与带限白噪声；窄带随机过程及其描述窄带随机过程及其描述n若随机过程若随机过程 的频谱被限制在某的频谱被限制在某 个远离零频率的中心频率附近一个个远离零频率的中心频率附近一个窄的频带范围内，则称之为窄带随窄的频带范围内，则称之为窄带随机过程，即：机过程，即：窄带随机过程及其描述窄带随机过程及其描述 其中：其中：和和 分别是窄带随机分别是窄带随机 过程过程 的包络函数和随机相位函的包络函数和随机相位函 数，数，和和 分别称为分别称为 的同相的同相 分量和正交分量，且：分量和正
19、交分量，且：窄带随机过程及其描述窄带随机过程及其描述零均值平稳窄带高斯过程零均值平稳窄带高斯过程n一个均值为一个均值为 0，方差为，方差为 的平稳窄的平稳窄带高斯过程带高斯过程 ，其同相分量，其同相分量 和和正交分量正交分量 同样是平稳高斯过程，同样是平稳高斯过程，且均值都为且均值都为 0，方差均为，方差均为 ，即：，即：n另外，在同一时刻得到的另外，在同一时刻得到的 和和 是是相互统计独立的。相互统计独立的。零均值平稳窄带高斯过程零均值平稳窄带高斯过程n一个均值为一个均值为 0，方差为，方差为 的平稳的平稳 窄带高斯过程窄带高斯过程 ，其包络，其包络 的的 一维分布是瑞利分布，相位一维分布是
20、瑞利分布，相位 的的 一维分布是均匀分布，且就一维分一维分布是均匀分布，且就一维分布而言，在同一时刻得到的布而言，在同一时刻得到的 和和 是相互统计独立的，即：是相互统计独立的，即：零均值平稳窄带高斯过程零均值平稳窄带高斯过程白噪声与带限白噪声白噪声与带限白噪声n白噪声：功率谱密度在整个频域内白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，即：都是均匀分布的噪声，即：可见，白噪声在任意两可见，白噪声在任意两 个时刻得到的随机变量个时刻得到的随机变量 均互不相关。均互不相关。白噪声与带限白噪声白噪声与带限白噪声n带限白噪声：白噪声的功率谱密度带限白噪声：白噪声的功率谱密度被限制在某一频率范围内
21、，超出该被限制在某一频率范围内，超出该范围则为零，即：范围则为零，即：白噪声与带限白噪声白噪声与带限白噪声 可见，带限白噪声只在可见，带限白噪声只在 上得到的随机变量才互不相关。上得到的随机变量才互不相关。白噪声与带限白噪声白噪声与带限白噪声n若噪声的任意若噪声的任意 n 维分布都服从高斯维分布都服从高斯分布，则称之为高斯噪声。分布，则称之为高斯噪声。n若高斯噪声的功率谱密度在整个频若高斯噪声的功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的，则称之为高域内都是均匀分布的，则称之为高斯白噪声；若其功率谱密度被限制斯白噪声；若其功率谱密度被限制在某一频率范围内，超出该范围即在某一频率范围内，超出该范围即为零
22、，则称之为窄带高斯噪声。为零，则称之为窄带高斯噪声。正弦波加窄带随机过程正弦波加窄带随机过程正弦波加窄带随机过程正弦波加窄带随机过程n包络包络 的一维分布服从广义瑞利的一维分布服从广义瑞利分布（莱斯分布），即：分布（莱斯分布），即：正弦波加窄带随机过程正弦波加窄带随机过程 其中：其中：为零阶修正贝塞尔函数，当为零阶修正贝塞尔函数，当 时，时，单调上升，且单调上升，且 ；若若 A=0,则则 为瑞利分布。为瑞利分布。n相位相位 的一维分布较为复杂，故的一维分布较为复杂，故 不做讨论。不做讨论。n同相分量同相分量 和正交分量和正交分量 均为均为高斯分布，且：高斯分布，且：正弦波加窄带随机过程正弦波加
23、窄带随机过程 则：则：随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统n输出随机过程的均值等于输入随机输出随机过程的均值等于输入随机过程的均值与过程的均值与H(0)之积；表征了平之积；表征了平稳随机过程通过线性系统后，输出稳随机过程通过线性系统后，输出的直流分量等于输入系统的直流分的直流分量等于输入系统的直流分量与系统直流传递函数之积，即：量与系统直流传递函数之积，即：随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统n平稳随机过程通过线性系统后，输平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程也是平稳的。出随机过程也是平稳的。n平稳随机过程通过线性系统后，平稳随机过程通过线性系统后，输输出平稳随机过程的功率谱密度是输出平稳随机过程的功率谱密度是输入随机过程的功率谱密度与系统传入随机过程的功率谱密度与系统传递函数的模平方的乘积，即：递函数的模平方的乘积，即：随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统n高斯过程高斯过程通过线性系统后，输出随通过线性系统后，输出随机过程仍是高斯型的，但与输入高机过程仍是高斯型的，但与输入高斯过程相比，它的数字特征已经改斯过程相比，它的数字特征已经改变了。变了。