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1、Ar xyO4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程1.复习引复习引入入探究新探究新知知应用举应用举例例课堂小课堂小结结课后作课后作业业复习引入复习引入问题问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？圆？圆心：确定圆的位置圆心：确定圆的位置半径：确定圆的大小半径：确定圆的大小2.问题问题2：圆心是圆心是A(A(a a,b b),),半径是半径是r r的圆的方程是什么？的圆的方程是什么？xyOCM(x,y)(x-a)2+(y-b)2=r2三个独立条件三个独立条件a a、b b、r r确定一个圆的方程确定一个圆的方程.设点设点M(x,y)为圆为圆C上任一点上任
2、一点，则则|MC|=r。探究新知探究新知3.问题问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？合这个方程的坐标的点都在圆上？点点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点在圆上，由前面讨论可知，点M的坐的坐标适合方程；反之，若点标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，的坐标适合方程，这就说明点这就说明点 M与圆心的距离是与圆心的距离是 r，即点，即点M在圆心为在圆心为A(a,b)，半径为，半径为r的圆上的圆上想一想想一想?4.xyOCM(x,y)圆心圆心C(a,b),),半径半径r特别地特别地,若圆心为若圆心为O（0，0），则
3、圆的方程为：），则圆的方程为：标准方程标准方程知识点一：圆的标准方程知识点一：圆的标准方程 5.1.说出下列圆的方程：说出下列圆的方程：(1)圆心在点圆心在点C(3,-4),半径为半径为7.(2)经过点经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3).2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：(1)(x+7)2+(y 4)2=36(2)x2+y2 4x+10y+28=0(3)(x a)2+y 2=m2 应用举例应用举例6.特殊位置的圆的方程特殊位置的圆的方程:圆心在原点圆心在原点:x2+y2=r2(r0)圆心在圆心在x轴上轴上:(x a)2+y2=
4、r2(r0)圆心在圆心在y轴上轴上:x2+(y b)2=r2(r0)圆过原点圆过原点:(x a)2+(y-b)2=b2(b0)圆心在圆心在x轴上且过原点轴上且过原点:(x a)2+y2=a2(a0)圆心在圆心在y轴上且过原点轴上且过原点:x 2+(y-b)2=b2(b0)圆与圆与x轴相切轴相切:(x a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b20)圆与圆与y轴相切轴相切:(x a)2+(y-b)2=a2(a0)圆与圆与x,y轴都相切轴都相切:(x a)2+(ya)2=a2(a0)7.例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的方的圆的方程，并判断点程，并判断点 ，是否在这
5、个圆上。是否在这个圆上。解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5的圆的标准方程的圆的标准方程是：是：把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；典型例题典型例题 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边的坐标代入此方程，左右两边不相等，点不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个圆上在这个圆上8.跟踪训练跟踪训练已知两点已知两点M(3,8)和和N(5,2)(1)求以求以MN为直径的圆为直径的圆C的方程；的方程；(2)试试判判断断P1(2,8)，P2(
6、3,2)，P3(6,7)是是在在圆圆上上，在在圆内，还是在圆外？圆内，还是在圆外？9.知识探究二：点与圆的位置关系知识探究二：点与圆的位置关系 探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？系？M MO O|OM|OM|r r点在圆内点在圆上点在圆外(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C外外;(x(x0 0-a)-a)
7、2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C上上;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C内内.点与圆的位置关系点与圆的位置关系:知识点二：点与圆的位置关系知识点二：点与圆的位置关系11.待定系数待定系数法法解：设所求圆的方程为：解：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上所求圆的方程为所求圆的方程为例例2 ABC2 ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5,1),A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),B(7,-3)
8、,C(2,-8),求它的外接圆的方程。求它的外接圆的方程。12.例例3 3 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圆心在且圆心在直线直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程.圆经过圆经过A(1,1),B(2,-2)解解2:设圆设圆C的方程为的方程为圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0上上待定系数法待定系数法13.解解:A(1,1),B(2,-2)例例3 3 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圆心
9、在且圆心在直线直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程.即：即：x-3y-3=0圆心圆心C(-3,-2)14.练习练习2.2.根据下列条件，求圆的方程：根据下列条件，求圆的方程：（1 1）求过两点）求过两点A A(0,4)(0,4)和和B B(4,6),(4,6),且圆心在直线且圆心在直线x x-y y+1=0+1=0上的圆的标准方程。上的圆的标准方程。（2 2）圆心在直线）圆心在直线5x-3y=85x-3y=8上，又与两坐标轴相上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。切，求圆的方程。（3 3）求以）求以C C(1,3)(1,3)为圆心，且和直
10、线为圆心，且和直线3x-4y-7=03x-4y-7=0相切的直线的方程。相切的直线的方程。1.点点(2a,1 a)在在圆圆x2+y2=4的的内内部部,求求实实数数 a 的的取值范围取值范围.15.思考思考例例 已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一求经过圆上一 点点 的切线的方程。的切线的方程。XY0解解:16.例例例例3 3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置位置时，拱顶离水面时，拱顶离水面2米，水面宽米，水面宽12米，当水面下降米，当水面下降1米后，水面宽多少米？米后，水面宽多少米？【分析】【分析】建立坐标系求解建立坐标系求解17.【解解
11、】以以圆圆拱拱桥桥拱拱顶顶为为坐坐标标原原点点，以以过过拱拱顶顶的的竖竖直直直直线线为为y轴轴，建建立立直直角角坐坐标标系系，如如图图所所示示18.设圆心为设圆心为C，水面所在弦的端点为，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得则由已知得A(6，2)设圆的半径为设圆的半径为r，则，则C(0，r)，即圆的方程为即圆的方程为x2(yr)2r2.将点将点A的坐标的坐标(6，2)代入方程代入方程得得36(r2)2r2，r10.19.【点评】【点评】本题是用解析法解决实际问题本题是用解析法解决实际问题20.跟跟踪踪训训练练3 如如图图(1)所所示示是是某某圆圆拱拱桥桥的的一一孔孔圆圆拱拱的的示示意意图图该该
12、圆圆拱拱跨跨度度AB20 m，拱拱高高OP4 m，在在建建造造时时每每隔隔4 m需需用用一一个个支支柱柱支支撑撑，求求支支柱柱CD的高度的高度(精确到精确到0.01 m)21.解解：建建立立图图(2)所所示示的的直直角角坐坐标标系系，则则圆圆心心在在y轴轴上上设设圆圆心心的的坐坐标标是是(0，b)，圆圆的的半半径径是是r，那那么么圆圆的的方方程程是是x2(yb)2r2.下下面面用用待待定定系系数数法法求求b和和r的的值值因因为为P、B都都在在圆圆上上，所所以以它它们们的的坐坐标标(0,4)、(10,0)都都是是这这个个圆圆的的方方程程的的解解于于是是得到方程组得到方程组22.23.1.1.圆的标准方程圆的标准方程（圆心（圆心C(a,b),),半径半径r）2.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系3.3.求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法：待定系数法待定系数法 几何法几何法小结小结24.