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1、Ar xyO4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程生活中的圆生活中的圆最著名的古桥要数我国河北赵县建于1500年前的单拱石桥-赵州桥，它的设计思想和建造工艺是世界石拱桥的卓越典范，对世界后代的桥梁建筑有着十分深远的影响。它全长米，最大圆拱跨径米，拱高米。这座桥建得科学合理精巧新奇，造型优美，通体为巨大花岗石块组成，很像天上的长虹，如此雄伟秀逸的圆拱形的建筑，是著名匠师李春建造的。它的建造应该说是中国古代数学、物理学、工程学融合的结晶，体现了中国古代劳动人民的智慧和力量。在赞叹之余，我们能否确定出圆拱所属圆的大小和中心呢？问题一：问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆什么是圆？初中时我
2、们是怎样给圆下定义的？下定义的？平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。是圆。问题提出问题提出xyOMCr问题二：平面直角坐标系问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？中，如何确定一个圆？圆心：确定圆的位置圆心：确定圆的位置半径：确定圆的大小半径：确定圆的大小问题三：问题三：圆心是圆心是C(C(a a,b b),),半径是半径是r r的圆的方程是什么？的圆的方程是什么？xyOC(a,b)M(x,y)由两点间距离公式，得由两点间距离公式，得(x-a)2+(y-b)2=r2解：设点解：设点M(x,y)为圆为圆C上任一点上任一点，根据圆的定义根据圆
3、的定义|MC|=r新知探究新知探究上式两边平方，得上式两边平方，得xyOC(a,b)M(x,y)圆心圆心C(a,b),),半径半径r特别地特别地,若圆心为若圆心为O（0，0），则圆的方程为则圆的方程为：标准方程标准方程探究一：圆的标准方程探究一：圆的标准方程 说明：说明：1.特点：明确给出了特点：明确给出了圆心圆心和和半半径径2.确定圆的方程必须具备确定圆的方程必须具备三三个个独立条件独立条件1.求出下列圆的方程：求出下列圆的方程：(1)圆心在原点圆心在原点,半径为半径为3.(2)圆心在点圆心在点C(2,-3),半径为半径为5.(3)经过点经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3).
4、活学活用活学活用X2+y2=9(x-2)2+(y+3)2=25(x-8)2+(y+3)2=252.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：(1)(x+7)2+(y 4)2=36(3)x2+y2 4x+10y+28=0(2)(x a)2+y 2=m2 活学活用活学活用(-7,4)6(a,0)(2,-5)13、已知已知 和圆和圆(x 2)2+(y+3)2=25，则点，则点M在在（）A 圆内圆内 B 圆上圆上 C 圆外圆外 D 无法确定无法确定B问：点问：点M1（-2，-1）在圆上吗？）在圆上吗？活学活用活学活用分析分析:把把M(5,-7)代入方程，得代入方程
5、，得左边左边=（5-2）2+（-7+3）2=25左边左边=右边，所以右边，所以M(5,7)满足方程满足方程。即点即点M在圆上在圆上问题问题:在平面几何中在平面几何中，初中学过：初中学过：点与点与 圆有哪几种位置关系？圆有哪几种位置关系？探究二：点与圆的位置关系探究二：点与圆的位置关系 O OM MO OM MO OM M点在圆内点在圆上点在圆外探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？系？M MO OO OM MO OM M|OM|OM|r r点在圆内点在圆上点在圆外探究二：点与圆的位置关系探究二：点与圆的位置关系(x(x0 0-a)-a)2 2
6、+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C外外.点与圆的位置关系点与圆的位置关系:M MO OO OM MO OM M探究二：点与圆的位置关系探究二：点与圆的位置关系 3、已知已知 和圆和圆(x 2)2+(y+3)2=25，则点，则点M在在（）A 圆内圆内 B 圆上圆上 C 圆外圆外 D 无法确定无法确定B问：点问：点M1（-2，-1）在圆）在圆_活学活用活学活用分析分析:把把M(5,-7)代入方程，得代入方程，得左边左边=（5-2）2+（-7+3）2=25左边左边=右边，所以右边，所以M(5,7)满足方程满足方程。即点即点M在圆上在圆上内内思考题：思考题：
7、集合集合(x(x，y)|(x-a)y)|(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2rr2 2 表示的图形是什么？表示的图形是什么？A Ar rx xo oy y待定系数待定系数法法解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上所求圆的方程为所求圆的方程为例例1 ABC1 ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5,1),A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。求它的外接圆的方程。例题例题例例2 2 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A
8、(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且且圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方的圆的标准方程程.圆经过圆经过A(1,1),B(2,-2)解解1:设圆设圆C的方程为的方程为圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0上上待定系数法待定系数法例例2 2 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且且圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方的圆的标准方程程.B Bx xo oy yA AC Cl解解2:2:A(1,1),
9、B(2,-2)例例2 2 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且且圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方的圆的标准方程程.即：即：x-3y-3=0圆心圆心C(-3,-2)圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOA(5,1)B(7,-,-3)C(2,-,-8)C例例1 1 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1),(5,1),B B(7,(7,3)3)，C C(2,(2,8)8)，求它的外接圆的方
10、程，求它的外接圆的方程DE练习练习3.3.求过两点求过两点A A(0,4)(0,4)和和B B(4,6),(4,6),且圆心在直线且圆心在直线x x-y y+1=0+1=0上的圆的标准方程。上的圆的标准方程。2.点点(2a,1 a)在在圆圆x2+y2=4的的内内部部,求求实实数数 a 的取值范围的取值范围.1.求圆心在求圆心在C（8，-3），且经过点），且经过点M（5，1）的圆的标准方程的圆的标准方程1.1.圆的标准方程圆的标准方程（圆心（圆心C(a,b),),半径半径r）2.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系3.3.求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法：待定系数法待定系数法 几何性质法几何性质法小结小结p.124 习题习题4.1 A组组 1，2，3，4题题